信息技術支持下的蒙日圓淺談 論文

2022年安徽省中小學教育教學論文評選信息技術2.0支持下的蒙日圓淺談1問題的提出19世紀法國著名的幾何學家,《畫法幾何學》的創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：過橢圓x2y2(1ab0)上兩個動點作橢圓的兩條互相垂直的切線,兩切線相交于點M,則M的軌a2b2跡為圓x2y2a2b2.后人為了紀念蒙日對《幾何學》的突出貢獻,將此圓命名為橢圓的蒙日圓.筆者在對蒙日圓進行探究時,發(fā)現(xiàn)在雙曲線情形中,與蒙日圓有關的一些類似結論和新的結論,現(xiàn)介紹如下,供同行們參考.

2雙曲線中蒙日圓結論1：過雙曲線x2-y2=1(a>>0)上兩個動點作雙曲線的兩條互相垂直的切線,兩切線相交于a2b22點M,則M的軌跡為圓x+y2=a2-ba>>0).圖1證明：設M(x0y0),由于兩條切線互相垂直,故兩切線l1,l2的斜率均存在且不為0.設l1,l2的斜率分別為k1,k2,過點M的雙曲線的切線方程為l:yk(xx0)y0聯(lián)立ì?í??y=kx-x0)+y0消去y得:x2-y22=1a2b(b2a2k2)x22ka2(y0kx0)xa2[(y0kx0)2b2]0則(a2-xk022+2xyk0 0-y02-b2=0(x02-a210)4k2a4(y0kx0)2(4b2a2k2)a2[(y0kx0)2b2]0∴kk12=-y02-b2=-Tx02+y02=a2-b2.a2-x02所以,點M的軌跡是以原點為圓心,以a2-b（2 a>>0)為半徑的圓.我們不妨把點此圓稱這為雙曲線的“蒙日圓”.筆者利用《幾何畫板》數(shù)學軟件對雙曲線的“蒙12022年安徽省中小學教育教學論文評選日圓”進行探究時,發(fā)現(xiàn)許多有趣的結論,現(xiàn)擇其中部分結論供同行們參考.3蒙日圓中緣結論2：在蒙日圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意取一點M,向雙曲線x2-y2=1a>>0)a2b2引兩條切線直線,ll1 2,切點分別為AB,則l1l2（即結論1的逆命題也成立）.證明類似于結論1.結論3：M為蒙日圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意點,過M向雙曲線x2-y2=1(a>>0)a2b2引兩條切線,ll1 2線OA與直線OB的斜率都存在時,則直線OA與直線OB的斜率之積為定值-b4.a4證明：由x2-y2=1兩邊求導得：a2b22x-2yy￠

=Ty￠=bx2a2b2ay2所以,切線1l的斜率為kAM=bx21,ay21同理切線2l的斜率為kBM=bx22.ay22所以,kAM×BM=bx21×

aybx22

22=-1ay21Tb4× xx1 2yy1 2=-Tyy12=-b4×a4xx1 2a4即kOAkOB=-b4.a4結論4：M為蒙日圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意點,過M向雙曲線x2-y2=1(a>>0)a2b2引兩條切線,ll1 2,切點分別為AB.線段OM與直線AB交于點E,則E為弦AB的中點(如圖1的示).證明：設Axy1 1),Bx2,y2),M(x0y0)∵切線1l的方程為：xx1-yy1=1,a2b2切線2l的方程為：xx2-yy2=1,a2b222022年安徽省中小學教育教學論文評選M(x0y0)在切線,ll1 2上,∴ì??í???xx1 0-yy1 0=1即點A(x1y1),(xa2b2,B2,y2)xx2 0-yy2 0=1a2b2在直線xx0-yy0=1上,a2b2∴直線AB的方程為：xx0-yy0=1.a2b2又直線OM的方程為y0xx0y0聯(lián)立這兩個直線方程,解得： abx2 2 0

Ebx0 2-ay2 0 2,aby2 20)bx20

2-ay20

2聯(lián)立ì??í???xx0-yy0=1消去y得：a2b2x2-y2=1a2b2(ay20

2-bx20

2)x2+2abxx2 20-ab42+y02)=0∴x1+x2=-abx2 20=bx2

abx0

2

2-

2ay

020

2,2ay20

2-bx20

2∴E為弦AB的中點.結論5:M為蒙日圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意點,過M向雙曲線x2-y2=1(a>>0)a2b2,引兩條切線,ll1 2,切點分別為AB.若MAMB與圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)的另一交點分別CD,則AB∥CD(如圖1所示).證明：由結論4可知點E為AB的中點因為DAMB為直角三角形,所以DMAE=DEMA又因為O為CD的中點,所以DMCO=DOMA,所以DMAE=DMCO,所以AB∥CD.結論6：M是蒙日圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意一點,直線OM與雙曲線的一個交點為P直線OM與蒙日圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)的另一交點為N,FF2 1為雙曲線32022年安徽省中小學教育教學論文評選x2-y2=1(a>>0)的左右焦點,則：|PM||×PN||=PF||×PF|（如圖2所示）.a2b212圖2證明：設Px0,y0)OP|+|ON|)因為|PM||×PN|(|OP|-|OM|)(|=OP|2-|OM|2=(x02+y02)-(a2-b2)=(x02 b+a2x02-b2)-a2+b22=a2+b2x02-a2=c2x02-a2a2a2又由焦半徑公式得：|PF1||×PF2|(cx0-a)(cx0+a)=c2x02-a2aaa2(不妨設點P在右支上)∴|PM||×PN||=PF1||×PF2|.注：如果過點P任作一條直線,交圓：x2+y2=a2-b（2 a>>0)于GH,由相交弦性質(zhì)易得：|PG||×PH||=PF1||×PF2|.結論7：M是蒙日圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意一點,過M向雙曲線x2-y2=1(a>>0)引兩條切線,ll1 2,切點分別為AB,直線OM與雙曲線的一個交點為P,直a2b2線OM與AB交于點E,則：|OP|2為定值OM=a2-b2（或|OP|2=OM||×OE|）.（如圖2|OE|所示）y=y0x證明：∵00,易知直線OM的斜率必存在,則直線OM的方程為x0,42022年安徽省中小學教育教學論文評選聯(lián)立ì

??í

?

??y=y0x=1ì

?

?

Tí?

??x2=bx2

abx0

2

2-

2ay

0

220

2x0x2y2y2=bx2

aby0

2

2-

2ay

02

20

22-ab22 abx2 2 2 aby2 2 2TOP=0+022222222bx0-ay0 bx0-ay0由結論4可知： abx2 2 0

Ebx0 2-ay2 0 2,aby2 20)bx20

2-ay20

2|OP|2=abx2 20

22+bx2

aby0

2

2-

2ay

02

20

2)2=x02+y02=2b（定值）bx20

2-ay20

2-2|OE|abx4 40

2+(bx2

aby0

2

4-

4ay2

0

20

2a(bx20

2-ay20

2)∴|OP|2為定值（即|OP|2=OM||×OE|）.|OE|結論8：M是蒙日圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意一點,過M向雙曲線x2-y2=1(a>>0)引兩條切線,ll1 2,切點分別為AB,過點M作AB的垂線,垂足為H,a2b2FF2 1為雙曲線的左右焦點,則：|HF1|+|HF2|為定值（如圖3所示）.證明:設M(x0y0),則直線AB的方程為:xx0-yy0=1.a2b2①當直線MH的斜率不存在時,直線AB:xx0-yy0=1的斜率為零,a2b2此時H(0,±ab2b2),2-|HF1|+|HF2|2|HF1|2c2+

a2b4b2-=2a2+b2+

a2b4b2=2a2b2-a2-②當直線MH的斜率存在時,直線AB的方程為xx0-yy0=L（）a2b252022年安徽省中小學教育教學論文評選此時直線MH的方程為:y-y0=-ay20(x-x0)bx20Tayx20+bxy20=(a2+b2)xy0 0L（）聯(lián)立(1)(2)解得:ax20Ha2-b2,-by202).a2-b設H(x,y),則ì

??

í

?

??x=ax2022Tì

??

í

?

??x0y0=a2-b2xya2-ba2y=-by20=-a2-b2a2-bb2由Qx02+y02=a2-b2\?a?è2-b2x2?÷? ?+-?èa2-b2y2?÷?=a2-b2a2b2Tx2+y2=1(a>>0)(x10)a4b4a2-b2a2-b2由于a2a4b2-a2b4b2=a2+b2--綜合①②知,H的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,即|HF1|+|HF2|=2a2b2（定值）.a2-結論9：M是蒙日圓x2+y2=a2-b2（a>>0)上任意一點,過M向雙曲線x2-y2=1(a>>0)引兩條切線,ll1 2,切點分別為AB,過點M作AB的垂線,垂足為H,則：直a2b2線AB為H點軌跡的切線.證明：直線AB的方程為xx0-yy0=1a2b2由結論8知：點H的坐標為：ax20Ha2-b2,-by202),a2-b圖362022年安徽省中小學教育教學論文評選且H為橢圓x2+y2=1a>>0)上一點.所以過H點的橢圓切線為a4b4,:a2-b2a2-b2ax202x-by202y=1(a>>0)a2-ba2-b+a4b4a2-b2a2-b2即xx0-yy0=1a2b2所以,直線AB為點H軌跡的切線.結論10：M是蒙日圓x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意一點,過M向雙曲線x2-y2=1(a>>0)引兩條切線,ll1 2,切點分別為AB,過點M作AB的垂線,垂足為H,FF2 1a2b2為雙曲線的左右焦點,則：|HF1||×HF2||=MH|2.證明：由結論8知:ax20Ha2-b2,-by20)a2-b2由結論8可知x2+y2=1(a>>0)H的軌跡方程為：a4b4a2-b2a2-b2又由焦半徑公式得：|HF1||×HF2|(aa2b2-a2+b2ax202)(aa2b2+a2+b2×

a

ax2

2-b

02)2-a22-aa22a2-b-ba2-b22=a4-(a2+b2)x02.a2-b2y0+

a

by2

2-b

02)2|MH|2=(x0-ax202)2+(a2-b=

bx(

4a202+ay40

2=

bx402+a4(a2-b2-x02)-b2)2(a2-b2)2=(b4-a4)x02+a4(a2-b2)=a4-(a2+b2)x02(a2-b2)2a2-b2.72022年安徽省中小學教育教學論文評選∴|HF1||×HF2||=MH|2.注：由于DMAB為直角三角形,MH^AB,由射影定理得：|MH|2=HA||×HB|,所以,又有|HA||×HB||=HF1||×HF2|,進而得到：DFAH2∽DBFH1.結論11：M是x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意一點,過M向雙曲線x2-y2=1(a>>0)引a2b2兩條切線,ll1 2,切點分別為AB,過點M作AB的垂線,垂足為H,垂線MH交x軸于點K,當KH不重合時,則:|MH|為定值.|HK|圖4證明：由結論8知:ax20Ha2-b2,-by202),bx40

2+ay40

2a2-bMH的方程為:ayx20+bxy20=(a2+b2)xy0 0當KH不重合時,則y100,令y,0得：ayx20=(a2+b2)xy0 0Tx=(a2+b2)x0a2)解得：K((a2+b2)x0,0),ax20Ha2-b2,-by20a2a2-b2b2|HK|=(ax202-(a2+b2)x0)2+

(aby40

2)2=a2-ba22-b2a2a2-b2|MH|=（ax202-x0）（-by202-y0）2a2-ba2-b=ay40

2+bx40

2a2-b2所以,|MH|=b2bx40

2+ay40

2=a2.a2-b2|HK|bx40

2+ay40

2b2a2a2-b282022年安徽省中小學教育教學論文評選結論12：M是x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意一點,過M向雙曲線x2-y22=1a>>0)引a2b兩條切線,ll1 2,切點分別為AB,點OM到直線AB的距離分別為hh1 2,則:hh12為定值（如圖5所示）.圖5證明：設M(x0y0),直線AB的方程為：xx0-yy0=Tbxx20-ayy20-ab22=0a2b2∴原點O到直線AB的距離為h1=ab224y02bx40

2+a點M(x0y0)到直線AB的距離為：2h=MH=ay40

2+bx40

2a2-b2hh12=ab22×bx40

2+ay40

2bx40

2+ay40

2a2-b2=ab222.a2-b∴hh12為定值.結論13：M是x2+y2=a2-b（2 a>>0)上任意一點,過M向雙曲線x2-y2=1(a>>0)a2b2引兩條切線,ll1 2,切點分別為AB,設AB的中點為E,則E的軌跡方程為：x2+y2?x=?èa2-y22

?÷

?（如圖6所示）.a2-b22b2圖6證明：設Exy(,),M(x0y0)由結論4知92022年安徽省中小學教育教學論文評選abx2 20

Ebx02-ay20

2,aby2 20)bx20

2-ay20

2由結論4知OME三點共線,所以y=y0xTy=yx0代入上式得：x00xx=2x02abx2 20x0)2Tx0abx2 2=bx2 2-a22-a2(yybx同理可得：y0=

b2aby2 2y2x2-a2∵x02+y02=a2-b2T? abx2 2?èbx2 2-a2y22?÷?? ab2+?èbx2 2-2yy22?÷?=a2-b2a2Tx2+y2?x=?èa2

2-y22?÷?.a2-b2b2結論14：過雙曲線x2-y2=1(a>>0)上任意一點P作雙曲線的切線,交蒙日圓a2b2x2+y2=a2-b2于AB兩點.則OAOB的斜率之積kOA×=b2(定值).OBa2（如圖7所示）圖7證明：設Px0,y0),則過P的雙曲線的切線方程為xx0-yy0=1a2b2要使過P的雙曲線在切線與蒙日圓有交點則x021<a2-b2+ b y04

2a4可得x0>aa3b44-102022年安徽省中小學教育教學論文評選聯(lián)立ì?í??xxx0-yy0=12a2b242+y2=a2-b(ay40

2+bx40

2)x2-2abxx2 40-(a2-bay2 40

2+ab44=0設Axy1