江蘇省蘇州第一中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A．3 B．5 C．7 D．92．要將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分到三個(gè)班級(jí)中，要求每個(gè)班級(jí)至少分到一人，則甲被分到班的概率為（）A． B． C． D．3．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．4．命題“，使”的否定是（）A．，使 B．，使C．，使 D．，使5．若x∈0,2π，則不等式x+A．0,π B．π4,5π46．正方體中，若外接圓半徑為，則該正方體外接球的表面積為()A． B． C． D．7．已知集合，，則（）A． B． C． D．8．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為.則在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為（）A． B． C． D．9．已知，則()A．11 B．12 C．13 D．1410．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．如圖，是正四面體的面上一點(diǎn)，點(diǎn)到平面距離與到點(diǎn)的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()A．直線 B．拋物線C．離心率為的橢圓 D．離心率為3的雙曲線12．已知的分布列為-101設(shè)，則的值為（）A．4 B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，區(qū)域滿足：，設(shè)，若對(duì)區(qū)域內(nèi)的任意兩點(diǎn)，都有成立，則的取值范圍是______.14．已知，命題：，，命題：，，若命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．15．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是16，則展開式中的含項(xiàng)的系數(shù)是_________．16．雙曲線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）在中，，，的對(duì)邊分別為，，，若，（1）求的大?。唬?）若，，求，的值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．20．（12分）在2018年高校自主招生期間，某校把學(xué)生的平時(shí)成績(jī)按“百分制”折算，選出前名學(xué)生，并對(duì)這名學(xué)生按成績(jī)分組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組.如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60.（1）請(qǐng)寫出第一、二、三、五組的人數(shù)，并在圖中補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）若大學(xué)決定在成績(jī)高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試.①若大學(xué)本次面試中有，，三位考官，規(guī)定獲得至少兩位考官的認(rèn)可即為面試成功，且各考官面試結(jié)果相互獨(dú)立.已知甲同學(xué)已經(jīng)被抽中，并且通過(guò)這三位考官面試的概率依次為，，，求甲同學(xué)面試成功的概率；②若大學(xué)決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生接受考官的面試，第3組有名學(xué)生被考官面試，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）新高考3+3最大的特點(diǎn)就是取消文理科，除語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)之外，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6科中自由選擇三門科目作為選考科目．某研究機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生對(duì)全理（選擇物理、化學(xué)、生物）的選擇是否與性別有關(guān)，覺(jué)得從某學(xué)校高一年級(jí)的650名學(xué)生中隨機(jī)抽取男生，女生各25人進(jìn)行模擬選科．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，選擇全理的人數(shù)比不選全理的人數(shù)多10人．（1）請(qǐng)完成下面的2×2列聯(lián)表；選擇全理不選擇全理合計(jì)男生5女生合計(jì)（2）估計(jì)有多大把握認(rèn)為選擇全理與性別有關(guān)，并說(shuō)明理由；（3）現(xiàn)從這50名學(xué)生中已經(jīng)選取了男生3名，女生2名進(jìn)行座談，從中抽取2名代表作問(wèn)卷調(diào)查，求至少抽到一名女生的概率．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828附：，其中.22．（10分）從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值．（）若有輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個(gè)紅燈的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由已知的框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出變量n的值，模擬程序運(yùn)行的過(guò)程，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案，本題中在計(jì)算S時(shí)，還需要結(jié)合數(shù)列中的裂項(xiàng)求和法解決問(wèn)題，即：.【詳解】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)：初始值為0，不滿足，故，；第二次循環(huán)：當(dāng)，不滿足，故，；第三次循環(huán)：當(dāng)，不滿足，故，；第四次循環(huán)：當(dāng)，不滿足，故，；此時(shí)，，滿足，退出循環(huán)，輸出，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，便可得出正確的結(jié)論，這類題型往往會(huì)和其他知識(shí)綜合，解題需結(jié)合其他知識(shí)加以解決.2、B【解析】

根據(jù)題意，先將四人分成三組，再分別分給三個(gè)班級(jí)即可求得總安排方法；若甲被安排到A班，則分甲單獨(dú)一人安排到A班和甲與另外一人一起安排到A班兩種情況討論，即可確定甲被安排到A班的所有情況，即可求解.【詳解】將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分到三個(gè)班級(jí)中，要求每個(gè)班級(jí)至少分到一人，則將甲、乙、丙、丁名同學(xué)分成三組，人數(shù)分別為1，1，2；則共有種方法，分配給三個(gè)班級(jí)的所有方法有種；甲被分到A班，有兩種情況：一，甲單獨(dú)一人分到A班，則剩余兩個(gè)班級(jí)分別為1人和2人，共有種；二，甲和另外一人分到A班，則剩余兩個(gè)班級(jí)各1人，共有種；綜上可知，甲被分到班的概率為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合問(wèn)題的綜合應(yīng)用，分組時(shí)注意重復(fù)情況的出現(xiàn)，屬于中檔題.3、B【解析】

首先求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，也就是切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程．．【詳解】∵，∴切線斜率，又∵，∴切點(diǎn)為，∴切線方程為，即．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定為全稱命題，所以命題“，使”的否定是“，使”.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，只需改量詞與結(jié)論即可，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解析】

由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)得出xsinx<0，由0<x<2π，得出【詳解】因?yàn)閤+sinx又x∈(0,2π)，所以sinx<0，x∈(π,2π)，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，再利用絕對(duì)值不等式時(shí)，需要注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解析】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則是邊長(zhǎng)為的正三角形，求得其外接圓的半徑，求得的值，進(jìn)而求得球的半徑，即可求解球的表面積，得到答案．【詳解】如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則是邊長(zhǎng)為的正三角形，設(shè)其外接圓的半徑為，則，即，由，得，所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的表面積為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求得表面積與體積的計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)考查了組合體及球的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用球的性質(zhì)，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

先求解絕對(duì)值不等式得到集合A，然后直接利用交集運(yùn)算可得答案?！驹斀狻拷猓阂?yàn)?，所以，得，所以集合，又因?yàn)?，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式及交集運(yùn)算，較基礎(chǔ).8、C【解析】

在下雨條件下吹東風(fēng)的概率=既吹東風(fēng)又下雨的概率下雨的概率【詳解】在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為，選C【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題．9、B【解析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合題意,舍去)；∴n的值為12.故選：B.10、B【解析】分析：通過(guò)f（x）的單調(diào)性，畫出f（x）的圖象和直線y=a，考慮四個(gè)交點(diǎn)的情況，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．詳解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=，可得f（x）在x＞2遞增，在0＜x＜2處遞減，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1時(shí)，f（x）遞減；-1＜x＜0時(shí)，f（x）遞增，

可得x=-1處取得極小值1，

作出f（x）的圖象，以及直線y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0遞減，

可得所求范圍為[4，5）．故選B.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想方法，考查二次函數(shù)的最值求法，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．11、C【解析】分析：由題設(shè)條件將點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點(diǎn)P到V的距離與到定直線BC的距離比是一個(gè)常數(shù)，依據(jù)圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀．詳解：∵正四面體V﹣ABC∴面VBC不垂直面ABC，過(guò)P作PD⊥面ABC于D，過(guò)D作DH⊥BC于H，連接PH，可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD為二面角V﹣BC﹣A的平面角令其為θ則Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ為V﹣BC﹣A的二面角的大小）．又點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等，即|PV|=|PD|∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，點(diǎn)P到定點(diǎn)V的距離與定直線BC的距離之比是一個(gè)常數(shù)sinθ，又在正四面體V﹣ABC，V﹣BC﹣A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，由橢圓定義知P點(diǎn)軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分．故答案為：C．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二面角、橢圓的定義、軌跡方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．(2)解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到圓錐曲線的第二定義.12、B【解析】

由的分布列，求出，再由，求得.【詳解】，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的期望計(jì)算，對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量，具有線性關(guān)系，直接利用公式能使運(yùn)算更簡(jiǎn)潔.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可知直線與圓相切，由相切定義可得，令，由可求其范圍.【詳解】由題意可得：直線與圓相切即，化簡(jiǎn)得：，令故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了三角換元法，本題的關(guān)鍵在于題干條件的轉(zhuǎn)化，由線性規(guī)劃知識(shí)可知位于直線同一側(cè)的點(diǎn)正負(fù)性相同，滿足題目要求.屬于難題.14、或【解析】

根據(jù)不等式恒成立化簡(jiǎn)命題為，根據(jù)一元二次方程有解化簡(jiǎn)命題為或，再根據(jù)且命題的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】若命題：“，”為真；則，解得：，若命題：“，”為真，則，解得：或，若命題“”是真命題，則，或，故答案為或【點(diǎn)睛】解答非命題、且命題與或命題真假有關(guān)的題型時(shí)，應(yīng)注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.15、【解析】

先由二項(xiàng)式系數(shù)之和求出，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是16，所以，即；所以，其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為：，令得，所以，因此含項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于常考題型.16、或【解析】

先根據(jù)雙曲線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合雙曲線的定義可得到，進(jìn)而可求出的值，得到答案.【詳解】雙曲線，，，，和為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，解或，，或，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題.求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時(shí)，若已知該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求結(jié)果；若已知該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離，則根據(jù)求解，注意對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行必要的驗(yàn)證，負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

(1)根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點(diǎn)，連接DM,通過(guò)線面垂直證明平面，可推出，又，可證(2)通過(guò)作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過(guò)幾何法求出長(zhǎng)度，分別表示出線面角各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連接，，有，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫杂忠驗(yàn)椋?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所?（2）設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，由（1）可知，，所以，故，，，，，對(duì)平面，，，所以其法向量可表示為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【點(diǎn)睛】證線線垂直一般是通過(guò)線面垂直進(jìn)行證明，本題其實(shí)還可以采用射影逆定理進(jìn)行證明，通過(guò)證明與斜線垂直即，推出與射影垂直，，不妨一試；對(duì)于像本題中第二問(wèn)不太好確定線面關(guān)系而又發(fā)覺(jué)立體圖形比較規(guī)整的，比如說(shuō)正方體、長(zhǎng)方體、正三棱錐，直棱柱等，都可直接考慮建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行求解18、（1）（2），或，.【解析】分析：（1）利用正弦定理把化成，即為，從而解得.（2）利用余弦定理及構(gòu)建關(guān)于的方程，解出.詳解：（1）由已知得，∴.∵，∴.∵，所以，∴，所以（2）∵，即，∴∴，又∵，∴，或，點(diǎn)睛：三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個(gè)量（除三個(gè)角外），可以求得其余的四個(gè)量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對(duì)的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.19、（1）；（2）見(jiàn)解析．【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別求出，，即可求出切線方程；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，∴∴，；∴函教的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）由題知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得，，①?dāng)時(shí)，所以，在區(qū)間和上；在區(qū)間上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.②當(dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.③當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間，和上；在上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是④當(dāng)時(shí)，，時(shí)，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是⑤當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，綜上，①時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是②時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是點(diǎn)睛：確定單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，令，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；(3)把函數(shù)的間斷點(diǎn)(即的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；(4)確定在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.20、(1)45，75，90，30，圖見(jiàn)解析.（2）①.②分布列見(jiàn)解析；.【解析】分析：（1）第四組的人數(shù)為60，所以總?cè)藬?shù)為300，再利用直方圖性質(zhì)與等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出；（2）①設(shè)事件為“甲同學(xué)面試成功”，利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出；②由題意可得，，，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望.詳解：（1）第一、二、三、五組的人數(shù)分別是45，75，90，30，（2）①設(shè)事件為“甲同學(xué)面試成功”.則：.②