概率論與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)字特征與極限處理隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第4章數(shù)字特征與極限定理第2講隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望第2講隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望上一講我們介紹了數(shù)學(xué)期望,如果已知隨機(jī)變量X地分布,我們可以求出X地期望.假如需求計算地不是X地期現(xiàn)在提出一個問題:望,而是X地某個函數(shù)地期望,比如說g(X)地期望.那么應(yīng)該如何計算呢？2本講內(nèi)容01隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望02典型例題01隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望?例1設(shè)某經(jīng)銷商進(jìn)了三臺儀器,銷售量X地分布律為每臺儀器進(jìn)貨價500元,銷售價1000,若賣不出去廠家按200元回購,求利潤Y地數(shù)學(xué)期望.?例2設(shè)風(fēng)速V是一個隨機(jī)變量,它服從(0,a)上地均勻分布,而飛機(jī)某部位受到地壓力F是風(fēng)速V地函數(shù):(常數(shù)k>0),求F地數(shù)學(xué)期望.401隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望如何計算隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望?一種方法是:因為g(X)也是隨機(jī)變量,故應(yīng)有概率分布,它地分布可以由X地分布求出來.一旦我們知道了g(X)地分布,就可以按照期望地定義把E[g(X)]計算出來.使用這種方法需要先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)地分布,一般是比較復(fù)雜地.501隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望是否可以不求g(X)地分布而只根據(jù)X地分布求得E[g(X)]呢下面地基本公式指出,答案是肯定地.公式地重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)地分布,而只需知道X地分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)地期望帶來很大方便.601隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望(1)Y=g(X)地數(shù)學(xué)期望設(shè)離散r.v.X地概率分布為若無窮級數(shù)絕對收斂,則設(shè)連續(xù)r.v.X地密度為f(x)絕對收斂,則若廣義積分701隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望(2)Z=g(X,Y)地數(shù)學(xué)期設(shè)離散r.v.(X,Y)地概率分布為絕對收斂,則若級數(shù)設(shè)連續(xù)r.v.(X,Y)地聯(lián)合密度為f(x,y)絕對收斂,則若廣義積分8本講內(nèi)容01隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望02典型例題02典型例題?例3設(shè)某經(jīng)銷商進(jìn)了三臺儀器,銷售量X地分布律為每臺儀器進(jìn)貨價500元,銷售價1000,若賣不出去廠家按200元回購,求利潤Y地數(shù)學(xué)期望.解1002典型例題?例4設(shè)風(fēng)速V是一個隨機(jī)變量,它服從(0,a)上地均勻分布,而飛機(jī)某部位受到地壓力F是風(fēng)速V地函數(shù):(常數(shù)k>0),求F地數(shù)學(xué)期望.V地概率密度為解其它1102典型例題?例5設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)地分布律為Y12X10.250.3220.080.35求解1202典型例題?例6設(shè)(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布,其A為x軸,y軸與直線x+y+1=0所圍成地區(qū)域.求E(X),E(-3X+2Y),E(XY).解其它1302典型例題1402典型例題?應(yīng)用設(shè)市場上對某種產(chǎn)品每年需求量為X噸,其X~U[200,400],每出售一噸可賺300元,售不出去,則每噸需保管費(fèi)100元,問應(yīng)該組織多少貨源,才能使平均利潤最大？其它解設(shè)組織n噸貨源,利潤為Y,1502典型例題n=350故n=350時,E(Y)最大1602典型例題?例7設(shè)隨機(jī)變量X地分布律為X-1012P0.30.20.40.1,求E(Y)令解1702典型例題?例8設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)地密度函數(shù)為其它求E(X),E(Y),E(XY)解1802典型例題?例9某工廠每天從電力公司得到地電能X(單位:千瓦服)從[10,30]上地均勻分布,該工廠每天對電能地需求量Y(單位:千瓦)服從[10,20]上地均勻分布,其X與Y相互獨立.設(shè)工廠從電力公司得到地每千瓦電能可取得300元利潤,如工廠用電量超過電力公司所提供地數(shù)量,就要使用自備發(fā)電機(jī)提供地附加電能來補(bǔ)充,使用附加電能時每千瓦只能取得100元利潤.問一天該工廠獲得利潤地數(shù)學(xué)期望是多少？1902典型例題解設(shè)Z為一天該工廠獲得地利潤,由題意即而(X,Y)地密度函數(shù)為其它2002典型例題故即該工廠一天獲得利潤地數(shù)學(xué)期望是4333元.2102典型例題?例10已知隨機(jī)變量地數(shù)學(xué)期望E(Y)求由于X服從正態(tài)分布解則由數(shù)學(xué)期望地性質(zhì)2202典型例題?例11設(shè)一電路電流與電阻是兩個相互獨立地隨機(jī)變量,其概率密度分別為其它其它試求電壓地數(shù)學(xué)期望.解因為I與R相互獨立,所以根據(jù)數(shù)學(xué)期望地性質(zhì),有23第2講隨機(jī)變量函數(shù)地數(shù)學(xué)期望在第一講與第二講當(dāng),我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)期望E(X)與E[g(X)]地計算方法,該知識點是非常重要地,因為我們后續(xù)地數(shù)字特征都是特殊地期望,例如:方差D(X)=E[X-E(X)]2協(xié)方差——X地k階原點矩