高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)預(yù)測(cè)3不等式doc高中數(shù)學(xué)

37/372023屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點(diǎn)預(yù)測(cè)：不等式不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，它滲透到了中學(xué)數(shù)學(xué)課本的各個(gè)章節(jié)，在實(shí)際問(wèn)題中被廣泛應(yīng)用，可以說(shuō)是解決其它數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種有利工具．單純考察不等式的考題，一般是中低檔難度題，內(nèi)容多涉及不等式的性質(zhì)、解法、均值不等式的應(yīng)用以及含有參數(shù)的不等式，在解答題中一般與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合，屬于中高檔難度題．預(yù)側(cè)2023年高考不等式的命題趨向：仍會(huì)繼續(xù)保持2023年的命題特點(diǎn)，淡化獨(dú)立性，突出工具性，以客觀題考察不等式的性質(zhì)和不等式的解法，解答題突出不等式與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合考察，深人考察不等式的證明和邏輯演繹推理能力一、考點(diǎn)分析(一)考試內(nèi)容：不等式的根本性質(zhì)；不等式的證明；不等式的解法；含絕對(duì)值的不等式．(二)不等式知識(shí)要點(diǎn)1．不等式的根本概念不等（等）號(hào)的定義：不等式的分類(lèi)：絕對(duì)不等式；條件不等式；矛盾不等式.同向不等式與異向不等式.同解不等式與不等式的同解變形.2．不等式的根本性質(zhì)（1）（對(duì)稱(chēng)性）（2）（傳遞性）（3）（加法單調(diào)性）（4）（同向不等式相加）（5）（異向不等式相減）（6）（7）（乘法單調(diào)性）（8）（同向不等式相乘）（異向不等式相除）（倒數(shù)關(guān)系）（11）（平方法那么）（12）（開(kāi)方法那么）3．幾個(gè)重要不等式（1）（2）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（3）如果a，b都是正數(shù)，那么（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）極值定理：假設(shè)那么：eq\o\ac(○,1)如果P是定值，那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最??；eq\o\ac(○,2)如果S是定值，那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大．利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（7）4．幾個(gè)著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：特別地，（當(dāng)a=b時(shí)，）冪平均不等式：注：例如：.常用不等式的放縮法：①②（2）柯西不等式：（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)假設(shè)定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x)，對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)有那么稱(chēng)f(x)為凸（或凹）函數(shù)．5．不等式證明的幾種常用方法比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6．不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）．步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．特例①一元一次不等式ax>b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，那么（3）無(wú)不等理式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對(duì)值不等式應(yīng)用分類(lèi)討論思想去絕對(duì)值；應(yīng)用數(shù)形思想；應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化．注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：①②類(lèi)似于，③(三)高考考綱對(duì)不等式的要求：（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明；（2）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用；（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式；切實(shí)掌握上述三種方法證明不等式的方法步驟及使用范圍,提高數(shù)學(xué)式的變形能力；（4）掌握簡(jiǎn)單不等式的解法；掌握含參數(shù)不等式的解法及它在函數(shù)等方面的應(yīng)用；（5）理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|．對(duì)不等式重點(diǎn)考察的有四種題型：解不等式、證明不等式、不等式的應(yīng)用、不等式的綜合．(四)高考對(duì)不等式的考察側(cè)重以下幾個(gè)方面：1．不等式性質(zhì)的考察常與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考察結(jié)合起來(lái)，一般多以選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)與充要條件的知識(shí)聯(lián)系在一起．解答此類(lèi)題目要求考生要有較好、較全面的根底知識(shí)，一般難度不大．2．高考試卷中，單純不等式的考題，一般是中檔難度題，內(nèi)容多涉及不等式的性質(zhì)和解法，以及重要不等式的應(yīng)用．解不等式的考題常以填空題和解答題的形式出現(xiàn)．在解答題中，含字母參數(shù)的不等式問(wèn)題較多，需要對(duì)字母參數(shù)進(jìn)展分類(lèi)討論，這類(lèi)考題多出現(xiàn)在文科試卷上．3．證明不等式近年來(lái)逐漸淡化，但假設(shè)考試卷中出現(xiàn)不等式證明，那么往往不是單獨(dú)的純不等式證明，而是與函數(shù)、三角、解析幾何、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)綜合考察，這時(shí)有可能是壓軸題或倒數(shù)第二題．此類(lèi)考題區(qū)分度高，綜合性強(qiáng)，與同學(xué)們平時(shí)聯(lián)系的差距較大，考生要有較強(qiáng)的邏輯思維能力和較高的數(shù)學(xué)素質(zhì)才能取得較好的成績(jī)．這類(lèi)考題往往是理科試卷中經(jīng)常出現(xiàn)的題型．4．應(yīng)用問(wèn)題是近年數(shù)學(xué)高考命題的熱點(diǎn)，近些年高考試題帶動(dòng)了一大批“以實(shí)際問(wèn)題為背景，以函數(shù)模型，以重要不等式為解題工具”的應(yīng)用題問(wèn)世．解此類(lèi)考題在合理地建立不等關(guān)系后，判別式、重要不等式是常用的解題工具．5．含有絕對(duì)值的不等式經(jīng)常出現(xiàn)在高考試卷中，有關(guān)內(nèi)容在教材中安排較少，考生解此類(lèi)問(wèn)題大多感覺(jué)困難，這與平時(shí)練習(xí)量缺乏有關(guān)，對(duì)此應(yīng)有所加強(qiáng)．6．解不等式的根本思想是轉(zhuǎn)化，解題思路是利用不等式的性質(zhì)及結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元二次不等式、含有根本初等函數(shù)的最根本不等式，然后求解．在這里著重強(qiáng)調(diào)的是，解不等式是在不等式有意義的前提下求出滿足不等式的未知數(shù)取值的集合，在解無(wú)理不等式、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，要注意其定義域．二．應(yīng)試對(duì)策與考題展望1．在復(fù)習(xí)不等式的解法時(shí)，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練，以便快速、準(zhǔn)確求解．在解或證明含有參數(shù)不等式的過(guò)程中，一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)展分類(lèi)討論，因此，還要加強(qiáng)分類(lèi)討論思想的訓(xùn)練，做到分類(lèi)合理、不重不漏．由于不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化，所以，強(qiáng)化函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練十分必要．2．高考中，對(duì)不等式的考察不是單一的，所以此類(lèi)考題往往綜合性強(qiáng)，難度也較大，應(yīng)用極其廣泛，諸如求最值、比較大小、函數(shù)性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、有界性、最值)的研究、方程解的討論、曲線類(lèi)型和兩曲線位置關(guān)系的判定等等．因此，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)強(qiáng)化理解不等式的應(yīng)用，注意多知識(shí)點(diǎn)的相互滲透．3．在復(fù)習(xí)不等式時(shí)，一要注意強(qiáng)化含參數(shù)不等式的解法與證明的訓(xùn)練，尤其是理科考生更應(yīng)注意到這一點(diǎn)；二要加強(qiáng)以函數(shù)為載體的不等式練習(xí)，如果以函數(shù)為背景考題出現(xiàn)在試卷上，一定與高等數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法相銜接，立意新穎，抽象程度高；三要靈活處理以導(dǎo)數(shù)為載體的導(dǎo)數(shù)、不等式、函數(shù)大型綜合問(wèn)題，這類(lèi)代數(shù)推理考題在復(fù)習(xí)時(shí)一定要倍加關(guān)注．三．經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一：不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)是解不等式與證明不等式的理論根據(jù)，必須透徹理解，且要注意性質(zhì)使用的條件；比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，一般用作差法，有時(shí)也可用作商法，其實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì)的應(yīng)用，當(dāng)然它也是不等式證明的一種方法．例1．設(shè)實(shí)數(shù)滿足以下三個(gè)條件：；；。請(qǐng)將按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論。解：又因?yàn)?，所?點(diǎn)評(píng)：正確找到一個(gè)合理的解題程序，可大大提高解題速度．例2．設(shè)，求的取值范圍．解：因?yàn)?，，所以，，，那么又因?yàn)?，所以,故．點(diǎn)評(píng)：嚴(yán)格依據(jù)不等式的根本性質(zhì)和運(yùn)算法那么是正確解答此類(lèi)題目的保證．例3．(寧夏銀川一中2023屆高三年級(jí)第三次模擬考試)設(shè)a∈R且a≠-,比較與-a的大?。猓?()=,當(dāng)且時(shí),∵,∴．當(dāng)時(shí),∵,∴=．當(dāng)時(shí),∵,∴.點(diǎn)評(píng)：比較大小的常用方法是：作差比較與作商比較．在數(shù)的比較大小過(guò)程中，要遵循這樣的規(guī)律，異中求同即先將這些數(shù)的局部因式化成相同的局部，再去比較它們剩余局部，就會(huì)很輕易啦．一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法，前者和零比較，后者和1比較大?。?2)找中間量,往往是1，在這些數(shù)中，有的比1大，有的比1??；(3)計(jì)算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫(huà)出相應(yīng)的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等．考點(diǎn)二：含參數(shù)的不等式問(wèn)題含有參數(shù)的不等式問(wèn)題是高考常考題型，求解過(guò)程中要利用不等式的性質(zhì)將不等式進(jìn)展變形轉(zhuǎn)化，化為一元二次不等式等問(wèn)題去解決，注意參數(shù)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中對(duì)問(wèn)題的影響．例4．(福建德化一中2023年秋季高三第二次質(zhì)量監(jiān)控考試)已知對(duì)一切實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)＞時(shí)，＜（1）證明為奇函數(shù)且是上的減函數(shù)；（2）假設(shè)的不等式對(duì)一切恒成立，求m的取值范圍.（1）證明：依題意取，∴.又取可得，∴由x的任意性可知為奇函數(shù)，又設(shè)∴，∵，∴∴在R上減函數(shù)．（2）解：∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴由得∴即，又∵是上的減函數(shù)，∴恒成立，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)的最小值為，∴．點(diǎn)評(píng)：在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時(shí)，需要在函數(shù)思想的指引下，靈活地進(jìn)展代數(shù)變形、綜合地運(yùn)用多科知識(shí)，方可取得較好的效益，因此此類(lèi)問(wèn)題的求解當(dāng)屬學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn).對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題，除了運(yùn)用分類(lèi)討論的方法外，還可采用別離參數(shù)的方法，即對(duì)于一些含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)展同解變形，將不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)展剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過(guò)求函數(shù)的值域的方法將問(wèn)題化歸為解參數(shù)的不等式的問(wèn)題．例5．(山東省泰安市2023年高三11月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))設(shè)命題p：函數(shù)的定義域?yàn)镽；命題q：不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立，（1）如果p是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）如果命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）假設(shè)命題p為真，即恒成立①當(dāng)a=0時(shí)，不合題意 ，②當(dāng)時(shí)，可得即，（2）令，由得，的值域?yàn)椋僭O(shè)命題q為真，那么．由命題“p或q”為真且“p且q”為假，得命題p、q一真一假，①當(dāng)p真q假時(shí)，a不存在；②當(dāng)p假q真時(shí)，．．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含參數(shù)問(wèn)題，常常用分類(lèi)討論的方法．在解答有關(guān)不等式問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，然后綜合得解，這就是分類(lèi)討論法．分類(lèi)討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它表達(dá)了化整為零、各個(gè)擊破的解題策略．有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置．解答分類(lèi)討論問(wèn)題的根本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)展合理分類(lèi)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類(lèi)互斥（沒(méi)有重復(fù)）；再對(duì)所分類(lèi)逐步進(jìn)展討論，分級(jí)進(jìn)展，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)展歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．例6．(廣東省深圳中學(xué)2023—2023學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)已知函數(shù)，（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；（2）當(dāng)恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)在R上是增函數(shù)，設(shè)是R內(nèi)任意兩個(gè)值，并且那么，即，是R上的增函數(shù)．（2），，，，即，當(dāng)點(diǎn)評(píng)：一般地對(duì)不等式恒成立有以下幾種情形：①f(x)≥g(k)<==>[f(x)]min≥g(k)②f(x)>g(k)<==>g(k)<[f(x)]min③f(x)≤g(k)<==>[f(x)]max≤g(k)，④f(x)≤g(k)<==>[f(x)]max<g(k)．例7．(福建省八閩高中2023年教學(xué)協(xié)作組織聯(lián)考)設(shè)，且（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求p與q的關(guān)系；（2）假設(shè)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求p的取值范圍；（3）設(shè)且，假設(shè)在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．解：（1）由題意得f（e）=pe－EQ\F(q,e)－2lne=qe－EQ\F(p,e)－2（p－q）（e+EQ\F(1,e)）=0. 而e+EQ\F(1,e)≠0，∴ p=q，（2） 由（1）知f（x）=px－EQ\F(p,x)－2lnx，f1（x）=p+EQ\F(p,x2)－EQ\F(2,x)=EQ\F(px2－2x+p,x2)，要使f（x）在其定義域（0,+）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需f1（x）在（0,+）內(nèi)滿足：f1（x）≥0恒成立.即對(duì)（0,+）恒成立,因此（3）∵ g（x）=EQ\F(2e,x)在[1,e]上是減函數(shù)，∴x=e時(shí)，g（x）min=2，x=1時(shí)，g（x）max=2e即 g（x）[2,2e]．①0<p<1時(shí)，由x[1,e]x－EQ\F(1,x)≥0，∴f（x）=p（x－EQ\F(1,x)）－2lnx<x－EQ\F(1,x)－2lnx，當(dāng)p=1時(shí)，f（x）=x－EQ\F(1,x)－2lnx在[1,e]遞增．∴f（x）<x－EQ\F(1,x)－2lnx≤e－EQ\F(1,e)－2lne=e－EQ\F(1,e)－2<2，不合題意．②p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1,e]連續(xù)遞增，f（1）=0<2，又g（x）在[1,e]上是減函數(shù)．∴本命題f（x）max>g（x）min=2，x[1,e]，f（x）max=f（e）=p（e－EQ\F(1,e)）－2lne>2p>EQ\F(4e,e2－1)，綜上，p的取值范圍是（EQ\F(4e,e2－1),+）.考點(diǎn)三：解不等式問(wèn)題例8．解不等式．解：（第一步）將不等式左邊分解為幾個(gè)一次因式（每個(gè)因式的系數(shù)為正），得．（第二步）如圖1，在實(shí)數(shù)軸上標(biāo)出每個(gè)因式為0的實(shí)根的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．圖1（第三步）這四個(gè)實(shí)數(shù)根將實(shí)數(shù)軸分為五個(gè)區(qū)間．在從右到左的第一個(gè)區(qū)間內(nèi)，每個(gè)因式均為正，故其積為正；在從右到左的第二個(gè)區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)因式為負(fù)，其余因式均為正，故其積為負(fù)；在從右到左的第三個(gè)區(qū)間（1，2）內(nèi)，有兩個(gè)因式同時(shí)為負(fù)，其余因式為正，故其積為正；在從右到左的第四個(gè)區(qū)間（－1，1）內(nèi)，有三個(gè)因式均為負(fù)，其余因式為正，故其積為負(fù)；在從右到左的第五個(gè)區(qū)間內(nèi)，四個(gè)因式同時(shí)為負(fù)，故其積為正．因此，可將其解集直觀地標(biāo)在數(shù)軸上，即用弧線從右到左（第一個(gè)區(qū)間內(nèi)弧線恒在數(shù)軸上方），將這五個(gè)區(qū)間連結(jié)起來(lái)，弧線經(jīng)過(guò)數(shù)軸上方的區(qū)間就是這些因式的積大于0的解集；弧線經(jīng)過(guò)數(shù)軸下方的區(qū)間就是這些因式的積小于0的解集．故原不等式的解集為．點(diǎn)評(píng)：解實(shí)系數(shù)一元高次不等式，可先把最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)，并使右邊為0，再通過(guò)因式分解，將左邊變形，最后用數(shù)軸標(biāo)根法求解集．對(duì)于分式不等式也可采類(lèi)似的方法．例9．(廣東省深圳中學(xué)2023—2023學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)解不等式．解：，，即，得，所以原不等式的解集為．點(diǎn)評(píng)：此題是指數(shù)型的不等式，盡可能化同底．例10．已知且試解的不等式解：令(),那么原不等式.即，故當(dāng)時(shí)，原不等式的解集是當(dāng)時(shí)，原不等式的解是.點(diǎn)評(píng)：此題是利用換元法求解．換元法是指解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．換元法是一種重要的解題方法，它可以化高次為低次、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，它不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用，而且在高等數(shù)學(xué)中也有廣泛應(yīng)用．復(fù)習(xí)中必須給予充分的重視，有意識(shí)、有目的地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練和運(yùn)用．考點(diǎn)四：均值不等式問(wèn)題(一)知識(shí)梳理1．把稱(chēng)為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)為a、b的幾何平均數(shù)。因而，二元均值定理可以表達(dá)為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么二元均值定理還可以表達(dá)為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)2．一般的數(shù)學(xué)中的定理、公式提醒了假設(shè)干量之間的本質(zhì)關(guān)系，但不能定格于某一種特殊形式，因此不等式a＋b≥2ab的形式可以是a≥2ab－b，也可以是ab≤，還可以是a＋≥2b(a＞0)，≥2b－a等。解題時(shí)不僅要利用原來(lái)的形式，而且要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，以便靈活運(yùn)用．3．盡管二元均值定理的應(yīng)用范圍極廣，推論和相關(guān)結(jié)論也很多，但其本身終究是由不等式的意義、性質(zhì)推導(dǎo)出來(lái)的．但凡用它可以獲證的不等式，均可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)證得．因此，在算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的應(yīng)用中，不可無(wú)視不等式的意義、性質(zhì)等概念在處理有關(guān)不等式論證方面的根本作用．4．二元均值不等式不但可以處理兩個(gè)正數(shù)的和與積構(gòu)造的不等式，結(jié)合不等式的性質(zhì)還可以處理兩個(gè)正數(shù)的平方和、倒數(shù)和與其它變形式的構(gòu)造，由公式a＋b≥2ab和≥可以得到以下幾個(gè)重要結(jié)論：a＋b≥－2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=－b時(shí)取“=”號(hào))；a＋b≥2|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí)取“=”號(hào))；a＋b≥－2|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取“=”號(hào))；≤≤≤(a、b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)．5．二元均值不等式還能處理幾個(gè)正數(shù)的平方和與和構(gòu)造，倒數(shù)和與和構(gòu)造，根式和與和構(gòu)造及兩兩之積與和構(gòu)造等不等式問(wèn)題，但在處理這些構(gòu)造型的不等式時(shí)，要注意與其它依據(jù)相結(jié)合來(lái)處理。常見(jiàn)構(gòu)造的不等式的處理方法歸納如下：⑴ab＋bc＋ca與a＋b＋c型利用(a＋b＋c)=a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca與a＋b＋c≥ab＋bc＋ca相結(jié)合；⑵a＋b＋c與a＋b＋c型利用a＋b＋c≥ab＋bc＋ca乘以2再加上a＋b＋c即可；⑶＋＋與a＋b＋c型只要在⑵中每個(gè)字母開(kāi)方代換即可．6．利用均值定理可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問(wèn)題：⑴當(dāng)a，b都為正數(shù)，且ab為定值時(shí)，有a＋b≥(定值)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)a＋b有最小值；⑵當(dāng)a，b都為正數(shù)，且a＋b為定值時(shí)，有ab≤(定值)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)ab有最大值．以上兩類(lèi)問(wèn)題可簡(jiǎn)稱(chēng)為“積大和小”問(wèn)題．7．創(chuàng)設(shè)應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理使用的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是經(jīng)常用的解題技巧，而拆與湊的過(guò)程中，一要考慮定理使用的條件(兩數(shù)都為正)；二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號(hào)成立的條件(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))，它具有一定的靈活性和變形技巧，高考中常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn)．8．二元均值定理具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，假設(shè)所證不等式可變形成一邊為和，另一邊為積的形式，那么可以考慮使用這一定理把問(wèn)題轉(zhuǎn)化．其中“一正二定三相等”在解題中具有雙重功能，即對(duì)條件的制約作用，又有解題的導(dǎo)向作用．(二)特別提示：1．在使用公式a＋b≥2ab和≥時(shí)，要注意這兩者成立的條件是不相同的，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù)．2．在使用二元均值定理求最值時(shí)，必須具備三個(gè)條件：①在所求最值的代數(shù)式中，各變數(shù)均應(yīng)是正數(shù)(如不是，那么進(jìn)展變號(hào)轉(zhuǎn)換)；②各變數(shù)的和或積必須為常數(shù)，以確保不等式一邊為定值(如不是，那么進(jìn)展拆項(xiàng)或分解，務(wù)必使不等式的一端的和或積為常數(shù))；③各變數(shù)有相等的可能(即相等時(shí)，變量字母有實(shí)數(shù)解，且在定義域內(nèi)，如無(wú)，那么說(shuō)明拆項(xiàng)、分解不當(dāng)，此時(shí)，應(yīng)重新拆項(xiàng)、分解或改用其它方法，比方，已知x[2，3]，求函數(shù)y=x＋的最小值，從形式上看可以使用二元均值定理，但等號(hào)成立的條件不具備，因此，要考慮函數(shù)的單調(diào)性把問(wèn)題解決)．3．在使用均值定理證明問(wèn)題時(shí)，要注意它們反復(fù)使用后，再相加相乘時(shí)字母應(yīng)滿足的條件及屢次使用后等號(hào)成立的條件是否一致，假設(shè)不一致，那么不等式中的等號(hào)不能成立．例11．有一組數(shù)據(jù)：它們的算術(shù)平均值為10，假設(shè)去掉其中最大的一個(gè)，余下的數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為9；假設(shè)去掉其中最小的一個(gè)，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為11．（Ⅰ）求出第一個(gè)數(shù)n的表達(dá)式及第n個(gè)數(shù)n的表達(dá)式，（Ⅱ）假設(shè)都是正整數(shù)，試求第n個(gè)數(shù)的最大值，并舉出滿足題目要求且取到最大值的一組數(shù)據(jù)．解：依條件：（Ⅰ）由（1）－（2）得：再（1）－（3）得：x1=11－n．（Ⅱ）∵x1是正整數(shù)，∴x1=11－n≥1，，∴xn=n+9≤19．當(dāng)n=10時(shí)，．此時(shí)，取即可，∴當(dāng)n=10時(shí)，xn的最大值是19．點(diǎn)評(píng)：注意掌握均值不等式成立的條件及其變形；注意掌握“湊”的技巧，創(chuàng)造應(yīng)用均值不等式的情境；注意掌握均值不等式等號(hào)成立的條件．例12．(山東省聊城市2023—2023學(xué)年度第一學(xué)期高三期末統(tǒng)考)某投資商到一開(kāi)發(fā)區(qū)投資72萬(wàn)元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬(wàn)元，以后每年支出增加4萬(wàn)元，從第一年起每年蔬菜銷(xiāo)售收入50萬(wàn)元.設(shè)表示前n年的純利潤(rùn)總和（f（n）=前n年的總收入一前n年的總支出一投資額）．（1）該廠從第幾年開(kāi)場(chǎng)盈利？（2）假設(shè)干年后，投資商為開(kāi)發(fā)新工程，對(duì)該廠有兩種處理方案：①年平均純利潤(rùn)到達(dá)最大時(shí)，以48萬(wàn)元出售該廠；②純利潤(rùn)總和到達(dá)最大時(shí)，以16萬(wàn)元出售該廠，問(wèn)哪種方案更合算？解：由題意知（1）由，由知，從經(jīng)三年開(kāi)場(chǎng)盈利．（2）方案①：年平均純利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號(hào)成立．故方案①共獲利6×16+48=144（萬(wàn)元），此時(shí)n=6．方案②：當(dāng)n=10，故方案②共獲利128+16、144（萬(wàn)元）．比較兩種方案，獲利都是144萬(wàn)元，但由于第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，應(yīng)選擇第①種方案更合算．點(diǎn)評(píng)：不等式的應(yīng)用問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，是高考應(yīng)用命題的重點(diǎn)之一，不等式的應(yīng)用題大局部以函數(shù)的面目出現(xiàn)，在解決范圍問(wèn)題或求最值時(shí)，均值不等式為主要工具，從而解決實(shí)際問(wèn)題。解題步驟：1、先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的變量定為函數(shù)；2、建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最值問(wèn)題；3、在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；4、正確寫(xiě)出答案．考點(diǎn)五：不等式證明問(wèn)題作差比較法的程序是:作差變形判斷差的正負(fù)；作商比較法的程序是:作商變形判斷商與1的大小(商式的分子分母均要為正)．綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的方法。分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于表達(dá)．例13．(山東省濰坊市2023年5月高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，公比q>1，且滿足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，試比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論．解：（1）的等差中項(xiàng)，解得q=2或（舍去），（2）由（1）得，當(dāng)n=1時(shí)，A1=2，B1=（1+1）2=4，A1<B1；當(dāng)n=2時(shí)，A2=6，B2=（2+1）2=9，A2<B2；當(dāng)n=3時(shí)，A3=14，B3=（3+1）2=16，A3<B3；當(dāng)n=4時(shí)，A4=30，B4=（4+1）2=25，A4>B4； 由上可猜測(cè)，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，An<Bn；當(dāng)n≥4時(shí)，An>Bn． 下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：①當(dāng)n=4時(shí)，已驗(yàn)證不等式成立． ②假設(shè)n=k（k≥4）時(shí)，Ak>Bk成立，即, 即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立，由①②知，當(dāng) 綜上，當(dāng)時(shí)，An<Bn；當(dāng)點(diǎn)評(píng)：此題是用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明不等式的，實(shí)際上運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明以下問(wèn)題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等．例13．(福建省八閩高中2023年教學(xué)協(xié)作組織聯(lián)考)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）的大小關(guān)系，并給出證明．解：（I）∵，∴，∴，又∵．（II）∵，∴，∴ ……………10分點(diǎn)評(píng)：此題是用放縮法證明不等式．所謂放縮法，就是針對(duì)不等式的構(gòu)造特征，運(yùn)用不等式及有關(guān)的性質(zhì)，對(duì)所證明的不等式的一邊進(jìn)展放大或縮小或兩邊放大縮小同時(shí)兼而進(jìn)展，似到達(dá)證明結(jié)果的方法。但無(wú)論是放大還是縮小都要遵循不等式傳遞性法那么，保證放大還是縮小的連續(xù)性，不能牽強(qiáng)附會(huì)，須做到步步有據(jù)．比方：證a＜b，可先證a＜h1，成立，而h1＜b又是可證的，故命題得證．利用放縮法證明不等式，既要掌握放縮法的根本方法和技巧，又須熟練不等式的性質(zhì)和其他證法。做到放大或縮小恰到好處，才有利于問(wèn)題的解決?，F(xiàn)舉例說(shuō)明用放縮法證明不等式的幾種常用方法．例14．(江蘇省鹽城中學(xué)2023年高三上學(xué)期第二次調(diào)研測(cè)試題)已知a>0，b>0，c>0，abc=1，試證明：．證明：由，所以同理：，相加得：左．點(diǎn)評(píng)：此題是用的根本不等式的變形來(lái)處理的．例15．(山東省文登三中2023屆高三第三次月考試題)已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．（Ⅰ）假設(shè)、、成等差數(shù)列，求的值；（Ⅱ）假設(shè)，三個(gè)正數(shù)、、成等比數(shù)列，．證明：（Ⅰ）由，得，，，又成等差數(shù)列，即：即：，解之得：或，經(jīng)檢驗(yàn)，是增根，∴．（Ⅱ）證明：，時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)即：。例16．(福建德化一中2023年秋季高三第二次質(zhì)量監(jiān)控考試)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),(其中e是自然界對(duì)數(shù)的底,),(1)求的解析式；(2)設(shè)，求證：當(dāng)，時(shí)，；（3）是否存在負(fù)數(shù)a，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)，那么，所以，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以故函數(shù)的解析式為（2）證明：當(dāng)且時(shí)，，設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)時(shí)，即．（3）解：假設(shè)存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值是3，那么．①當(dāng)，由于，那么，故函數(shù)是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）②當(dāng)時(shí)，那么當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．所以，解得滿足題意。綜上可知，存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３．點(diǎn)評(píng)：此題是利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)解決的．函數(shù)和不等式是密切相關(guān)的，不等式可視為兩個(gè)函數(shù)值大小的比較，在處理不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，注意運(yùn)用函數(shù)思想作指導(dǎo)，即研究題設(shè)所提供的信息，通過(guò)觀察分析，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以研究，往往能是問(wèn)題獲得新穎別致，簡(jiǎn)捷明快的解答．例17．(浙江省余姚中學(xué)08-09學(xué)年上學(xué)期高三第三次質(zhì)量檢測(cè))設(shè)函數(shù)求證：（1）；（2）函數(shù)在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；（3）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，那么證明：（1），．又，，又2c=－3a－2b由3a＞2c＞2b∴3a＞－3a－2b＞2b，∵a＞0．（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c①當(dāng)c＞0時(shí)，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)②當(dāng)c≤0時(shí)，∵a＞0∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，綜合①②得f（x）在（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．（3）∵x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，那么的兩根，∴，，．點(diǎn)評(píng)：此題是利用不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來(lái)求解．考點(diǎn)五：與不等式交匯的問(wèn)題不等式幾乎能與所有數(shù)學(xué)知識(shí)建立廣泛的聯(lián)系，通常以不等式與函數(shù)、三角、向量、數(shù)列、解析幾何、數(shù)列的綜合問(wèn)題的形式出現(xiàn)，尤其是以導(dǎo)數(shù)或向量為背景的導(dǎo)數(shù)（或向量）、不等式、函數(shù)的綜合題和有關(guān)不等式的證明或性質(zhì)的代數(shù)邏輯推理題，問(wèn)題多屬于中檔題甚至是難題，對(duì)不等式的知識(shí)，方法與技巧要求較高，下面舉例說(shuō)明：1．以集合為背景的不等式以集合為背景的不等式，以考察不等式的解法和集合的有關(guān)概念與運(yùn)算為目的，解題時(shí)應(yīng)注意將不等式的解法與集合的有關(guān)概念和運(yùn)算相結(jié)合，準(zhǔn)確解題．例17．(廣東省深圳中學(xué)2023—2023學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)已知集合，全集為實(shí)數(shù)集R．（1）求；（2）如果的取值范圍．解：（1），．（2）如圖當(dāng)a>3時(shí)，A點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考察集合的運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的思想．2．以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式例18．(山東省萊蕪市2023屆高三年級(jí)期末考試)電視臺(tái)某廣告公司特約播放兩部片集，其中片集甲每片播放時(shí)間為20分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為60萬(wàn)；片集乙每片播放時(shí)間為10分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為20萬(wàn)，廣告公司規(guī)定每周至少有6分鐘廣告，而電視臺(tái)每周只能為該公司提供不多于86分鐘的節(jié)目時(shí)間（含廣告時(shí)間），（1）問(wèn)電視臺(tái)每周應(yīng)播放兩部片集各多少集，才能使收視觀眾最多，（2）在獲得最多收視觀眾的情況下，片集甲、乙每集可分為給廣告公司帶來(lái)的a和b（萬(wàn)元）的效益，假設(shè)廣告公司本周共獲得1萬(wàn)元的效益，記為效益調(diào)和指數(shù)，求效益調(diào)和指數(shù)的最小值．（?。┙猓海?）設(shè)片集甲、乙分別播放x、y集設(shè)片集甲、乙分別播放x、y集 那么有，要使收視觀眾最多，那么只要Z=60x+20y最大即可. 如圖作出可行域， 易知滿足題意的最優(yōu)解為（2，4），故電視臺(tái)每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收視人觀眾最多，……………7分（2）由題意得：2a+4b=1 =11.64． 所以效益調(diào)和指數(shù)的最小值為11.64．點(diǎn)評(píng)：以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式，重在考察數(shù)形結(jié)合的解題能力．這種題目解題時(shí)要注意根據(jù)已知不等式組作出圖形分析求解．3．以簡(jiǎn)易邏輯為背景的不等式以簡(jiǎn)易邏輯為背景的不等式,解題時(shí)往往以不等式為工具，來(lái)確定命題，用簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)解決問(wèn)題．例19．（2023年山東卷）設(shè)，那么是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：由題設(shè)可得：應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察利用不等式和簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)解決問(wèn)題的能力．4．與函數(shù)知識(shí)結(jié)合的不等式例20．(2023年泉州一中高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí))已知函數(shù).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式f(x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）假設(shè)x的方程在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,+∞），∵，由，得x>0；由，得.∴f(x)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（-1,0）.（2）∵由，得x=0,x=-2（舍去）由（Ⅰ）知f(x)在上遞減，在上遞增.又，,且.∴當(dāng)時(shí)，f(x)的最大值為.故當(dāng)時(shí)，不等式f(x)<m恒成立.（3）方程,.記,∵,由,得x>1或x<-1（舍去）.由,得.∴g(x)在[0,1]上遞減,在[1,2]上遞增.為使方程在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只須g(x)=0在[0,1]和上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是有∵,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：與函數(shù)知識(shí)結(jié)合的不等式，解題時(shí)往往以不等式為工具，結(jié)合函數(shù)知識(shí)，通過(guò)推理來(lái)解決問(wèn)題．5.與平面向量知識(shí)結(jié)合的不等式與平面向量知識(shí)結(jié)合的不等式,解題時(shí)往往以不等式為工具,結(jié)合平面向量知識(shí)和坐標(biāo)運(yùn)算,通過(guò)和坐標(biāo)運(yùn)算和推理來(lái)解決問(wèn)題.例21．在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)AM＝2，那么的最小值是.解法一：如圖,=即的最小值為:－2.解法二：選取如圖等腰直角三角形ABC，由斜邊上的中線AM=2，C(0,2M(B(2O(x,y)A(0,0)yx那么A(0,0),B(2C(0,2M(B(2O(x,y)A(0,0)yx設(shè)O(x,y),(且x=y,x)，那么=(==.設(shè)f(x)=4x2-4,,結(jié)合二次函數(shù)圖像知:當(dāng)x=時(shí),f(x)min=4點(diǎn)評(píng)：此題考察了向量與解析幾何知識(shí)交匯問(wèn)題，可利用向量的性質(zhì)結(jié)合均值不等式知識(shí)綜合求解；或者選取特殊三角形，把向量式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)求出其最小值．6．與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合的不等式與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)結(jié)合的不等式，解題時(shí)往往以不等式和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具，結(jié)合函數(shù)知識(shí),通過(guò)推理來(lái)解決問(wèn)題．例22．(山東省淄博市2023年5月高三模擬試題)已知函數(shù)在是增函數(shù),在(0,1)為減函數(shù)．（I）求、的表達(dá)式；（II）求證:當(dāng)時(shí),方程有唯一解；(III）當(dāng)時(shí),假設(shè)在∈內(nèi)恒成立,求的取值范圍．解：（I），依題意在上恒成立即在上恒成立，∵（，∴① 又依題意在時(shí)恒成立,即,恒成立∵（），∴②，由①、②得 ∴（II）由(1)可知,方程,設(shè),令,并由得解得令由列表分析:-+遞減遞增知在處有一個(gè)最小值0，當(dāng)時(shí),＞0∴在(0,+)上只有一個(gè)解即當(dāng)x＞0時(shí),方程有唯一解． （III）設(shè)那么∴在上為減函數(shù)，∴又所以為所求范圍． 點(diǎn)評(píng)：本小題考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)極值的判定，給定區(qū)間上二次函數(shù)的最值等根底知識(shí)的綜合運(yùn)用，考察就數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．7．與數(shù)列知識(shí)結(jié)合的不等式與數(shù)列知識(shí)結(jié)合的不等式,解題時(shí)往往以不等式和數(shù)列知識(shí)結(jié)合為工具,結(jié)合函數(shù)知識(shí),通過(guò)計(jì)算和推理來(lái)解決問(wèn)題.例23．(安徽省皖南八校2023屆高三第三次聯(lián)考)數(shù)列的首項(xiàng)=1，前項(xiàng)和為滿足（常數(shù)，）．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，（2，3，4，…），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，假設(shè)存在，且；使（…），試求的最小值．解：（1）①，當(dāng)時(shí)， ②①—②得，即 由①，，∴,又符合上式，∴是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，∴（），∴.又，即，，∴數(shù)列是為1首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．∴，∴．（3）由（2）知，那么.∴…==∴，∴. ∵，∴，.又∵，∴的最小值為7．點(diǎn)評(píng)：本小題主要是考察等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等根底知識(shí)和根本的運(yùn)算技能，考察分析問(wèn)題能力和推理能力．8．與立幾知識(shí)結(jié)合的不等式例25．在中，，分別為邊上的點(diǎn)，且。沿將折起（記為），使二面角為直二面角．⑴當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的長(zhǎng)度最小，并求出最小值；⑵當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求直線與平面所成的角的大?。虎钱?dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑．解法一：⑴連接，設(shè)，那么。因?yàn)?，所以，故，從而，故。又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。此時(shí)為邊的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)。故當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，其值為；⑵連接，因?yàn)榇藭r(shí)分別為的中點(diǎn)，故，所以均為直角三角形，從而，所以即為直線與平面所成的角。因?yàn)椋约礊樗?；⑶因，又，所以．又，故三棱錐的外表積為。因?yàn)槿忮F的體積，所以。法二：⑴因，故．設(shè)，那么．所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。此時(shí)為邊的中點(diǎn)。故當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，其值為；⑵因，又，所以。記點(diǎn)到平面的距離為，因，故，解得。因，故；⑶同“法一”．法三：⑴如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，那么，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。此時(shí)為邊的中點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)。故當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，其值為；⑵設(shè)為面的法向量，因，故．取，得。又因，故。因此，從而，所以；⑶由題意可設(shè)為三棱錐的內(nèi)切球球心，那么，可得。與⑵同法可得平面的一個(gè)法向量，又，故，解得．顯然，故點(diǎn)評(píng)：此題是將立幾問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．轉(zhuǎn)化與化歸的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最根本的思想方法，就是將不熟悉和難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或者已經(jīng)解決的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體直觀的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．9．與概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)結(jié)合的不等式問(wèn)題(山東省濰坊市2023年5月高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))為宣傳2023年北京奧運(yùn)會(huì)，某校準(zhǔn)備成立由4名同學(xué)組成的奧運(yùn)宣傳隊(duì)，經(jīng)過(guò)初選確定5男4女共9名同學(xué)成為候選人，每位候選人中選奧運(yùn)會(huì)宣傳隊(duì)隊(duì)員的時(shí)機(jī)是相同的.（1）記ξ為女同學(xué)中選人數(shù)，求ξ的分布列并求Eξ；（2）設(shè)至少有n名男同學(xué)中選的概率為時(shí)n的最大值.解：（1）ξ的取值為0、1、2、3、4. ξ的分布列為ξ01234P ∴Eξ=+×2+×3+×4=（2）的最大值為2．點(diǎn)評(píng)：此題是利用分類(lèi)討論思想求解的．實(shí)際上大局部概率分布列問(wèn)題在解答時(shí)需要用到分類(lèi)討論思想．一、選擇題：1、不等式解集是（）A(0,2)B(2,+∞)CD(－∞,0)∪(2,+∞)2．函數(shù)的定義域?yàn)?（） A．（1，2）∪（2，3）B．C．（1，3）D．[1，3]3．設(shè)命題甲為:;命題乙為:;那么甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件.4．假設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，那么使得的取值范圍是 （） A．B．C．D．（－2，2）5．設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，那么以下等式中不恒成立的是（）（A）（B）（C）（D）6.不等式組的解集為 (C) (A)(0,)； (B)(,2)； (C)(,4)； (D)(2,4)。7、假設(shè)不等式|x-1|<a成立的充分條件是0<x<4，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A、a1 B、a3 C、a1 D、a38．集合A＝｛x|＜0＝，B＝｛x||x-b|＜a，假設(shè)“a＝1”是“A∩B≠”的充分條件，那么b的取值范圍是 （） A．－2≤b＜0 B．0＜b≤2 C．－3＜b＜－1 D．－1≤b＜29．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)≥0時(shí)，的取值范圍是（）．A．，B．，C．，D．，10．假設(shè)動(dòng)點(diǎn)（）在曲線上變化，那么的最大值為（） A．B．C．D．211．假設(shè)的不等式≤＋4的解集是M，那么對(duì)任意實(shí)常數(shù)，總有（）A.2∈M，0∈M；B.2M，0M；C.2∈M，0M；D.2M，0∈M．12．假設(shè)x的不等式x2－ax－6a≤0有解，且對(duì)于任意的解x1，x2恒有|x1－x2|≤5，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．－25≤a≤－24或0≤a≤1B．－25≤a≤－24或－1≤a≤1C．－25≤a≤－20或0≤a≤1D．－25≤a≤－24或0≤a≤2二、填空題：13．設(shè)函數(shù)，假設(shè)，那么x1與x2的關(guān)系為_(kāi)___14．假設(shè)a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,那么2a+b+c的最小值為15、已知點(diǎn)（x0，y0）在直線ax+by=0，(a，b為常數(shù))上，那么的最小值為 .16、設(shè)a，bR＋，且a+b=1，那么的最大值是_____.三、解答題：17、已知函數(shù)的圖象與軸分別相交于點(diǎn)A、B，（分別是與軸正半軸同方向的單位向量），函數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng)滿足時(shí)，求函數(shù)的最小值.18、(浙江省重點(diǎn)中學(xué)2023年5月)已