湖北省高中聯(lián)考2023年數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是虛數(shù)單位，條件復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，條件，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．若1a<1bA．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<3．已知：，且，，則A． B． C． D．4．已知銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．在等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，若q＝2，且a2與2a4的等差中項(xiàng)為18，則S5＝()A．－62 B．62 C．32 D．－326．考察正方體6個(gè)面的中心，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于()A． B． C． D．7．已知是離散型隨機(jī)變量，，，，則（）A． B． C． D．8．如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．，是的極大值點(diǎn)B．，是的極小值點(diǎn)C．，不是的極值點(diǎn)D．，是是的極值點(diǎn)9．袋中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，不放回的依次摸出兩球，在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率是A． B． C． D．10．一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是3的取法有（）A．12種 B．15種 C．17種 D．19種11．下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是（）A．某校高三有8個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測(cè)各班人數(shù)都超過(guò)50人B．由三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)C．平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分D．在數(shù)列中，，可得，由此歸納出的通項(xiàng)公式12．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m＝()A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若從甲乙丙丁4位同學(xué)中選出3位同學(xué)參加某個(gè)活動(dòng)，則甲被選中的概率為_(kāi)_________．14．面對(duì)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的消費(fèi)市場(chǎng),眾多商家不斷擴(kuò)大自己的銷售市場(chǎng)，以降低生產(chǎn)成本.某白酒釀造企業(yè)市場(chǎng)部對(duì)該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量(單位：千箱)與單位成本(單位：元)的資料進(jìn)行線性回歸分析,得到結(jié)果如下：,,,,則銷量每增加1千箱，單位成本約下降________元(結(jié)果保留5位有效數(shù)字)．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：，．15．在中，是角A，B，C的對(duì)邊，己知，現(xiàn)有以下判斷：①的外接圓面積是；②；③可能等于16；④作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，則的最大值是.請(qǐng)將所有正確的判斷序號(hào)填在橫線上________.16．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率為，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A，斜率為．求橢圓C的方程；求的值．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（I）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（II）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.19．（12分）數(shù)列滿足.（Ⅰ）計(jì)算，，，并由此猜想通項(xiàng)公式；（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的猜想.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)(，)，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝a，．（1）若點(diǎn)A在直線l上，求直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若直線與圓C相交的弦長(zhǎng)為，求的值．22．（10分）已知拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).(Ⅰ)求拋物線的方程；(Ⅱ)若，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，必有利用充分條件與必要條件的定義可得結(jié)果.【詳解】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，必有所以由能推出；但若,不能推出復(fù)數(shù)是純虛數(shù).所以由不能推出.，因此是充分不必要條件,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念以及充分條件與必要條件的定義，屬于簡(jiǎn)單題.判斷充要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；對(duì)于范圍問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來(lái)處理.2、D【解析】

不妨令a=-1，b=-2【詳解】由題1a<1b<0，不妨令a=-1，b=-2，可得a2＜ba-b=-1【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項(xiàng)，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】分析：由題目條件，得隨機(jī)變量x的均值和方差的值，利用即可得出結(jié)論．．詳解：由題意，

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的參數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題，正態(tài)分布涉及到連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度，是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，也是自然界最常見(jiàn)的一種分布．4、B【解析】

利用余弦定理化簡(jiǎn)后可得，再利用正弦定理把邊角關(guān)系化為角的三角函數(shù)的關(guān)系式，從而得到，因此，結(jié)合的范圍可得所求的取值范圍.【詳解】，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，故,選B.【點(diǎn)睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡(jiǎn)該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡(jiǎn)該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.5、B【解析】

先根據(jù)a2與2a4的等差中項(xiàng)為18求出，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求S5.【詳解】因?yàn)閍2與2a4的等差中項(xiàng)為18，所以，所以.故答案為：B【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，考查等差中項(xiàng)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本的計(jì)算能力.(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：.6、D【解析】

先求出基本事件總數(shù)，再列舉出所得的兩條直線相互平行但不重合的個(gè)數(shù)，利用古典概型公式即可得解.【詳解】甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，共有種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有共12對(duì)，所以所求概率為，選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型的計(jì)算，涉及空間直線平行的判斷，屬于中檔題.7、A【解析】分析：由已知條件利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求出a，進(jìn)而求出，由此即可求出答案.詳解：是離散型隨機(jī)變量，，，，由已知得，解得，，.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用.8、B【解析】

由圖判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合為在點(diǎn)P處的切線方程，則有，由此可判斷極值情況.【詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，則有是的極小值點(diǎn)，故選B.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)圖象考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析圖象不難求解.9、D【解析】

通過(guò)條件概率相關(guān)公式即可計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)“第一次摸到紅球”為事件A，“第二次摸到紅球”為事件B，而，，故，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的相關(guān)計(jì)算，難度不大.10、D【解析】試題分析：分三類：第一類，有一次取到3號(hào)球，共有取法；第二類，有兩次取到3號(hào)球，共有取法；第三類，三次都取到3號(hào)球，共有1種取法；共有19種取法.考點(diǎn)：排列組合，分類分步記數(shù)原理.11、C【解析】

推理分為合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)與演繹推理（一般→特殊），其中合情推理包含類比推理與歸納推理，利用各概念進(jìn)行判斷可得正確答案.【詳解】解：∵A中是從特殊→一般的推理，均屬于歸納推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，是由特殊→特殊的推理，為類比推理，屬于合情推理；C為三段論，是從一般→特殊的推理，是演繹推理；D為不完全歸納推理，屬于合情推理．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查推理中的合情推理與演繹推理，注意理解其概念作出正確判斷.12、B【解析】試題分析：由題意可知,,,即,,解得．故B正確．考點(diǎn)：1二項(xiàng)式系數(shù)；2組合數(shù)的運(yùn)算．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：先確定4位同學(xué)中選出3位同學(xué)事件數(shù)，再確定甲被選中事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)?位同學(xué)中選出3位同學(xué)共有種，甲被選中事件數(shù)有,所以甲被選中的概率為.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.14、1.8182【解析】

根據(jù)所給的數(shù)據(jù)和公式可以求出回歸直線方程,根據(jù)回歸直線斜率的意義可以求出銷量每增加1千箱，單位成本約下降多少元.【詳解】由所給的數(shù)據(jù)和公式可求得：,,所以線性回歸方程為：,所以銷量每增加1千箱，單位成本約下降元.故答案為：1.8182【點(diǎn)睛】本題考查了求線性回歸方程,考查了直線斜率的意義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15、①②④【解析】

根據(jù)題目可知，利用正弦定理與三角恒等變換逐個(gè)分析即可判斷每個(gè)命題的真假．【詳解】①設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理，可得，所以的外接圓面積是，故①正確．②根據(jù)正弦定理，利用邊化角的方法，結(jié)合，可將原式化為，故②正確．③，故③錯(cuò)誤．④設(shè)到直線的距離為，根據(jù)面積公式可得，即，再根據(jù)①中的結(jié)論，可得，故④正確．綜上，答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題是考查三角恒等變換與解三角形結(jié)合的綜合題，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式以及正余弦定理、面積公式等．16、【解析】

本題先計(jì)算，而后求其模.或直接利用模的性質(zhì)計(jì)算.容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力的考查.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）0.【解析】

可設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得，由橢圓的定義計(jì)算可得，進(jìn)而得到b，即可得到所求橢圓方程；設(shè)直線AE：，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得E的坐標(biāo)，由題意可將k換為，可得F的坐標(biāo)，由直線的斜率公式計(jì)算可得直線EF的斜率，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，可得直線l的斜率，進(jìn)而得到所求斜率之和．【詳解】解：由題意可設(shè)橢圓C的方程為，且，，即有，，所以橢圓的方程為；設(shè)直線AE：，代入橢圓方程可得，可得，即有，，由直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，可將k換為，可得，，則直線EF的斜率為，設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程可得：，由直線l與橢圓C相切，可得，化簡(jiǎn)可得，解得，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓的定義，考查兩點(diǎn)斜率公式，還考查了韋達(dá)定理及直線與橢圓相切知識(shí)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題．18、（I），；（II）.【解析】

（I）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C的普通方程；由直線l的極坐標(biāo)方程，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．（II）在曲線C上任取一點(diǎn)利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出曲線C上的點(diǎn)到直線l的最小距離．【詳解】（I）曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（II）設(shè)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，取得最大值，曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．19、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】分析：（Ⅰ）計(jì)算出，由此猜想.(Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.詳解：（Ⅰ），由此猜想；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；假設(shè)（，且），結(jié)論成立，即，當(dāng)（，且）時(shí)，，即，所以，這就是說(shuō),當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，根據(jù)(1)和(2)可知對(duì)任意正整數(shù)結(jié)論都成立，即.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查不完全歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.（2）數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立，這時(shí)要利用已知和假設(shè).20、（1）的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為（2）【解析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，分別求導(dǎo)數(shù)大于零小于零的范圍，得到單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)區(qū)間得到最大值.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，或；當(dāng)時(shí)，．∴的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為．（2）分析可知的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)