第一節(jié)隨機變量及分布函數(shù)

第一節(jié)隨機變量及分布函數(shù)第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三如果以記向區(qū)間投點的坐標，并令易知，對于任意的值有從而第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三由此可得為明確隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，只需對任意的實數(shù)知道概率即可。并將此概率記為即-----分布函數(shù)第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定義3.1定義在樣本空間上，取值于實數(shù)域的函數(shù)稱為是樣本空間上的（實值）隨機變量。稱為隨機變量ξ的概率分布函數(shù)，簡稱為分布函數(shù)或分定義3.2設(shè)ξ是一隨機變量，x為任意實數(shù)，函數(shù)布。第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三（3）F(x)是右連續(xù)的.即對任意的實數(shù)x,有（2）（1）F(x)是一個單調(diào)不減函數(shù)，若則有第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三證明：(2)由F(x)的定義易得利用F(x)的單調(diào)性，為證只要證考慮事件：則則由概率的性質(zhì)知，此即由概率的連續(xù)性，得第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三類似地可以證明：第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三（3）由F(x)的單調(diào)性知，其任一點的右極限必存在，為證明右連續(xù)，只要對某一列單調(diào)下降的數(shù)列且滿足有成立即可。因為第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三由此即得第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例1：口袋里裝有3個白球2個紅球，從中任取三個球,解：設(shè)ξ表示取出的3個球中的白球數(shù)。ξ的可能求取出的三個球中的白球數(shù)的分布函數(shù)取值為1，2，3。而且由古典概率可算得第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三于是，ξ的分布函數(shù)為：o123xF(x)0.30.91第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三一般地，設(shè)離散型隨機變量ξ的分布律為其分布函數(shù)可表示如下：第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例設(shè)隨機變量ξ

的分布律為：ξ012P0.30.40.3求ξ的分布函數(shù)，并求第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例2:考慮如下試驗：在區(qū)間[0，1]上任取一點，記錄它的坐標ξ。那么ξ是一隨機變量，根據(jù)試驗條件可以認為ξ取到[0，1]上任一點的可能性相同。求ξ的分布函數(shù)。當(dāng)x＜0時解：由幾何概率的計算不難求出ξ的分布函數(shù)所以：第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例3一個靶子是半徑為2m的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，假設(shè)射擊都能中靶，以ξ表示彈著點與圓心的距離，試求隨機變量ξ的分布函數(shù)。解若x＜0,則是不可能事件，于是若由題意其中k

是某一常數(shù)，為了確定k

的值，取有但是，由題意知第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三從而得即于是若是必然事件，于是第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三故ξ的分布函數(shù)為12xoF(x)第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三請同學(xué)們自己看教科書109頁的例3.1（續(xù)）。由泊松分布導(dǎo)出指數(shù)分布的例子。例設(shè)母雞在任意的的時間間隔內(nèi)下蛋個數(shù)服從問兩次下蛋之間的“等待時間”服從怎樣的分布函數(shù)？解設(shè)前一次下蛋時刻為0，因為不可能為負，所以當(dāng)時，顯然有而當(dāng)時，因為在等待時間內(nèi)雞不下蛋，即第20頁，共22頁，2023年，2月20日，