2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧省預(yù)賽

2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧省預(yù)賽試題一、選擇題（每小題6分，共30分）1.設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)殚_口向上，且，故解得.故答案為D2.方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)不同的根的個(gè)數(shù)為.A.2或4個(gè) B.至多4個(gè)C.至多6個(gè) D.可能為8個(gè)【答案】C【解析】【詳解】由題設(shè)知x為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)，方程至多有4個(gè)實(shí)數(shù)根、2個(gè)純虛數(shù)根，故至多6個(gè)根.當(dāng)時(shí)，共6個(gè)根.故答案為C3.已知點(diǎn)P、Q在△ABC內(nèi)，且，則等于.A B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題設(shè)知，，故，所以.，故.故選：A4.方程的整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)為.A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【詳解】共5組.當(dāng)時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，故，所以，所以.綜上共5組解.故答案為A5.設(shè)三位數(shù)，若以為三條邊的長可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)有()A.45個(gè) B.81個(gè) C.165個(gè) D.216個(gè)【答案】C【解析】【詳解】試題分析：要能構(gòu)成三角形的邊長，顯然均不為0．即（1）若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，由于三位數(shù)中三個(gè)數(shù)碼都相同，所以（2）若構(gòu)成等腰（非等邊）三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組共有組.但當(dāng)大數(shù)為底時(shí)，設(shè)，必須滿足．此時(shí)，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是a

9

8

7

6

5

4

3

2

1

b

4，3

2，1

4，3

2，1

3，2

1

3，2

1

1，2

1，2

1

1

共20種情況．同時(shí)，每個(gè)數(shù)碼組中的二個(gè)數(shù)碼填上三個(gè)數(shù)位，有種情況．故.綜上，.考點(diǎn)：排列組合問題.二、填空題（每小題6分，共30分）6.設(shè)、b均為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)與的模長相等，且為純虛數(shù)，則+b=_____.【答案】【解析】【詳解】由題設(shè)知，且為純虛數(shù)，故.因此或解得或，故.故答案7.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、b、c.若，則=_____.【答案】1009【解析】【詳解】由題得.故答案為10098.已知A、B分別為和上的點(diǎn)，則的最小值為_____.【答案】【解析】【詳解】由于拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，則A、B也關(guān)于直線對(duì)稱.（否則A、B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)、也分別在另一條拋物線上，且.設(shè)AB交、于點(diǎn)M，則，故和中必有一個(gè)小于，矛盾.）因此只需求點(diǎn)A到直線的距離最小值的二倍，則A為平行于的直線與的切點(diǎn)，解得，故的最小值為.故答案9.若正實(shí)數(shù)x、y滿足，則y的最大值為_____.【答案】【解析】【詳解】設(shè),則.令，則，故，因此y的最大值為.故答案為:10.四面體ABCD中，已知，，則異面直線AC與BD所成角的正弦值是_____.【答案】1【解析】【詳解】因?yàn)?，故，因此異面直線AC與BD所成角的正弦值是1.故答案為1三、解答題（共90分）11.已知數(shù)列中，，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切，有【答案】（1）見解析.【解析】【詳解】（1）由已知，對(duì)有上式兩邊同除以n并整理得則即故因此，又當(dāng)時(shí)也成立，故（2）當(dāng)時(shí)，有所以，當(dāng)時(shí)，有又當(dāng)時(shí)，故對(duì)一切，有12.如圖，、與交于點(diǎn)，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的一條直線分別與、交于點(diǎn)、，的延長線與交于點(diǎn)，作與交于點(diǎn)，再作、分別與、切于點(diǎn)、.證明：.【答案】見解析【解析】【詳解】聯(lián)結(jié)，與、、分別交于點(diǎn)、、.由相交弦定理及切割線定理得，.兩式相加得.又故.13.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別是、，從原點(diǎn)O向圓M：作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P、Q，直線OP、OQ的斜率分別記為、.(1)設(shè)直線、分別與圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)，求點(diǎn)A的軌跡方程；(2)當(dāng)為定值時(shí)，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】詳解】1.由橢圓定義：得所以，，又，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.因?yàn)椋瑒t點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，因此或.綜上，點(diǎn)A的軌跡方程為.2.令直線OP的方程是，與圓M相切，則有，即又直線OQ與圓相切，設(shè)直線OQ的方程是，同理有則是方程的兩實(shí)根，因此，又為定值，設(shè)，則即由于M為橢圓上的點(diǎn)，且c為定值，因此必有，故，此時(shí).設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，解得，.同理，，所以，.故的最大值為.14.已知實(shí)數(shù)、b、c滿足，求的最大值和最小值.【答案】見解析【解析】【詳解】由均值不等式和柯西不等式可得.當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故M的最大值為.要使M取最小值，只需考慮，且