電路相量分析

電路相量分析第1頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二本章學(xué)習(xí)目的及要求熟悉復(fù)數(shù)的幾種表達(dá)方式及其加減乘除運(yùn)算規(guī)則；掌握正弦量的相量表示法、相量的性能及其運(yùn)算方法；掌握復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納的概念；學(xué)會(huì)用相量圖進(jìn)行正弦量的輔助分析；正確理解正弦交流電路中幾種功率的分析。第2頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算是相量分析的基礎(chǔ)，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)式、三角式和極坐標(biāo)式及其相互轉(zhuǎn)換，理解復(fù)數(shù)進(jìn)行加減乘除運(yùn)算的規(guī)則。4.1.1復(fù)數(shù)及其表示方法復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上是一個(gè)點(diǎn)，＋j0a2＋1a1A原點(diǎn)指向復(fù)數(shù)的箭頭稱為它的模,模a與正向?qū)嵼S之間的夾角稱為復(fù)數(shù)A的幅角；A在實(shí)軸上的投影是它的實(shí)部；A在虛軸上的投影稱為其虛部。復(fù)數(shù)A的代數(shù)表達(dá)式為：A=a1+ja2由圖又可得出復(fù)數(shù)A的模值a和幅角ψ分別為：a第3頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二由圖還可得出復(fù)數(shù)A與模復(fù)數(shù)還可以表示為指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式：又可得到復(fù)數(shù)A的三角函數(shù)式為：＋j0a2＋1a1Aaa及幅角ψ之間的關(guān)系為A=acosψ+jasinψA=aejψ

或A=a/ψ復(fù)數(shù)的幾種表示方法可以相互轉(zhuǎn)換。解已知復(fù)數(shù)A的模a=5，幅角ψ=53.1°，試寫出復(fù)數(shù)A的極坐標(biāo)形式和代數(shù)形式表達(dá)式。極坐標(biāo)形式為：A=5/53.1°代數(shù)表達(dá)形式為：A=3+j4例第4頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.1.2復(fù)數(shù)運(yùn)算法則

顯然，復(fù)數(shù)相加、減時(shí)用代數(shù)形式比較方便；復(fù)數(shù)相乘、除時(shí)用極坐標(biāo)形式比較方便。設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為：A、B加、減、乘、除時(shí)的運(yùn)算公式第5頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在復(fù)數(shù)運(yùn)算當(dāng)中，一定要根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限正確寫出幅角的值。如：注意：代數(shù)形式中虛部數(shù)值前面的j是旋轉(zhuǎn)因子，一個(gè)復(fù)數(shù)乘以j相當(dāng)于在復(fù)平面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°；除以j相當(dāng)于在復(fù)平面上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（數(shù)學(xué)課程中旋轉(zhuǎn)因子是用i表示，電學(xué)中為了區(qū)別于電流而改為j)。第6頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二檢驗(yàn)學(xué)習(xí)結(jié)果1.已知復(fù)數(shù)A=4+j5，B=6-j2。試求A+B、A-B、A×B、A÷B。2.已知復(fù)數(shù)A=17/24°，B=6/-65°。試求A+B、A-B、A×B、A÷B。解1第2題自己練習(xí)。第7頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.2相量和復(fù)阻抗學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解相量的概念，熟練掌握正弦量的相量表示法；初步了解相量圖的畫法；掌握復(fù)阻抗的概念。4.2.1相量與正弦量相對(duì)應(yīng)的復(fù)電壓和復(fù)電流稱之為相量。為區(qū)別與一般復(fù)數(shù)，相量的頭頂上一般加符號(hào)“·”。例如正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，其最大值相量為：有效值相量為：由于一個(gè)電路中各正弦量都是同頻率的，所以相量只需對(duì)應(yīng)正弦量的兩要素即可。即模值對(duì)應(yīng)正弦量的有效值（或最大值），幅角對(duì)應(yīng)正弦量的初相。第8頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二按照各個(gè)正弦量的大小和相位關(guān)系用初始位置的有向線段畫出的若干個(gè)相量的圖形，稱為相量圖。把它們表示為相量，并且畫在相量圖中。例已知解用有效值相量表示，即：U1=U1ψ1U2=U2ψ2畫在相量圖中：U2U1也可以把復(fù)平面省略，直接畫作U2U1虛線可以不畫第9頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二利用相量圖中的幾何關(guān)系，可以簡(jiǎn)化同頻率正弦量之間的加、減運(yùn)算及其電路分析。解例如：U利用相量圖輔助分析，U2U1根據(jù)平行四邊形法則，由相量圖可以清楚地看出：U1cosψ1+U2cosψ2U1sinψ1+U2sinψ2利用相量圖分析計(jì)算同頻率正弦量之間的加、減運(yùn)算，顯然能起到化隱含為淺顯的目的，根據(jù)相量與正弦量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：u=Umsin(ωt+φ)第10頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.2.2復(fù)阻抗如果把正弦交流電路中各元件的電阻或電抗用復(fù)數(shù)表示時(shí)，我們稱之為復(fù)數(shù)形式的電阻電抗，簡(jiǎn)稱復(fù)阻抗。各元件復(fù)阻抗的代數(shù)形式如下：如果幾個(gè)理想元件相串聯(lián)時(shí)，它們復(fù)阻抗的模和幅角可由以下三角形求出：RXL|Z|RL串聯(lián)電路RXC|Z|RC串聯(lián)電路RXL-XC|Z|RLC串聯(lián)電路第11頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二答案1.把下列正弦量表示為有效值相量：思考練習(xí)2.指出下列各式的錯(cuò)誤并改正：正弦量和相量之間只有對(duì)應(yīng)沒有相等。電壓?jiǎn)挝皇荲！相量上面要加符號(hào)“·”！第12頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

I4.3相量分析法4.3.1.串聯(lián)電路的相量模型分析RL串相量圖ULRC串相量圖UCURUCUCURLC串相量圖U

I

IURURU串聯(lián)電路中，各元件上通過(guò)的電流相同，因此在相量分析中，應(yīng)以電流為參考相量（參考相量畫在正向?qū)嵼S位置上）。ULULCURIULURL串相量模型URIUCURC串相量模型URIULURLC串相量模型UC第13頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二由相量圖可以看出：RL串聯(lián)電路中總電壓超前電流一個(gè)φ角；RC串聯(lián)電路中總電壓滯后電流一個(gè)φ角；RLC三元件相串聯(lián)的電路中，若UL>UC，則總電壓超前電流一個(gè)φ角，若UL<UC，則總電壓滯后電流一個(gè)φ角，若UL=UC時(shí)，總電壓與電流同相，相位差φ=0，電路出現(xiàn)串聯(lián)諧振（后面專門討論）。

IRL串相量圖ULRC串相量圖UCURUCUCURLC串相量圖U

I

IURURUULULC第14頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二串聯(lián)電路阻抗的一般表達(dá)式：若串聯(lián)電路中只有兩個(gè)元件相串聯(lián)時(shí)，代入上式仍舊適用。參看前面的阻抗三角形。11由阻抗三角形可以看出：感性電路為正三角形，總電壓超前電流；容性電路為倒三角形，總電壓滯后電流；若純電阻性時(shí)，雖然電路中含有動(dòng)態(tài)元件L和C，仍舊會(huì)出現(xiàn)電壓和電流同相的特殊情況，此時(shí)電路中總的復(fù)阻抗等于電阻R。第15頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3.2并聯(lián)電路的相量模型分析IL>IC時(shí)的相量圖，電壓超前總電流。ICU在RLC并聯(lián)電路中，各元件兩端加的電壓相同，因此在相量分析中，應(yīng)以電壓為參考相量。IRIILURLC并聯(lián)電路相量模型ICIRILICILCIIL<IC時(shí)的相量圖，電壓滯后總電流。ICUIRILILCIIL當(dāng)IL=IC時(shí)，電路出現(xiàn)并聯(lián)諧振，此時(shí)電路中阻抗最大，且為純電阻性。第16頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二以感性的并聯(lián)電路為例，來(lái)討論一下并聯(lián)電路的復(fù)導(dǎo)納（即電阻和電納總的作用效果的復(fù)數(shù)表示形式），復(fù)導(dǎo)納用Y表示：Y=G+j(BC-BL），式中的G是電導(dǎo)（電阻的倒數(shù)）；BC是容納（容抗的倒數(shù)）；BL是感納（感抗的倒數(shù)）。由復(fù)導(dǎo)納的復(fù)數(shù)表達(dá)式又可得出：GBC-BL|Y|RLC并聯(lián)電路的導(dǎo)納三角形顯然，在感性電路中，電路中的電納BL>BC，電路呈感性，導(dǎo)納三角形為倒三角形；若電路呈容性，導(dǎo)納三角形即為正三角形。第17頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3.3應(yīng)用實(shí)例1.據(jù)原電路圖畫出相量模型圖（電路結(jié)構(gòu)不變）；在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示，則直流電路中介紹的基本定律、公式、分析方法都能用。具體步驟如下：2.根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫出相量圖；3.用相量分析法或相量圖求解；4.將結(jié)果變換成要求的形式。第18頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1下圖中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A

、UO

的讀數(shù)。解題方法有兩種：1.利用復(fù)數(shù)進(jìn)行相量分析；AAB

C25UOC12I&I&1I&2.利用相量圖分析求解。第19頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二利用復(fù)數(shù)進(jìn)行相量分析：AAB

C25UOC12I&I&1I&已知：I1=10A、

UAB=100V，求：A、UO的讀數(shù)。解A的讀數(shù)是10安培，UO的讀數(shù)是141.4伏特。第20頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二利用相量圖分析求解：例2URIULU電路的相量模型UCRjXL-jXC下圖中已知R=15Ω，L=12mH，C=40μF，端電壓u=28.3sin(2500t)V，求：i及各元件電壓。解

IURUCUULUL+UC由電壓三角形可導(dǎo)出阻抗三角形為：RXL-XC|Z|第21頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.4復(fù)功率學(xué)習(xí)目標(biāo)：正確區(qū)分正弦電路中的瞬時(shí)功率、有功功率、無(wú)功功率、視在功率、復(fù)功率和功率因數(shù)的概念，熟練掌握其分析計(jì)算的方法。4.4.1正弦交流電路中的功率設(shè)一個(gè)無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流為：u=Umsin(ωt+ψu(yù))i=Imsin(ωt+ψi)1.電路吸收的瞬時(shí)功率：第22頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二上式說(shuō)明瞬時(shí)功率有兩個(gè)分量，第一項(xiàng)與電阻元件的瞬時(shí)功率相似，始終大于或等于零，是網(wǎng)絡(luò)吸收能量的瞬時(shí)功率，其平均值為UIcosφ

。第二項(xiàng)與電感元件或電容元件的瞬時(shí)功率相似，其值正負(fù)交替，是網(wǎng)絡(luò)與外部電源交換能量的瞬時(shí)功率，它的最大值為UIsinφ

。2.電路吸收的平均功率：平均功率也就是有功功率，數(shù)值上等于瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，即：3.電路吸收的無(wú)功功率：無(wú)功功率反映了“只交換而不消耗”的電路現(xiàn)象，其中“無(wú)功”二字不能理解為“無(wú)用”，感性電路中的無(wú)功功率就是吸收電能建立磁場(chǎng)的那部分功率，用QL表示，恒為正值；容性電路中的無(wú)功功率是建立電場(chǎng)儲(chǔ)存電能的那部分功率用QC表示，即：Q的單位是乏爾（var)第23頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二QL和QC一正一負(fù)，說(shuō)明兩元件之間的無(wú)功功率具有相互補(bǔ)償作用，即L建立磁場(chǎng)時(shí)C恰逢放電，C建立電場(chǎng)時(shí)L恰逢釋放磁場(chǎng)能，L和C之間的能量交換可以互補(bǔ)。電力設(shè)備的容量一般由其額定電壓和額定電流的乘積來(lái)決定，稱為視在功率，用S表示：為了區(qū)別于有功功率和無(wú)功功率，視在功率的單位用“伏安(VA)”或“千伏安(KVA)”。由上式又可看出視在功率S和有功功率P、無(wú)功功率Q三者之間存在著相當(dāng)勾股弦定理的數(shù)量關(guān)系，因此可以把這種數(shù)量關(guān)系用一個(gè)三角形來(lái)表示：PQL-QCS顯然功率三角形和阻抗三角形、電壓三角形是相似三角形。只有電阻元件上才消耗有功功率！第24頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二PQL-QCS4.4.2復(fù)功率根據(jù)功率三角形可以導(dǎo)出復(fù)功率：復(fù)功率是一個(gè)輔助計(jì)算功率的復(fù)數(shù)，它的模是視在功率，它的輻角的余弦等于電路中總電壓與電流之間的相位差角，其實(shí)部是有功功率，虛部是無(wú)功功率復(fù)功率將正弦穩(wěn)態(tài)電路的三個(gè)功率統(tǒng)一在一個(gè)公式中，只要計(jì)算出電路中的電壓相量和電流相量，各種功率就可以很方便的計(jì)算出來(lái)。復(fù)功率的單位仍用視在功率的單位【VA】。第25頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.4.3功率因數(shù)的提高功率因數(shù)是電力技術(shù)經(jīng)濟(jì)中的一個(gè)重要指