高中數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)之(16)雙曲線及其性質(zhì)

雙曲線及其性質(zhì)x2方程

y

江蘇鄭邦鎖1表示雙曲線mn<0，mn的正負(fù)：若m nm>0,n雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2y2 =m,b=-n,焦點(diǎn)在x軸上若m<0,2 2m nn>0，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：y2x2 1，a=n,b=-m，焦點(diǎn)在y軸上。2 2n m[舉例]已知k是常數(shù)，若雙曲線x2 y2 1的焦距與k的取值無關(guān)，則k的取值范k5 2|k|圍是： （ ）A．-2<k≤2 k>5 k≤0 k<2解析：方程表示雙曲線k-5)(2-|k|)<0-2<k≤0或0<k<2或k>5；當(dāng)-2<k≤0y2 時(shí)，方程為：

x22 12=2+kb=5-k，則c=7與k無關(guān)；當(dāng)0<k<22 2k 5k為：y2 x2

1，a2=2-k，b=5-k，則c=7-2k與k有關(guān)；當(dāng)k>52k 5k2 x2 y2

1，ak-5，bk-2，c=2k-7，與k有關(guān)；故選C。222k5 k2222x2[鞏固1]若

y2

1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則它的半焦距c的取值范圍是|k|2 1k 。[鞏固2]雙曲線mx2y2A．1

1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m4 4 14 4x雙曲線a

yb2

1關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；P(x,y)是雙曲線上一點(diǎn)，則|x|≥a,b2 b2y∈R，雙曲線的焦準(zhǔn)距為 ，雙曲線的通經(jīng)（過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦）長為2 ；c a過焦點(diǎn)的弦中，端點(diǎn)在同一支上時(shí)通經(jīng)最短，端點(diǎn)在兩支上時(shí)實(shí)軸最短。等軸雙曲線的離心2率為 漸近線方程為yx反比例函數(shù)yk的圖象是一個(gè)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的等軸雙曲線，2x漸近線為兩坐標(biāo)軸，對(duì)稱軸為直線yx。x[舉例1]雙曲線a

yb2

1的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)、右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，依次為O、3 |HF|F、AH，|HF|≥ |AF|時(shí)， 的最大值。2 |OA|b2解析：|HF|=

b2，|AF|=c-a,∴

≥3(c-a)

ca ≥

c≤2ae≤2c c 2 c 2|HF| b2 1 1 3 = =e- ,記f(e)=e- ,函數(shù)f(e)在（1，2]上遞增，∴f(e)≤f(2)= .|OA| ac e e 21[舉例2]已知函數(shù)y 的圖象是平面上到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于定長的點(diǎn)的軌跡，x1則這個(gè)定長．1解析：雙曲線y 的實(shí)軸所在的直線為y=x，實(shí)軸與雙曲線的交點(diǎn)即頂點(diǎn)為A和x 12A（112a=|AA|=2 ,c=2,2222 1 22222進(jìn)而得該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，-22

（

， 。x[鞏固1]雙曲線a

yb2

1的右準(zhǔn)線與兩條漸近線交于、BF，且FAFB=0，那么雙曲線的離心率為 （ ）2323

2 33[鞏固2]過雙曲線2x2-y2=2的右焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于B兩點(diǎn)，|AB|=4，則這樣的直線條。x[遷移已知雙曲線 y21的實(shí)軸AA，虛軸為BB，將坐標(biāo)系的右半平面沿yx4 12 12FFFABB內(nèi)的射影恰好是該雙曲線左頂點(diǎn)A2 1 12 1則直線BF與平面ABB所成角的正切值。1 1 12（無限接近雙曲線但與雙曲線不相交（漸近1”交點(diǎn)，但不相切（體現(xiàn)在代數(shù)上：直線方程代入曲線方程得到的是一次方程。已知漸近線ykx，則雙曲線方程為：k2x

y

，其中是待定的參數(shù)（漸近線不能唯一地確定雙曲線。雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于半虛軸長。1]雙曲線tx

y

10的一條漸近線與直線2xy10垂直，則雙曲線的離心5率為：A．5

B．5 C．3 D． （ ）32 23t解析：雙曲線tx2y210tx2y20y=±t

x（t≥0）t∴ =1，雙曲線方程為：x2y21，離心率為 5，選。t2 4 2x2 [舉例已知雙曲線 0,b0)的右焦點(diǎn)為若過點(diǎn)F且傾斜角為60x2 a2 b2線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（A）（B）（C）[2,) （D）(2,)解析：根據(jù)雙曲線的圖形特點(diǎn)知，雙曲線漸近線的傾角大于或等于600時(shí)，過焦點(diǎn)且傾斜角3b3為600的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，于是有 ≥a

c2-a2≥3a2。x2[鞏固1]與雙曲線

y

1有共同漸近線，且過2)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條29 1622漸近線的距離是（ ）A．42

2

3224 D．221y2[鞏固曲線上一點(diǎn)到它的一條斜率為正的漸近線的距離為它的離心率，則a+b的值；曲線C的左焦點(diǎn)為F，M（x,y）(y≤0)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)則直線1y2[遷移]曲線

與直線y=kx+1有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)則k的取值范圍。研究雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，往往用定義；關(guān)注定義中的“絕對(duì)值致一個(gè)點(diǎn)在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的。2 6[已知向量a=(x,2 65

y ),b

x5,-

y )，雙曲線a·b=1上一點(diǎn)MF(7,0)的距離2 6是MF的中點(diǎn)，O|ON|=2 61 11 21 1 212

2

2

2或2x2解析：雙曲線方程為：

y

1，左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F(7,0)的距離的最小值為12，25 24∴M是雙曲線右支上的點(diǎn)，記左焦點(diǎn)為F/，則|MF/|-|MF|=2a，即|MF/|=21，在⊿MFF/中，ON21中位線，∴|ON|=2，故選C。注：本題中，若將M到F(7,0)的距離換為13，將有兩種情況（M可能在雙曲線的右支上，也可能在左支上。x[舉例2]設(shè)雙曲線a

yb2

1（a，b＞0）兩焦點(diǎn) Y為F、F，點(diǎn)Q為雙曲線上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過 P Q1、 2焦點(diǎn)F作∠FQF的平分線的垂線，垂足為則M M2 1 2 X點(diǎn)軌跡是（ ） F O FA．橢圓的一部分； B．雙曲線的一部分；1 2C．拋物線的一部分； D．圓的一部分解析：不妨設(shè)QFM交QF于P，2 1在⊿QFFQM|QP|=|QF|，12 2又|QF|-|QF|=2a，∴|QF|-|QP|=2a|PF|=2aFMO是中位線，∴|MO|=a,1 2 1 1 12∴M點(diǎn)軌跡是圓的一部分，選D。[鞏固1]已知點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)M在其右準(zhǔn)線上，F(xiàn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，且滿足：1FOPM

OPOM|OP||OM|

OF= |OF1

OP||OP

，則此雙曲線的離心率。2]F

x2分別為雙曲線

y

1（a>0,

>0）左右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任1 2 a2 b2|PF|2意一點(diǎn)，若 2 最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍。|PF|1x2[遷移]P是雙曲線

y

1、N(x+5)2+y2=4(x-5)2+y2=19 16的點(diǎn)，|PM|-|PN|的最大值為 （ ）A．6 （焦點(diǎn)三角形x[舉例1] 雙曲線 y2(n的兩焦點(diǎn)為F 、F，P 在雙曲線上，xn 1、 2|PF

|+|PF

|=2

，則⊿PFF

的面積為 （ ）n21 2 1n21A．2

B．1 C．2 D．4解析：不妨設(shè)F、F為右支上一點(diǎn)，|PF

|=2 ①n1、 2 1 2n|PF1

|+|PF2

|=2

②，由①②解得：|PF|=1

+ ，|PF|=n2n2n

- ，得：n2n2n|PF|2+|PF|2=4n+4=|FF|2，∴PF⊥n2n2n

|=2，選B。1 2 12 1 2 1 2[舉例2]等軸雙曲線x2-y2=a2,(a>0)上有一點(diǎn)P到中心的距離為3，那么點(diǎn)P到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之積等。解析：由“平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和”得：2（|PF|2+|PF|2）=36+4c2,又c2=2a2，|PF|2+|PF|2=18+4a2 ①，||PF

||=2a ②1 2 1 2 1 2由①-②2得：|PF||PF|=9。1x[鞏固1]已知橢圓

2y

1x

y

1（m>0,n>0）具有相同的焦點(diǎn)F25 16 m2 n2 1F，設(shè)兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為Q，∠QFF=900，則雙曲線的離心率。2 12x2[鞏固2]雙曲線

y

1

，F(xiàn)P

，PF

傾斜角之9 16 1 2 1 233差為則△PF33

面積為：A．16

B．32

C．32 D．423 12x2[提高]設(shè)雙曲線

y

1（a，b＞0）兩焦點(diǎn)為F

、F，點(diǎn)P為雙曲線右支上除頂點(diǎn)外a2 b2

1、 2F12

的內(nèi)心的橫坐標(biāo)為 （ ）a2A．a(chǎn) B．c C． D．與P點(diǎn)的位置有關(guān)c答案1鞏固1（+鞏固2]鞏固1]2]]

55；3、[鞏固1]C，51 鞏固2]-2（

,]∪{0}，[遷移]（-252

；1]2]1，3，遷移鞏固1] 鞏固2]提高]記

的內(nèi)切圓圓心為C，邊PFPFFF3 12

1