理論力學(xué)動(dòng)靜法

理論力學(xué)動(dòng)靜法第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一本章介紹動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要原理——達(dá)朗伯原理。應(yīng)用這一原理，就將動(dòng)力學(xué)問題從形式上轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題，從而根據(jù)關(guān)于平衡的理論來求解。這種解答動(dòng)力學(xué)問題的方法，因而也稱動(dòng)靜法。動(dòng)力學(xué)2第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一§14–1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法§14–2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法§14–3剛體慣性力系的簡化§14–4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸承動(dòng)反力的概念達(dá)朗伯原理的應(yīng)用第十四章動(dòng)靜法第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一§14-1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法動(dòng)力學(xué)力是由于小車具有慣性，力圖保持原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對于施力物體(人手)產(chǎn)生的反抗力。稱為小車的慣性力。一、慣性力的概念人用手推車，人給小車一個(gè)力，而反過來小車也給人手一個(gè)力，由牛頓第三定律，（作用力與反作用力定律）；由牛頓第二定律所以4第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)[注]質(zhì)點(diǎn)慣性力不是作用在質(zhì)點(diǎn)上的真實(shí)力，它是質(zhì)點(diǎn)對施力體反作用力的合力。加速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，對迫使其產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)的物體的慣性反抗的總和。

定義：質(zhì)點(diǎn)慣性力5第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)非自由質(zhì)點(diǎn)M，質(zhì)量m，受主動(dòng)力，約束反力，合力質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法6第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)即：質(zhì)點(diǎn)在任意瞬時(shí)，除作用的主動(dòng)力和約束反力外，如再假想地加上慣性力，則這些力在形式上將組成一平衡力系。7第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)該方程對動(dòng)力學(xué)問題來說只是形式上的平衡，并沒有改變動(dòng)力學(xué)問題的實(shí)質(zhì)。采用動(dòng)靜法解決動(dòng)力學(xué)問題的最大優(yōu)點(diǎn)，可以利用靜力學(xué)提供的解題方法，給動(dòng)力學(xué)問題一種統(tǒng)一的解題格式。8第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)[例1]列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車廂向右作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺左偏角度，相對于車廂靜止。求車廂的加速度。9第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)選單擺的擺錘為研究對象虛加慣性力

角隨著加速度的變化而變化，當(dāng)不變時(shí)，角也不變。只要測出角，就能知道列車的加速度。這就是擺式加速計(jì)的原理。解：由動(dòng)靜法,有解得10第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)§14-2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，主動(dòng)力系、約束反力系、慣性力系形式上構(gòu)成平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)靜法?？捎梅匠瘫硎緸椋涸O(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，有11第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)注意到 ,將質(zhì)點(diǎn)系受力按內(nèi)力、外力劃分,則表明：對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來說，動(dòng)靜法給出的平衡方程，只是質(zhì)點(diǎn)系的慣性力系與其外力的平衡，而與內(nèi)力無關(guān)。12第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)對平面任意力系：對于空間任意力系：實(shí)際應(yīng)用時(shí),同靜力學(xué)一樣任意選取研究對象,列平衡方程求解。用動(dòng)靜法求解動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，13第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)

§14-3剛體慣性力系的簡化簡化方法就是采用靜力學(xué)中的力系簡化的理論。將虛擬的慣性力系視作力系向任一點(diǎn)O簡化而得到一個(gè)慣性力和一個(gè)慣性力偶。無論剛體作什么運(yùn)動(dòng)，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。14第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)一、剛體作平動(dòng)向質(zhì)心C簡化：剛體平動(dòng)時(shí)慣性力系合成為一過質(zhì)心的合慣性力。翻頁請看動(dòng)畫15第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)16第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)空間慣性力系—>平面慣性力系（質(zhì)量對稱面）O為轉(zhuǎn)軸z與質(zhì)量對稱平面的交點(diǎn)，向O點(diǎn)簡化：二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體先討論具有垂直于轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量對稱平面的簡單情況。O直線i:平動(dòng)，過Mi點(diǎn)，17第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)主矩：主矢：18第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)向O點(diǎn)簡化：向質(zhì)點(diǎn)C點(diǎn)簡化：作用在C點(diǎn)作用在O點(diǎn)19第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)討論：①剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點(diǎn)C。20第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)討論：②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點(diǎn)C，但0，慣性力偶（與反向）21第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)討論：③剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則（主矢、主矩均為零）22第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)假設(shè)剛體具有質(zhì)量對稱平面，并且平行于該平面作平面運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨基點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)C）的平動(dòng)：繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)：

作用于質(zhì)心三、剛體作平面運(yùn)動(dòng)23第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)24第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)對于平面運(yùn)動(dòng)剛體：由動(dòng)靜法可列出如下三個(gè)方程：實(shí)質(zhì)上：25第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)[例1]均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位置靜止落下。求開始落下時(shí)桿AB的角加速度及A點(diǎn)支座反力。選桿AB為研究對象虛加慣性力系：解：根據(jù)動(dòng)靜法，有26第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)27第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)用動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理再求解此題：解：選AB為研究對象由得：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：28第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)

[例2]牽引車的主動(dòng)輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動(dòng)，設(shè)車輪所受的主動(dòng)力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個(gè)力及驅(qū)動(dòng)力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件下，驅(qū)動(dòng)力偶矩M之最大值。取輪為研究對象虛加慣性力系：解：O29第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)由(1)得O由動(dòng)靜法，得：30第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)由(2)得N=P+S，要保證車輪不滑動(dòng)，必須F<fN=f(P+S)(5)可見，f越大越不易滑動(dòng)。Mmax的值為上式右端的值。把(5)代入(4)得：O31第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)§14-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸承動(dòng)反力的概念

一、剛體的軸承動(dòng)反力剛體的角速度，角加速度（逆時(shí)針）主動(dòng)力系向O點(diǎn)簡化:主矢,主矩慣性力系向O點(diǎn)簡化:主矢,主矩32第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)33第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)根據(jù)動(dòng)靜法：其中有五個(gè)式子與約束反力有關(guān)。設(shè)AB=l,OA=l1,OB=l2可得34第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)

由兩部分組成，一部分由主動(dòng)力引起的，不能消除，稱為靜反力；一部分是由于慣性力系的不平衡引起的，稱為附加動(dòng)反力，它可以通過調(diào)整加以消除。使附加動(dòng)反力為零，須有靜反力附加動(dòng)反力動(dòng)反力35第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)當(dāng)剛體轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸時(shí)，軸承的附加動(dòng)反力為零。對z軸慣性積為零，z軸為剛體在O點(diǎn)的慣性主軸；過質(zhì)心36第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)

靜平衡：剛體轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則剛體在僅受重力而不受其它主動(dòng)力時(shí)，不論位置如何，總能平衡。

動(dòng)平衡：轉(zhuǎn)動(dòng)為中心慣性主軸時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生附加動(dòng)反力。二、靜平衡與動(dòng)平衡的概念37第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)[例1]質(zhì)量不計(jì)的剛性軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其上固結(jié)著兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種情況下，哪些是靜平衡的？哪些是動(dòng)平衡的？靜平衡：(b)、(d)動(dòng)平衡：(a)38第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)動(dòng)平衡的剛體，一定是靜平衡的；反過來，靜平衡的剛體，不一定是動(dòng)平衡的。[例2]兩個(gè)相同的定滑輪如下圖示，開始時(shí)都處于靜止，問哪個(gè)角速度大？(a)繩子上加力G(b)繩子上掛一重G的物體OO39第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)根據(jù)達(dá)朗伯原理，以靜力學(xué)平衡方程的形式來建立動(dòng)力學(xué)方程的方法，稱為動(dòng)靜法。應(yīng)用動(dòng)靜法既可求運(yùn)動(dòng)，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)約束反力。應(yīng)用動(dòng)靜法可以利用靜力學(xué)建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意選取，二矩式，三矩式等等。因此當(dāng)問題中有多個(gè)約束反力時(shí)，應(yīng)用動(dòng)靜法求解它們時(shí)就方便得多。達(dá)朗伯原理的應(yīng)用40第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)

①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。

②受力分析。畫出全部主動(dòng)力和外約束反力。

③運(yùn)動(dòng)分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標(biāo)出方向。應(yīng)用動(dòng)靜法求動(dòng)力學(xué)問題的步驟及要點(diǎn)：④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。41第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)

⑤列動(dòng)靜方程。選取適當(dāng)?shù)木匦暮屯队拜S。

⑥建立補(bǔ)充方程。運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程（運(yùn)動(dòng)量之間的關(guān)系）。

⑦求解求知量。

[注]的方向及轉(zhuǎn)向已在受力圖中標(biāo)出，建立方程時(shí)，只需按 代入即可。42第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)

[例1]質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)，求鼓輪的角加速度。取系統(tǒng)為研究對象解：方法1用達(dá)朗伯原理求解43第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)虛加慣性力和慣性力偶：由動(dòng)靜法：列補(bǔ)充方程： 代入上式得：44第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)方法2用動(dòng)量矩定理求解根據(jù)動(dòng)量矩定理：取系統(tǒng)為研究對象45第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)取系統(tǒng)為研究對象，任一瞬時(shí)系統(tǒng)的方法3用動(dòng)能定理求解46第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)兩邊除以dt，并求導(dǎo)數(shù)，得47第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)[例2]在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動(dòng)的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P和Q，半徑均為R，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓輪的角加速度？(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計(jì)滾動(dòng)摩擦）？48第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)解：方法1用達(dá)朗伯原理求解取輪O為研究對象，虛加慣性力偶列出動(dòng)靜方程：取輪A為研究對象，虛加慣性力和慣性力偶MQC如圖示。49第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)列出動(dòng)靜方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：，將MQ，RQ，MQA及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：50第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)代入(2)、(3)、(5)式，得：51第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)方法2用動(dòng)力學(xué)普遍定理求解(1)用動(dòng)能定理求鼓輪角加速度。取系統(tǒng)為研究對象52第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)兩邊對t求導(dǎo)數(shù)：53第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)(2)用動(dòng)量矩定理求繩子拉力（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程）取輪O為研究對象，由動(dòng)量矩定理得54第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)(3)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解軸承O處支反力取輪O為研究對象，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：55第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)(4)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求摩擦力取圓柱體A為研究對象，根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程方法3：用動(dòng)能定理求鼓輪的角加速度

用達(dá)朗伯原理求約束反力（繩子拉力、軸承O處反力和及摩擦力）。56第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)[例3]均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動(dòng)地沿傾斜平板由靜止自O(shè)點(diǎn)開始滾動(dòng)。平板對水平線的傾角為，試求OA=S時(shí)平板在O點(diǎn)的約束反力。板的重力略去不計(jì)。解：(1)用動(dòng)能定理求速度，加速度圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)。在初始位置時(shí)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，故T1=0；在末位置時(shí)，設(shè)角速度為，則vC=R,動(dòng)能為：P57第57頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一動(dòng)力學(xué)主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得對t求導(dǎo)數(shù)，則：(2)用達(dá)朗伯原理求約束反力取系統(tǒng)為研究對象，虛加慣性力和慣性力偶MQCP58第5