電路理論-線性網(wǎng)絡(luò)定理

電路理論__線性網(wǎng)絡(luò)定理第1頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/12背景電路電源激勵(lì)響應(yīng)(電壓、電流)通用分析方法其它分析方法？？Us++R1R2IsU1已知：Us=10V，Is=2A，計(jì)算得到：U1=5V。當(dāng)Us=20V，Is=4A，求：U1=？利用電路定理，分析電路；第2頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/13基本要求掌握疊加定理及其應(yīng)用熟練求解戴維南及諾頓等效電路，靈活運(yùn)用戴維南定理求解電路基本掌握替代定理和互易定理的應(yīng)用了解特勒根定理第3頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/14提綱4.1齊性定理和疊加定理

4.2替代定理

4.3戴維南定理和諾頓定理

4.4最大功率傳輸定理

4.5特勒根定理4.6互易定理4.7對(duì)偶原理

第4頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/154.1齊性定理和疊加定理圖示簡(jiǎn)單電路中，兩個(gè)激勵(lì)源為Us和Is，根據(jù)節(jié)點(diǎn)電壓法求響應(yīng)電壓U1節(jié)點(diǎn)電壓方程為：可以認(rèn)為：U11為Us的分量；U12為Is的分量，即：當(dāng)Is=0時(shí)，U1=U11，Us單獨(dú)作用；當(dāng)Us=0時(shí)，U1=U12，Is單獨(dú)作用；結(jié)論：U1可以看作每個(gè)電源單獨(dú)作用時(shí)分別產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)電壓的疊加。Us++R1R2U11+R1R2IsU12Us++R1R2IsU1第5頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/16齊性定理和疊加定理線性電路：由線性元件和獨(dú)立電源組成的電路為線性電路。齊性定理和疊加定理是反映線性電路本質(zhì)的重要定理。齊性定理：在只有一個(gè)激勵(lì)（電源）的線性電路中，若激勵(lì)增大或縮小倍，則任一電壓響應(yīng)或電流響應(yīng)也同樣增大或縮小倍。疊加定理：在含多個(gè)獨(dú)立電源的線性電路中，任一電壓或電流響應(yīng)都是各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的相應(yīng)響應(yīng)的代數(shù)和。第6頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/17實(shí)例若：電源f1(t)單獨(dú)作用下電路響應(yīng)為y1(t)，電源f2(t)

單獨(dú)作用下電路響應(yīng)為y2(t)。若：電源f1(t)增大倍，則單獨(dú)作用下電路響應(yīng)為：y1(t)；電源f2(t)增大倍，則單獨(dú)作用下電路響應(yīng)為：y2(t)；在f1(t)和f2(t)兩個(gè)電源共同作用下，電路響應(yīng)為：y1(t)+y2(t)；在電源f1(t)和f2(t)共同作用下，電路響應(yīng)為：y1(t)+y2(t)。無(wú)源網(wǎng)絡(luò)f1(t)f2(t)y(t)齊性定理疊加定理N1第7頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/18應(yīng)用疊加定理時(shí)要注意的問(wèn)題：①疊加定理只適用于線性電路，不適用于非線性電路。10V+5Ai2+u+2i1④疊加時(shí)要注意電流和電壓的參考方向。⑤功率不能用疊加定理計(jì)算。②獨(dú)立電源可以作為激勵(lì)源，受控源不能作為激勵(lì)源。③在疊加的各分電路中，置零的獨(dú)立電壓源用短路代替，置零的獨(dú)立電流源用開(kāi)路代替，受控源保留在各分電路中，但其控制量和被控量都有所改變。10V+i12+2i11u1+5Ai22+u2+2i21第8頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/19例4-1將例2-1的電源電壓U改為20V，應(yīng)用齊性定理重新求解ab端的等效電阻及電流I1和電壓U1。U1+I+U=20V11112221I1ab解：如圖所示，設(shè)I1

＝1A，則

U1＝1*I1＝1V

I＝2*2*2*I1＝8A

U＝(1+1)I＝16V給定U＝20V，相當(dāng)于激勵(lì)增加了＝20/16=1.25

倍即，根據(jù)齊性定理，I1＝I1＝1.25A，U1＝U1＝1.25V，I＝I＝10A根據(jù)歐姆定律：第9頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/110例4-2應(yīng)用疊加定理求圖示電路3電阻的電壓U及功率。12V+3A2U+63812V+2U1+6383A2U2+638當(dāng)12V電壓源作用時(shí)，應(yīng)用分壓公式得：解：首先畫(huà)出電源單獨(dú)作用的電路如圖所示當(dāng)3A電流源作用時(shí)，應(yīng)用分流公式得：則所求電壓：U=U1+U2=－4+6＝2V3電阻消耗的功率：注意：該功率不等于每一個(gè)電源單獨(dú)作用時(shí)3電阻消耗的功率的疊加，原因是：(－4)2＋62≠(－4＋6)2第10頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/111例4-3用疊加定理計(jì)算圖示電路的電壓u

和電流i。10V+5Ai2+u+2i15Ai22+u2+2i2110V+i12+2i11u1+解：首先畫(huà)出獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)的電路如圖所示，當(dāng)10V電壓源作用時(shí)：解得：i1＝2A，當(dāng)5A電流源作用時(shí)，所以：u＝u1＋u2＝6＋2＝8Vi＝i1＋i2＝2＋(－1)＝1A解得：i2＝－1A，(2+1)i1＋2i1－10＝0u1＝2i1＋1*i1＝3i1＝6V2i2＋1*(5+i2)＋2i2＝0u2＝－2i2＝2V第11頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/112例4-4圖示電路中，測(cè)得下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：當(dāng)is=1A，us=2V時(shí)，響應(yīng)i=2A，當(dāng)is=2A，us=－1V時(shí)，響應(yīng)i=1A。求：is=5A，us=－3V時(shí)，i＝？無(wú)源線性網(wǎng)絡(luò)+isius解：設(shè)is=1A單獨(dú)作用時(shí)i為k1（A）、us=1V單獨(dú)作用時(shí)i為k2（A），則當(dāng)us和is共同作用時(shí)，根據(jù)齊性定理和疊加定理：根據(jù)已知條件，得：解得：k1＝0.8，k2＝0.6因此,is=5A，us=－3V時(shí)：第12頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二NN12023/5/1134.2替代定理在電路定理的證明和電路分析中，經(jīng)常用到替代定理。應(yīng)用替代定理可以化簡(jiǎn)電路，使電路更直觀、易于分析。雙口網(wǎng)絡(luò)N和N1的伏安特性曲線示如圖所示。N1N兩條伏安特性曲線的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)即為電壓U和電流I的解，U＝1.5V、I=1A。任何一條通過(guò)Q的直線，例如與I軸平行的N2、與U軸平行的N3和過(guò)原點(diǎn)的N4，與N的交點(diǎn)都是Q。N2N3N4U=0.5I+1U=-1.5I+33V+1V+1.50.5U+I元件？？？第13頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/114替代定理的表述N2、N3和N4對(duì)應(yīng)的二端網(wǎng)絡(luò)分別為圖所示的1.5V獨(dú)立電壓源、1A獨(dú)立電流源和1.5電阻?？梢则?yàn)證，用N2、N3和N4替代N1之后，電壓U、電流I以及N網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的電壓和電流均不受影響。3V+1V+1.50.5U+INN11.5V+U+N21AU+N3U+N41.5IIIU＝1.5V、I=1A。第14頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/115替代定理的表述定義：在任意線性或非線性、時(shí)變或非時(shí)變電路中，若已求得N和N1兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)連接端口的電壓為UQ、電流為IQ，只要N1中沒(méi)有N中受控源的控制量，那么N1總可以用下列任一元件替代：電壓大小和方向與UQ

相同的獨(dú)立電壓源；電流大小和方向與IQ

相同的獨(dú)立電流源；電阻為的線性電阻（UQ和IQ關(guān)于R關(guān)聯(lián)方向）。第15頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/116對(duì)替代定理做幾點(diǎn)說(shuō)明(1)如果N1中某支路電壓或電流為N中受控源的控制量，那么替代之后該電壓或電流不復(fù)存在，所以此時(shí)不能應(yīng)用替代定理。(2)與N1等效的單口網(wǎng)絡(luò)必須有與N1相同的伏安特性曲線，所以，N2、N3和N4只是在工作點(diǎn)Q能夠替代N1，并不是N1的等效網(wǎng)絡(luò)。(3)應(yīng)用替代定理后單口網(wǎng)絡(luò)N中全部電壓和電流均將保持原來(lái)值，而電路分析得到簡(jiǎn)化。上述獨(dú)立電壓源、獨(dú)立電流源和電阻是替代N1的最簡(jiǎn)單的三種形式。第16頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/117例4-5，圖中R未知，求電壓U。9V+2A6U+R39V+2A6U+3解：由于R未知，所以不能應(yīng)用電阻串并聯(lián)求U，但是可以應(yīng)用支路電流法、回路法和節(jié)點(diǎn)法求解。現(xiàn)在要應(yīng)用替代定理，只能將R所在支路替代成2A電流源，如圖所示，這樣就能應(yīng)用等效變換和疊加定理求解，當(dāng)然仍然還能應(yīng)用支路電流法、回路法和節(jié)點(diǎn)法。例如，節(jié)點(diǎn)法：

應(yīng)用疊加定理：

第17頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/1184.3戴維南定理和諾頓定理第二章討論過(guò)單口網(wǎng)絡(luò)的等效化簡(jiǎn)問(wèn)題，這一問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求單口網(wǎng)絡(luò)的伏安關(guān)系式。若單口網(wǎng)絡(luò)不含電源，則總可以等效為一個(gè)電阻；若單口網(wǎng)絡(luò)含電源，則總可以等效為一個(gè)電阻和電壓源的串聯(lián)；對(duì)于任意一個(gè)線性含源單口網(wǎng)絡(luò)，戴維南定理和諾頓定理為其提供了求解等效電路的一般方法。

6V+6+3104V8V+2104A210第18頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/119名詞解釋(1)開(kāi)路電壓：若把外電路斷開(kāi)，則在端口處產(chǎn)生電壓，把這個(gè)電壓稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)Ns的開(kāi)路電壓，用Uoc表示。(3)短路電流：若把外電路短路，則在短路處產(chǎn)生電流，把這個(gè)電流稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)Ns的短路電流，用Isc表示。N0+u－iab(2)輸入電阻：若把Ns中所有的獨(dú)立源置零，即把Ns中的獨(dú)立電壓源用短路替代，獨(dú)立電流源用開(kāi)路替代，并用N0表示所得到的二端網(wǎng)絡(luò)。顯然，N0可以用一個(gè)等效電阻Req表示，就是N0在端口處的輸入電阻。NsabIscNsNs+Uoc－ab第19頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/120名詞解釋(4)輸入電阻的計(jì)算：①電阻網(wǎng)絡(luò)：電阻的串并聯(lián)、星形三角形轉(zhuǎn)換；②受控源網(wǎng)絡(luò)：加電壓，得電流，Req=U/I；③求Uoc、Isc：Req=Uoc/Isc；第20頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/121戴維南定理戴維南定理：任何一個(gè)線性含源單口網(wǎng)絡(luò)，對(duì)外電路來(lái)說(shuō)，總可以用一個(gè)電壓源和電阻的串聯(lián)組合來(lái)等效替代；此電壓源的電壓等于外電路斷開(kāi)時(shí)單口網(wǎng)絡(luò)端口處的開(kāi)路電壓Uoc，電阻等于單口網(wǎng)絡(luò)所有獨(dú)立源置零時(shí)所得無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的等效電阻R0。NsabUOC+R0ab第21頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/122諾頓定理諾頓定理：任何一個(gè)含源線性單口網(wǎng)絡(luò)，對(duì)外電路來(lái)說(shuō)，可以等效為一個(gè)電流源和電阻的并聯(lián)；電流源的電流等于該單口網(wǎng)絡(luò)的短路電流，而電阻等于把該單口的全部獨(dú)立電源置零后的輸入電阻。容易發(fā)現(xiàn)，諾頓等效電阻與戴維南等效電阻完全相同，實(shí)際上，諾頓等效電路就是戴維南等效電路的等效變換。NsabIscR0ab第22頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/123例4-6計(jì)算圖示電路中Rx分別為3.2Ω、5.2Ω時(shí)的電流I。10V+I6644RX+10V+6644Uoc++U2U16644R0解：斷開(kāi)RX

支路，如圖所示，求該單口網(wǎng)絡(luò)化的戴維南等效電路。(1)開(kāi)路電壓Uoc(2)求等效電阻R0,把電壓源短路，如圖所示。(1)回路法求解：需列3個(gè)聯(lián)立KVL方程才能解出；(2)節(jié)點(diǎn)法求解：需要對(duì)節(jié)點(diǎn)a、b列兩個(gè)KCL方程；不論用什么方法，當(dāng)Rx由3.2Ω改為5.2Ω時(shí)，都需要重新列方程、重新求解。(3)戴維南定理求解：當(dāng)興趣點(diǎn)只聚焦在一個(gè)負(fù)載或一條支路時(shí)，常用戴維南定理或諾頓定理把該負(fù)載或支路以外的電路化簡(jiǎn)。第23頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/124例4-6UOC+IR0RX當(dāng)Rx=3.2Ω時(shí)，畫(huà)出等效電路，接上待求Rx支路，如圖所示，當(dāng)Rx

=5.2Ω時(shí)，第24頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/1259V+I2.4I63+UOC+例4-7計(jì)算圖示電路中的電壓U。9V+I2.4I6318U++I2.4I63+Us+I1解法1應(yīng)用戴維南定理(1)求開(kāi)路電壓Uoc，斷開(kāi)18Ω電阻支路，如圖所示。(2)求等效電阻R0獨(dú)立電源置零后的單口網(wǎng)絡(luò)含有受控源，用外施激勵(lì)法，如圖所示。第25頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/126例4-7計(jì)算圖示電路中的電壓U。9V+I2.4I63Isc+5.4V+183.6U+1.5A183.6U+

(3)畫(huà)出等效電路，如圖所示，解得：右側(cè)網(wǎng)孔的KVL方程：2.4I＋3I＝0，所以：I＝0，解法2應(yīng)用諾頓定理(1)斷開(kāi)18Ω電阻支路，將端口短路，如圖所示，求短路電流Isc(2)獨(dú)立電源置零后求等效電阻R0，R0＝3.6

(3)畫(huà)出等效電路，如圖所示，解得：第26頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/127例4-8求圖所示電路中的電壓U。24V+336U+1A666ab24V+336Isc666ab解：因?yàn)閍、b處的短路電流比開(kāi)路電壓容易求，所以本題用諾頓定理求比較方便。求短路電流ISC，把a(bǔ)b端短路，電路如圖(b)所示，解得：第27頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/128例4-8求圖所示電路中的電壓U。336666abR0Isc4U+1A求等效電阻R0，把獨(dú)立電源置零，電路如圖所示，畫(huà)出諾頓等效電路，接上待求支路如圖所示。R0＝(6//3+6)//(3//6＋6)＝4U＝(3+1)×4＝16V第28頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/129戴維南和諾頓定理小結(jié)(1)應(yīng)用戴維南定理和諾頓定理，可以將一個(gè)復(fù)雜電路中不感興趣的有源部分等效化簡(jiǎn)，以利于其余部分的分析計(jì)算。(2)戴維南等效電路中電壓源電壓的方向與所求開(kāi)路電壓方向一致，諾頓等效電路中電流源電流的方向和求解時(shí)候設(shè)的端口短路電流方向看起來(lái)相反。(3)等效電阻R0有三種計(jì)算方法：(4)一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)?shù)刃щ娮鑂0＝0時(shí)，只能等效為一個(gè)理想電壓源，那么它就不具有諾頓等效電路；一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)R0＝時(shí)，只能等效為一個(gè)理想電流源，那么它就不具有戴維南等效電路。(5)戴維南和諾頓等效電路的數(shù)學(xué)本質(zhì)：等效的兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)具有相同的伏安關(guān)系，線性單口網(wǎng)絡(luò)的VCR曲線一定是U、I平面上一條直線。第29頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/1304.4最大功率傳輸定理電的應(yīng)用：能量和信息兩大類(lèi)，這兩類(lèi)系統(tǒng)在功率傳輸方面的著眼點(diǎn)是完全不同的。能量類(lèi)系統(tǒng)，如電力系統(tǒng)，側(cè)重于功率傳輸效率。信息類(lèi)系統(tǒng)，如廣播電視、通信系統(tǒng)，側(cè)重于負(fù)載能獲得的功率。最大功率傳輸定理討論了負(fù)載為何值時(shí)能從線性含源單口網(wǎng)絡(luò)獲取最大功率、最大功率數(shù)值大小等問(wèn)題。將線性含源單口網(wǎng)絡(luò)等效成戴維南電源模型，如圖所示。Ns負(fù)載IUoc+RLR0I第30頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/131最大功率傳輸定理Uoc+RLR0I設(shè)RL為變量，在任意瞬間，其獲得的功率為：RL何時(shí)獲得最大功率的問(wèn)題就變?yōu)椋阂訮為函數(shù)，以RL為變量，求RL為何值時(shí)P最大。當(dāng)

因此，RL＝R0即為使功率為最大值時(shí)的條件。由線性單口網(wǎng)絡(luò)傳遞給可變負(fù)載的功率為最大的條件是：負(fù)載與戴維南（諾頓）等效電阻相等，稱(chēng)這一條件為最大功率匹配條件。需要注意的是：計(jì)算最大功率問(wèn)題結(jié)合應(yīng)用戴維南定理(諾頓定理)。此時(shí)最大功率為：第31頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/132例4-9圖示電路中負(fù)載電阻R為何值時(shí)其上獲得最大功率，并求最大功率。5V+21I632IR5V+21I632I+Uoc解：斷開(kāi)電阻R，求剩余單口網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路。求開(kāi)路電壓：由KVL，得：5=2I＋(1+3)3I，得：I=5/14A則：Uoc＝－6*2I＋5－3*3I＝－2.5V第32頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/13321I632I+UI1求輸入電阻：用外施激勵(lì)法，如圖所示，由KVL，得：2I＋3I-3(I1－3I)＝0，得：I=3/14I1則：U＝6*(I1－2I)＋3(I1－3I)＝9I1－21I＝4.5I1所以，Req=U/I1=4.5

當(dāng)R＝4.5時(shí)獲得最大功率，最大功率例4-9圖示電路中負(fù)載電阻R為何值時(shí)其上獲得最大功率，并求最大功率。第33頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/1344.5特勒根定理該定理表明：在任意網(wǎng)絡(luò)N中，在任意瞬時(shí)t，各個(gè)支路吸收的功率的代數(shù)和恒等于零。也就是說(shuō)，該定理實(shí)質(zhì)上是功率守恒的具體體現(xiàn)。特勒根功率定理：在一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的網(wǎng)絡(luò)N

中，假設(shè)各個(gè)支路的電壓與支路電流分別為(u1,u2,……,ub)和(i1,i2,……,ib)，它們?nèi)￡P(guān)聯(lián)參考方向，則對(duì)任意時(shí)間t，有特勒根定理（Tellegen’sTheorem）是電路理論中的一個(gè)重要定理，這個(gè)定理對(duì)任何線性與非線性、時(shí)變與非時(shí)變電路都適用，是網(wǎng)絡(luò)功率守恒的體現(xiàn)，就是網(wǎng)絡(luò)全部支路消耗(包括發(fā)出)的功率恒等于零。此定理分為特勒根功率定理和特勒根似功率定理。第34頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二特勒根似功率定理：兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)N和N’

，它們由不同的元件組成，但它們的結(jié)構(gòu)完全相同。假設(shè)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)的各個(gè)支路的電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向，分別為(u1,u2,……,ub)、(i1,i2,……,ib)和(u’1,u’2,……,u’b)、(i'1,i’2,……,i’b)，則對(duì)任意時(shí)間t，有2023/5/135特勒根定理、

恒”。該定理表明：有向圖相同的任意兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)N和N’

，在任意瞬時(shí)t，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的支路電壓與另一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的支路電流的乘積的代數(shù)和恒等于零。這個(gè)和式只是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，沒(méi)有實(shí)際物理意義，因此稱(chēng)為“似功率守恒”。拓?fù)鋱D相同包括對(duì)應(yīng)支路的方向也是相同的。拓?fù)鋱D相同的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)，可能是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)元件支路對(duì)應(yīng)著另一個(gè)網(wǎng)絡(luò)一條等效支路，也可能是同一網(wǎng)絡(luò)在兩個(gè)不同時(shí)刻的相應(yīng)電路。拓?fù)洌褐?、?jié)點(diǎn)完全相同；第35頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/136例4-10電路如圖所示，N0是無(wú)源線性電阻網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)R2=2，U1=6V時(shí)，測(cè)得I1=2A，U2=2V；當(dāng)R2=4，U’1=10V時(shí)，測(cè)得I’1=3A，求：U’2=？N0U1+I1R2I2U2+解：這是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的某元件參數(shù)取兩個(gè)不同數(shù)值，可應(yīng)用特勒根似功率定理。設(shè)網(wǎng)絡(luò)N0中含有b條支路，由于網(wǎng)絡(luò)N0的結(jié)構(gòu)與參數(shù)均不會(huì)變化，因此這樣就有：所以：第36頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/1374.6互易定理對(duì)于僅含線性電阻和一個(gè)獨(dú)立源的電路，其回路電流方程的系數(shù)矩陣和節(jié)點(diǎn)電壓方程的系數(shù)矩陣都是關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)的。在這樣的電路中，當(dāng)激勵(lì)和響應(yīng)互換位置時(shí)，響應(yīng)與激勵(lì)的比值保持不變，這就是互易定理（ReciprocityTheorem），互易定理有三種形式：

(1)形式一：當(dāng)單一電壓源作用在端子a、b之間時(shí)，c、d之間的短路電流等于把此電壓源移到c、d之間而在a、b之間所產(chǎn)生的短路電流。即：i1＝i2。NRUS+i2abcd(a)NRUS+i1abcd(b)第37頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/138互易定理(2)形式二：當(dāng)單一電流源作用在端子a、b之間時(shí)，c、d之間的開(kāi)路電壓等于把此電流源移到c、d之間而在a、b之間所產(chǎn)生的開(kāi)路電壓，激勵(lì)為電流源，響應(yīng)為兩點(diǎn)之間的開(kāi)路電壓，即：u1＝u2。

NRisab(a)cdu2+

NRisab(b)cdu1+第38頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/1394.7對(duì)偶原理

對(duì)偶原理（dualityprinciple）：是指電路或元件的電路方程或伏安關(guān)系在數(shù)學(xué)表達(dá)式形式上完全相同。例如：電阻的伏安關(guān)系為u=Ri，

電導(dǎo)的伏安關(guān)系為i=Gu，

共同點(diǎn)：y＝kx如果將電壓u與電流i互換，電阻R與電導(dǎo)G互換，則數(shù)學(xué)表達(dá)式彼此互換。這些互換元素稱(chēng)為對(duì)偶元素。在電路理論中，對(duì)偶元素可以是電路結(jié)構(gòu)、定律、元件、變量、參數(shù)和聯(lián)接方式。uKVL戴維南定理RLCCVS串聯(lián)開(kāi)路網(wǎng)孔Ｙ聯(lián)接iKCL諾頓定理GCVCCS并聯(lián)短路節(jié)點(diǎn)△聯(lián)接常見(jiàn)對(duì)偶元素見(jiàn)表4.1。第39頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二Uab=？2023/5/140例4-12圖中，N0為無(wú)源線性電阻網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)a、b端接電阻R=1時(shí)，R獲得最大功率，此時(shí)U=3V且Uab=1V；當(dāng)a、b端短路時(shí)U=5V。現(xiàn)a、

b端接R=3電阻時(shí)U

=?2ARN0Uab+abI+U分析：(2)當(dāng)a、b端短路時(shí)U=5V，(1)已知R=1時(shí)獲得最大功率，U=3V且Uab=1V，+2V1ab結(jié)論：ab以左單口網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電阻R0＝1，開(kāi)路電壓Uoc＝2V。結(jié)論2：可以考慮用電壓源替代電阻R，用疊加法求解：U=k1Is+k2Uab結(jié)論：Uab=0V，即2A電流源單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)。(3)現(xiàn)a、

b端接R=3，U=?+2V1ab3結(jié)論1：R

變化對(duì)U

的影響，由于改變了R的阻值，其電路的電壓和電流都會(huì)發(fā)生變化，但結(jié)構(gòu)不變。電流源不變第40頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/141依據(jù)已知條件1，ab以左單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻R0＝1，開(kāi)路電壓Uoc＝2V,戴維南等效電路如圖所示，解：應(yīng)用替代定理，電阻R用大小為Uab的電壓源替代，見(jiàn)圖。其中U0：為2A電流源單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)(電流源不變)，

kUab：電壓源單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)(由于電壓源變化，引入系數(shù)k)。應(yīng)用齊性定理和疊加定理，

U＝U0＋kUab依據(jù)已知條件2，當(dāng)a、b端短路時(shí)U=5V，由于Uab=0V，有：U0＝5V依據(jù)已知條件1，當(dāng)電阻R=1時(shí)，Uab=1V，U=3V，則：3＝U0＋k×1解得：k＝－2得：U＝5＋(－2)×1.5＝2V例4-12圖中，N為無(wú)源線性電阻網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)a、b端接電阻R=1時(shí)，R獲得最大功率，此時(shí)U=3V且Uab=1V；當(dāng)a、b端短路時(shí)U=5V?，F(xiàn)a、

b端接R=3電阻時(shí)U

=?+2V1ab3則：當(dāng)R=3時(shí),Uab＝1.5V2ANUab+abI+U第41頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/142例4-13圖4-25(a)、(b)中，NR為互易網(wǎng)絡(luò)，試求圖4-25(b)中電流I1。

NR1Aab(a)cdU2=1V++U1=2V

NR1Aab(b)cdUR+2I1解：本例有多種求解方法，幾乎可以綜合運(yùn)用所有線性電路定理。(1)解法1：應(yīng)用戴維南定理和互易定理(等效解題)

NR1Aab(c)cdUOC+

NRab(d)cdIUs+圖(c)與(a)互易：Uoc=1V由圖(a)，得等效電阻R0：R0=U/I=2/1=2Ω原因：互易網(wǎng)絡(luò)由電流源組成；第42頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/143(1)解法1：應(yīng)用戴維南定理和互易定理(等效解題)③在戴維南等效電路上補(bǔ)上2Ω電阻，見(jiàn)圖(e)，解得I1=0.25A1V+ab(e)2I12第43頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(d)

NRabcd2+U2023/5/144(2)解法2：應(yīng)用替代定理和互易定理(直接解題)

NR1Aab(a)cdU2=1V++U1=2V

NR1Aab(b)cdUR+2I1互易？+2V1A2AU=1V應(yīng)用互易定理，UR=0.5V，所以得：I1=UR/2=0.5/2＝0.25A。(c)

NR1AabcdUR+2I1第44頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/145(3)方法3：應(yīng)用特勒根定理由特勒根定理，得：解得：I1=0.25A

NR1Aab(a)cdU2=1V++U1=2V

NR1Aab(b)cdUR+2I1(-1)2I1+0*U=2*I1+1(-1)U+第45頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/146(4)方法4：應(yīng)用替代定理、疊加定理和互易定理

NR1Aab(b)cdUR+2I1圖(b)中2電阻支路的VCR為UR=2I1，將2電阻支路用電流大小和方向與I1相同的電流源替代。

NR1Aab(c)cdUR+I1應(yīng)用疊加定理，各分電路如圖所示：UR=UR1+UR2

NRab(d)cdUR1+I1

NR1Aab(e)cdUR2+求：UR1：據(jù)齊性定理有，與圖(a)相比，UR1=2/1*(－I1)=-2I1求：UR2：據(jù)互易定理有，與圖(a)相比，UR2=1V。所以:2I1=－2I1+1，解得：I1=0.25A第46頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/147總結(jié)齊性定理和疊加定理若：電源f1(t)單獨(dú)作用下電路響應(yīng)為y1(t)，電源f2(t)

單獨(dú)作用下電路響應(yīng)為y2(t)。若：電源f1(t)增大倍，則單獨(dú)作用下電路響應(yīng)為：y1(t)；電源f2(t)增大倍，則單獨(dú)作用下電路響應(yīng)為：y2(t)；在f1(t)和f2(t)兩個(gè)電源共同作用下，電路響應(yīng)為：y1(t)+y2(t)；在電源f1(t)和f2(t)共同作用下，電路響應(yīng)為：y1(t)+y2(t)。無(wú)源網(wǎng)絡(luò)f1(t)f2(t)y(t)第47頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/148戴維南定理和諾頓定理

最大功率傳輸定理

NsabUOC+R0abIscR0abNs負(fù)載I條件：當(dāng)RL＝R0時(shí)，第48頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期二互易定理2023/5/149即：i1＝i2。NRUS+i2abcd(a)NRUS+i