數(shù)學物理方程反問題講稿

2023/5/11什么是反問題(wèntí)應用背景具體實例第一頁，共37頁。2023/5/11什么(shénme)是反問題耳朵能“聽出〞鼓的形狀嗎？

僅僅通過鼓的聲音能否判斷出鼓的形狀？問題最早由丹麥著名物理學家Lorentz在1910年的一次講演中提出，它的背景來自于射線理論。一個物體的音色可以由一串譜來確定，它們在物理上對應著物體的固有頻率。“盲人聽鼓〞即是要求通過已知的譜來確定一個鼓面的形狀。經(jīng)過數(shù)學家們的演算給出了否認(fǒurèn)的答案。但是，從鼓聲中我們確實能得到相當多的形狀信息：我們能夠“聽〞出鼓的面積有多大、周邊有多長甚至鼓的內(nèi)部是否有洞、有幾個洞。

第二頁，共37頁。2023/5/122023/5/13什么是反問題？反問題是相對于正問題而言的。以前面所舉的“盲人聽鼓〞反問題為例，它的正問題就是要在鼓的形狀的條件下，研究其發(fā)聲規(guī)律，這在數(shù)學物理歷史上已經(jīng)研究在先，而且比較成熟。此時鼓的所有譜都能通過一套算法利用計算機算出來。我們可以這樣理解：世間的事物或現(xiàn)象之間往往存在著一定的自然順序，如時間順序、空間順序、因果順序，等等。所謂正問題，一般是按著這種自然順序來研究事物的演化過程或分布形態(tài)，起著由因推果的作用。反問題那么是根據(jù)(gēnjù)事物的演化結(jié)果，由可觀測的現(xiàn)象來探求事物的內(nèi)部規(guī)律或所受的外部影響，由表及里，索隱探秘，起著倒果求因的作用?？梢钥闯?，正、反兩方面都是科學研究的重要內(nèi)容。

第三頁，共37頁。2023/5/132023/5/14什么是反問題？盡管一些經(jīng)典反問題的研究可以追溯很早，反問題這一學科的興起卻是近幾十年來的事情。在科學研究中經(jīng)常要通過間接觀測來探求位于不可達、不可觸之處的物質(zhì)的變化規(guī)律；生產(chǎn)中經(jīng)常要根據(jù)特定的功能對產(chǎn)品進行設計，或按照某種目的對流程進行控制。這些都可以提出為某種形式的反問題?？梢?，反問題的產(chǎn)生是科學研究不斷深化和工程技術(shù)迅猛開展的結(jié)果，而計算技術(shù)的革命又為它提供了重要的物質(zhì)根底?，F(xiàn)在，反問題的研究已經(jīng)普及現(xiàn)代化生產(chǎn)、生活、研究的各個領域(lǐnɡyù)。我們下面具體介紹一些常見的反問題應用背景，希望大家能夠?qū)λ幸粋€概括的了解。第四頁，共37頁。2023/5/14定向(dìnɡxiànɡ)設計物性(wùxìnɡ)探測掃描(sǎomiáo)成像逆時反演及其他應用背景第五頁，共37頁。2023/5/152023/5/16工業(yè)(gōngyè)生產(chǎn)離不開產(chǎn)品設計，如何設計出優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品使之更好地實現(xiàn)其功能，是關(guān)系到廠家信譽和企業(yè)生存的大問題。在這方面，反問題研究可以為企業(yè)家出謀劃策。事實上，最早的反問題研究就是起源于定向設計問題。我們知道，單擺的等時性只是在小角度的假設下才近似成立。能不能找到一種特殊軌線的擺，使它嚴格滿足等時性？Huygens于1673年提出并解決了這一問題，這種特殊的軌線就是旋輪線，它的方程為

當代工業(yè)(gōngyè)產(chǎn)品的極大豐富為反問題的研究提供了廣闊的用武之地，許多工業(yè)(gōngyè)設計問題是相當困難的，需要用到高深的數(shù)學手段。例如，國外的光學儀器廠家提出：能否設計一種光柵，利用其非線性衍射效應產(chǎn)生出高能量的單色射線？這就是一

第六頁，共37頁。2023/5/16個定向設計問題，它要求數(shù)學家利用推導和計算手段構(gòu)造出所需要的曲面〔光柵〕形狀。定向設計的應用相當廣泛。比方說：一個城市的某條街道車流量很大，不堪負荷，怎樣通過鋪設(pūshè)新的路段來進行分流？在軍事行動中如何對不同種類的炮火進行分布以到達特定的轟炸效果？這類問題往往涉及各種事物的組合、分配布局，要求在各種相互制約、相互影響的因素中尋找出最正確方案，為領導的決策提供依據(jù)。第七頁，共37頁。2023/5/172023/5/18給你一只管子，不允許直接進入內(nèi)部測量，你能算出里面的形狀嗎？如果管子是軸對稱的，這時只需要知道內(nèi)部的截面半徑就可以了。美國貝爾實驗室的Sondhi和Gophinath提供了一個方法：在管子的一邊發(fā)出聲音，用儀器測量管口的位移速度和壓力。通過測量結(jié)果就可以推知管內(nèi)的截面半徑。

這個例子，它實際上暗示了許多不能直接測量的物性探測問題可以通過類似的間接方法來解決。我們通常說“上天入地〞都是很困難的事情，可是在一些情況(qíngkuàng)下似乎必須“入地〞才能解決問題，比方說石油勘探。石油通常埋在幾千米的地下，無法直接觀察油田的位置和儲量，靠試打井的方法來探測不但費用昂貴〔一口井的代價要上千萬元〕，而且效率第八頁，共37頁。2023/5/18極低〔只能探測到井附近的局部信息〕。一個可行的方法(fāngfǎ)是通過地面爆炸向地下發(fā)射地震波，同時接收地層的反射波信號?？梢韵胂?，地面接收到的反射信號中含有地下的物性結(jié)構(gòu)信息〔地層的密度、聲速等等〕，利用數(shù)學手段將這些信息提取出來，就可以對地下的油儲及其分布作出科學的判斷。類似的探測方法(fāngfǎ)可以應用于許多方面，如：農(nóng)用土壤分析、地下水勘查，甚至于在考古發(fā)現(xiàn)上也有應用。位于三峽庫區(qū)的四川省云陽縣故陵鎮(zhèn)有一個大土包，相傳為楚國古墓，但是歷經(jīng)三千余年的變遷，已經(jīng)難以確認了?？萍脊ぷ髡咴诘乇砝玫卣鸩ǚ?、高精度磁法、電場巖性探測和地化方法(fāngfǎ)四種手段進行探測，不但確認了古墓的存在，而且得到了關(guān)于古墓的埋藏深度、形狀、大小甚至墓道的準確信息，為搶救和保護文物作出了奉獻。第九頁，共37頁。2023/5/192023/5/110

如果把下落的物體用掃描射線替代(tìdài)，從另一個角度來看它為我們提供了從射線的走時響應反推其傳播軌跡的方法，將不同軌跡射線的反演結(jié)果組合起來就能得到傳播介質(zhì)的內(nèi)部形態(tài)信息。本世紀初，Hebglotz和Wiechebt應用Abel型反演方法解決了在一定對稱條件下通過地震波的走時曲線來反推地層內(nèi)部形貌的方法。據(jù)此Mohobovic〔1909年〕發(fā)現(xiàn)了地殼與地幔之間的斷層?，F(xiàn)在，利用地震波的接收信號通過成像來考察地層地貌形態(tài)已經(jīng)成為地球物理勘探最為重要的手段。例如，通過走時成像，可以得到地震波在不同深度的傳播速度；而在速度的前提下，利用聲波方程或其單程波方程偏移成像方法，又可以得到反射界面的位置和形狀。

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成像的另一個重要應用是醫(yī)學上的計算機層析成像〔CT〕，這是X光射線自Roentgen創(chuàng)造〔獲1900年諾貝爾獎〕以來在醫(yī)療診斷上的重大進展，其創(chuàng)造人Hounsfield和Cormack因此獲得了1979年的諾貝爾醫(yī)學獎。CT技術(shù)是醫(yī)學、電子技術(shù)、計算機技術(shù)和反演數(shù)學相結(jié)合的產(chǎn)物，它利用計算機來對穿越人體的X射線信號進行處理(chǔlǐ)，來重建體內(nèi)的結(jié)構(gòu)信息，生成透視圖象供醫(yī)療診斷參考，其核心算法的數(shù)學根底是二維Radon變換。繼之而起的是基于三維Radon變換的核磁共振成像，在診斷效果和無傷害性方面更為優(yōu)越。事實上，類似的方法也可以借助于聲波、光波、電磁波在無損探傷、雷達偵察、射電望遠鏡探測、環(huán)境監(jiān)測等多方面有廣泛應用。第十一頁，共37頁。2023/5/1112023/5/112

我們經(jīng)常遇到這樣的問題：知道了某個事物的現(xiàn)在狀態(tài)，希望了解它的過去(guòqù)，即通常所說的“恢復歷史的本來面目。這往往可以提為逆時反問題。它所研究的對象一般要滿足某種類型的演化方程或數(shù)學模式。例如，通過遠程測得的某次爆炸產(chǎn)生的輻射波，如何確定爆炸的位置和初始能量？這是波動方程的逆時反問題；又如，根據(jù)近來的溫度變化能否確定過去(guòqù)某個時間的溫度狀態(tài)？這就成為熱傳導方程的逆時反問題。

第十二頁，共37頁。2023/5/112

反問題(wèntí)的研究起源于數(shù)理方程，反問題(wèntí)的研究也促進了人們對世界的識。一個著名的例子是反散射方法在孤立子發(fā)現(xiàn)中的作用：反散射問題(wèntí)是量子物理學研究中的一個問題(wèntí)，通過譜和譜函數(shù)在無窮遠處的散射性態(tài)反推一維Schordinger方程的位勢函數(shù)。它由前蘇聯(lián)數(shù)學家Gelfand和Levitan〔1955年〕一舉解決。在此根底上引發(fā)了一系列突破性進展，最為著名的是利用這個結(jié)果Lax〔1968年〕得到了關(guān)于KDV方程的巧妙解法，從而發(fā)現(xiàn)了非線性方程中的孤立子現(xiàn)象。這是近代非線性科學研究的重要事件。第十三頁，共37頁。2023/5/113具體(jùtǐ)實例例1金融學中的一個簡單計息反問題在通常利率的連續(xù)復利率模型中，投資(tóuzī)變化的百分率是一個給定的常利率，用微分方程表示為其中是時刻投資(tóuzī)價值，由此導出價值的指數(shù)增長模型

在變化利率模型中，利率與時間有關(guān)，即，于是有第十四頁，共37頁。2023/5/114，給定與時間有關(guān)的利率和初值，求價值記錄的問題稱為正問題；另一方面，由價值記錄求變化率的問題稱為反問題。注意這里(zhèlǐ)正問題的求解是積分運算，這是一個穩(wěn)定的過程，而反問題的求解需要微分運算，是不穩(wěn)定的。我們通常感興趣的是反問題，如果價值記錄的解析表達式，求是一個簡單的微分運算，對時間進行離散，用差商代替導數(shù)，那么用來近似，其中。直接從原始模型出發(fā)可以建立求反問題近似解的另一種第十五頁，共37頁。2023/5/1152023/5/116方法將方程兩邊在上積分得到，利用梯形公式近似右端積分即得由此解出這里的問題中都假定利率(lìlǜ)和價值記錄是嚴格正的函數(shù)。第十六頁，共37頁。2023/5/116例2熱傳導問題與外界存在熱交換的物體外表溫度不能及時到達(dàodá)熱平衡，如果物體比外界熱，熱量從物體往外流出從而使物體冷卻，這一現(xiàn)象最簡單的模型是牛頓冷卻定律，即外表溫度的變化與物體外表和外界溫度之差成比例，如果時刻物體的外表溫度為，而外界溫度為常數(shù)，由牛頓冷卻定律得其中熱交換系數(shù)為正常數(shù)，這是一個經(jīng)典的指數(shù)衰減模型，確定外表溫度的正問題有唯一解第十七頁，共37頁。2023/5/1172023/5/118這個解依賴外界溫度、初始溫度和熱交換系數(shù)三個參數(shù)。當然(dāngrán)在適當時候外表溫度觀測值確定了識別參數(shù)、和的反問題的解。熱是一種形式的能量，物體的熱含量是物體分子動能的一種測量標準，溫度計測量得的溫度與物體分子的平均動能有關(guān)。物體的熱含量不僅依賴于它的溫度，而且依賴于它的質(zhì)量，如3千克的鐵球在給定的溫度下，它的熱能是相同溫度的1千克的鐵球的3倍。熱還與材料的種類有關(guān)，1千克的棉花球在給定溫度下，其熱能比相同溫度的1千克鐵球的少。這一思想可描述為：其中是物體的溫度，是它的質(zhì)量，是物質(zhì)的比熱。第十八頁，共37頁。2023/5/1182023/5/119我們討論具有最簡單幾何形狀的物體的內(nèi)部溫度：一個橫截面積為單位面積的單位長度的棒子，并假設它正好處于軸的單位坐標上。假設棒子的質(zhì)量密度和比熱分別為和，并假設棒子的側(cè)面是隔熱的，所以溫度空間上僅為單變量的函數(shù)。這樣的棒子在上的點在時刻的溫度函數(shù)為?？紤]棒子上的一小段區(qū)域，這一薄層上的熱量變化速度近似為，由能量守恒原理，這個量等于(děngyú)流入這一薄層的熱量速度加上這一薄層單位時間內(nèi)可能產(chǎn)生的熱量。如果定義〔時刻點〕單位體積產(chǎn)生的熱量為，那么單位時間內(nèi)，橫截面積為單位面積的薄層產(chǎn)生的熱量近似為。熱只能從的左側(cè)或的右側(cè)流入〔或流出〕這一薄層。最后，由傅立葉定律，通過外表的熱流速度與外表第十九頁，共37頁。2023/5/119上溫度梯度的負數(shù)成比例。〔這里的負號是因為熱量是從熱流向冷〕。因此單位時間內(nèi)通過外表流入薄層的凈熱流加上單位時間內(nèi)部生成的熱量，我們得到這一薄層中熱量變化速度近似(jìnsì)為由能量守恒原理，這與前面計算的比率相等，當區(qū)間收縮到點時這一模型變成這就是著名的傅立葉熱方程。熱方程的正問題包括給定邊界條件，即端點的溫度和初始溫度分布及參數(shù)值，求解時刻所有點的溫度，一般來說這些參數(shù)第二十頁，共37頁。2023/5/1202023/5/121是時間、空間和溫度的函數(shù)。我們研究識別和估計熱模型中的分布參數(shù)，特別的，我們考慮由觀測得到的棒子中點的溫度變化過程，確定與時間有關(guān)的參數(shù)的問題(wèntí)練習：下面給出測量得到的不同時刻按牛頓定律冷卻的物體外表溫度，求解周圍溫度、初始溫度和熱交換系數(shù)。51015726254第二十一頁，共37頁。2023/5/1212023/5/122例3線性代數(shù)中的反問題線性代數(shù)主要關(guān)注的是線性方程組解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，線性代數(shù)的正問題指給定矩陣和一個維向量，求解維向量，而尋求滿足的解的原因反問題受到更多的關(guān)注，還有一類識別反問題即確定矩陣使得對給定的輸入-輸出滿足。首先考慮原因反問題，求解向量滿足，這個問題的解存在當且僅當屬于子空間，這一子空間就是所有(suǒyǒu)的列向量的線性方程組合形成的的子空間。確定是否屬于也就是解是否存在，尋找所有(suǒyǒu)的解是通過高斯消去法來實現(xiàn)的。第二十二頁，共37頁。2023/5/1222023/5/123唯一性問題是通過的零空間來解決的，高斯消去法是一個刻畫零空間的有效(yǒuxiào)手段。的解關(guān)于右端項的擾動的穩(wěn)定性，可以用矩陣的條件數(shù)來量化。我們假設矩陣為可逆矩陣，我們想知道在怎樣一個相對誤差內(nèi)會導致解的相對大的改變，假設是右端項的一個擾動，擾動的大小可以用范數(shù)來衡量，令是右端項為的解，那么所以可以得到如下的相對誤差估計第二十三頁，共37頁。2023/5/1232023/5/124于是其中稱為矩陣的條件數(shù)，因此條件數(shù)給出了由給定的右端項相對誤差造成的解的相對誤差的上界。對于大條件數(shù)的矩陣，即病態(tài)矩陣，右端相對小的擾動會引起解的相對大的變化，在這種意義下，病態(tài)線性方程組是不穩(wěn)定的?？紤]無解或有無窮多解的線性方程組。當不屬于矩陣的值域時，無解。零空間、值域和轉(zhuǎn)置之間的關(guān)系使得我們可以求它的一類廣義解：最小二乘解，即解向量(xiàngliàng)使得所有的中的范數(shù)到達最小。如果是最小二乘解，那么對于任意向量(xiàngliàng)，函數(shù)第二十四頁，共37頁。2023/5/1242023/5/125在時到達最小值，由極值的必要條件得，所以對于所有的成立，也就是說如果是最小二乘解，那么(nàme)

其中是的轉(zhuǎn)置矩陣。相反的，如果，那么(nàme)對于任何，第二十五頁，共37頁。2023/5/1252023/5/126即是最小二乘解。所有的最小二乘解就是對稱問題的普通解，由于,這一對稱問題總是有一個解。事實上,如果是最小二乘解，那么對于任意，也是最小二乘解，即最小二乘解的集合構(gòu)成平行于零空間的超平面，因此如果有一個非平凡的零空間，那么有無限多個最小二乘解，其中有一個最小二乘解能夠區(qū)別其它的解，即這一解與零空間正交，這樣的最小二乘解至多只有一個。我們接受(jiēshòu)這一廣義解的概念，那么每個線性系統(tǒng)都有唯一的廣義解。下面考慮識別反問題，即給定關(guān)于的向量對確定矩陣的反問題。通過詢問適當?shù)挠^察輸出的來識別黑箱，我們可以控制輸入，安排他們?yōu)榫€性無關(guān)的，用一個矩陣表示輸入，其中矩陣的每一列分別輸入向量第二十六頁，共37頁。2023/5/1262023/5/127，記為，相應的輸出向量可以用矩陣來表示。如果存在唯一的矩陣滿足，那么稱可以通過矩陣對來識別?？紤]三種情況，首先是不可能(kěnéng)的，因為向量組是線性無關(guān)的；第二種情況，那么是可逆的，是可識別的。第三種情況，在這種情況下存在一個向量與正交，令是矩陣，它的第一行是，其他行都是零向量，那么是的零矩陣，因此如果就有，此時從信息無法識別第二十七頁，共37頁。2023/5/1272023/5/128例4混合溶液的流動典型的正問題為給定一個初始濃度的溶液，以及溶液流入和流出的速度，計算將來時刻溶液的濃度。這里給出最簡單的模型：容器的容積為，濃度為的溶液以一個給定速度流入，而這被充分攪和的溶液又以相同的速度從容器中排出。這一模型的建立僅僅依賴于速度的平衡，如果代表容器中時刻溶質(zhì)的質(zhì)量，那么隨時間變化(biànhuà)的速度就是溶液流入容器的速度和它流出的速度之差，因此或者可以給出容器中溶液濃度的微分方程第二十八頁，共37頁。2023/5/1282023/5/129這一微分方程與通過牛頓得到的冷卻過程模型有相同的形式，有唯一的解其中是容器中溶液的初始濃度，給定參數(shù)，這一正問題的解給出了該溶液任意時刻的濃度。這一簡單模型蘊藏了許多有趣的反問題，例如，假設容器是個有污染的地下(dìxià)水滲入的地下(dìxià)蓄水池，通過抽樣這個蓄水池的溶液〔通過預測的探測器〕，可以測量得到這一蓄水池任意時刻的液體濃度，這些測量結(jié)果可以用來反演這一模型中的參數(shù)，這一模型也可以推廣，例如流出和流入的速度不同時，這個模型中第二十九頁，共37頁。2023/5/1292023/5/130體積就是一個依賴于時間的參數(shù)。反問題也可以這樣提出，流速或流入液體的濃度是依賴于時間的。

練習：含有未知〔常數(shù)〕濃度的污染物質(zhì)的地下水以一個未知〔常數(shù)〕速度滲入(shènrù)到一個容積為1000加侖的蓄水池中，這一被充分攪和的溶液以同樣的速度向外滲漏，測量結(jié)果說明蓄水池中污染物質(zhì)的初始濃度為，一天以后污染物濃度為，兩天后為，求地下水中污染物質(zhì)的濃度是多少？地下水滲入(shènrù)蓄水池的速度是多少？第三十頁，共37頁。2023/5/1302023/5/131例5利用萬有引力尋寶考慮質(zhì)量為的質(zhì)點，位于單位深度的平靜的河底(hédǐ)，假定任何其他的重力源都是完全均勻的，從而由質(zhì)點源產(chǎn)生的重力異常是唯一的重力影響源。確定河底(hédǐ)的金塊對河面單位質(zhì)量質(zhì)點的引力是一個正問題，牛頓萬有引力定律認為該作用力等于兩質(zhì)點質(zhì)量乘積的萬有引力常數(shù)倍，再除以兩質(zhì)點距離的平方。我們考慮基于河底(hédǐ)測得數(shù)據(jù)來確定質(zhì)點質(zhì)量和位置的反問題，測得的數(shù)據(jù)包括河面基準點到測量點的距離以及河底(hédǐ)的金塊產(chǎn)生的對河面處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力的垂直分量的估計值〔例如利用靈敏彈簧秤測得〕，

第三十一頁，共37頁。2023/5/1312023/5/132金塊與測量儀器上單位質(zhì)點的距離的平方為，〔由畢達哥拉斯定理得出〕，且質(zhì)量的乘積為。金塊對河面處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力的垂直(chuízhí)分量為，由牛頓萬有引力定律可表示為因為河水的深度為1，可見此關(guān)系式代入前式可得

第三十二頁，共37頁。2023/5/132上面的正問題是確定河底金塊對河面處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力的垂直分量，由上述方程可見正問題有唯一解。下面考慮通過在河底處的觀測值來確定金塊的質(zhì)量和位置的反問題。首先將上述方程改寫使得問題變得簡單一些，定義兩個新的變量

分別稱為有效(yǒux