第七章 系統(tǒng)函數(shù)

第七章系統(tǒng)函數(shù)第1頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§7.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性主要內(nèi)容：一、系統(tǒng)的零點(diǎn)與極點(diǎn)二、系統(tǒng)函數(shù)與時域響應(yīng)三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng)第2頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三一、系統(tǒng)的零點(diǎn)與極點(diǎn)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式,它是s或z的有理多項式B(·)與A(·)之比。對于連續(xù)系統(tǒng)第3頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三對于離散系統(tǒng)A(·)=0的根p1，p2，······，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(·)的極點(diǎn)；B(·)=0的根ζ1，ζ2，······，ζm稱為系統(tǒng)函數(shù)H（·）的零點(diǎn)

極點(diǎn)pi和零點(diǎn)ζi的值可能是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。由于A(·)和B(·)的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，所以零、極點(diǎn)若為虛數(shù)或復(fù)數(shù)，則必共軛成對。第4頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例1、已知系統(tǒng)函數(shù)如下所示，請求出系統(tǒng)的零、極點(diǎn)，并畫出其分布圖解：零點(diǎn)：＝－2；極點(diǎn)：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j將零點(diǎn)、極點(diǎn)畫在復(fù)平面上得到零、極點(diǎn)分布圖（2）j

j-j-1-2極點(diǎn)用“”表示；零點(diǎn)用“o”表示。本題：由H(s)得到零極點(diǎn)圖第5頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例2、已知H(s)的零、極點(diǎn)分布圖如下圖所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表達(dá)式。j

j2-j2-1解：極點(diǎn)p1＝-1＋j2;p2=-1-j2零點(diǎn)＝0所以根據(jù)初值定理，有本題：由零極點(diǎn)圖得到H(s)第6頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三二、系統(tǒng)函數(shù)H(·)與時域響應(yīng)h(·)沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(.)的極點(diǎn)確定。下面討論H(.)極點(diǎn)的位置與其時域響應(yīng)的函數(shù)形式。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1．連續(xù)因果系統(tǒng)

H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。

（1）在左半平面若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p=–α(α>0)，則A(s)中有因子(s+α)，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-αtε(t)第7頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三(b)若有一對共軛復(fù)極點(diǎn)p12=-α±jβ，則A(s)中有因子[(s+α)2+β2]---Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重極點(diǎn)，則A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其響應(yīng)為Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)以上三種情況：當(dāng)t→∞時，響應(yīng)均趨于0。暫態(tài)分量。（2）在虛軸上(a)單極點(diǎn)p=0或p12=±jβ，則響應(yīng)為Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----穩(wěn)態(tài)分量

(b)r重極點(diǎn)，相應(yīng)A(s)中有sr或(s2+β2)r，其響應(yīng)函數(shù)為Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—遞增函數(shù)

第8頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三（3）在右半開平面：均為遞增函數(shù)。

綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。①H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t→∞時，響應(yīng)均趨于0。②H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。③H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn)，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t→∞時，響應(yīng)均趨于∞。第9頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三2．離散因果系統(tǒng)

H(z)按其極點(diǎn)在z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類。根據(jù)z與s的對應(yīng)關(guān)系，有結(jié)論：①H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。即當(dāng)k→∞時，響應(yīng)均趨于0。②H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。③H(z)在單位圓上的高階極點(diǎn)或單位圓外的極點(diǎn)，其所對應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)k→∞時，響應(yīng)均趨于∞。第10頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與其極點(diǎn)的關(guān)系：根據(jù)收斂域的定義，H(.)收斂域不能含H(.)的極點(diǎn)。例3、某離散系統(tǒng)函數(shù)為（1）若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k)；（2）若系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k)；（3）若系統(tǒng)為雙邊序列，求單位序列響應(yīng)h(k)；解：（1）因為系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以收斂域為|Z|>3;所以第11頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三（2）因為系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，所以收斂域為|Z|<1/2;所以（3）因為系統(tǒng)為雙邊序列，所以收斂域為1/2<|Z|<3;所以問：因果系統(tǒng)的極點(diǎn)在…第12頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三二、系統(tǒng)函數(shù)與時域響應(yīng)時域特性能反映響應(yīng)變化的快慢、上升、下降時間長短及衰減的程度等。系統(tǒng)的自由響應(yīng)（P42）的函數(shù)（或序列）形式由A(·)的根確定，亦即由H(·)的極點(diǎn)確定，而沖擊響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式也由H(·)極點(diǎn)確定。第13頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三××××××××jωσtttttt

H(s)的極點(diǎn)與所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)1、連續(xù)系統(tǒng)>0第14頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三結(jié)論：1）LTI連續(xù)系統(tǒng)的自由響應(yīng)（書P42）、沖擊響應(yīng)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。2）H(s)在左半開平面的極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)是衰減的，當(dāng)t->∞時，對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)趨近于零。極點(diǎn)全部在左半平面的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)（見§7.2）。3）H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)的幅度不隨時間變化。4）H(s)在虛軸上的二階及二階以上的極點(diǎn)或在右半開平面上的極點(diǎn)，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都隨t的增長而增大，當(dāng)t趨于無限時，它們都趨于無窮大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。見書P237第15頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三2、離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)，按其在z平面的位置可分為：在單位圓內(nèi)、單位圓上和單位圓外三類。S域與Z域的關(guān)系T為取樣周期S表示為直角坐標(biāo)形式Z表示為坐極標(biāo)形式可見，S平面的左半平面(<0)對應(yīng)Z平面的圓內(nèi)(|Z|=<1);在S平面以虛軸為界，Z平面以|Z|=1的單位圓為界第16頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三S平面映射到Z平面第17頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三kko××kkkk×××××××Im[z]Re[z]H(z)的極點(diǎn)與所對應(yīng)的響應(yīng)離散系統(tǒng)第18頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三結(jié)論：1)、LTI離散系統(tǒng)的自由響應(yīng)、單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(z)的極點(diǎn)確定。2)、H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)序列是衰減的，當(dāng)k->∞時，對應(yīng)的響應(yīng)序列趨近于零。極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)。3)、H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)序列的幅度不隨時間變化。4)、H(z)在單位圓上的二階及二階以上的極點(diǎn)或在單位圓外的極點(diǎn)，其所對應(yīng)的響應(yīng)序列都隨k的增長而增大，當(dāng)k趨于無限時，它們都趨于無窮大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第19頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng)在s平面上，任意復(fù)數(shù)（常數(shù)或變數(shù)）都可以用有向線段表示ζj

φj

θi

pi

jωjωσoAiBj×零、極點(diǎn)矢量圖1、連續(xù)系統(tǒng)要求系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)都在左半開平面第20頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三對于任意極點(diǎn)pi和零點(diǎn)ζj令式中Ai、Bj分別是差矢量（jω-pi)和（jω-ζj）的模，θi、φj是它們的輻角。于是，系統(tǒng)函數(shù)可以寫為：第21頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三相頻響應(yīng)：式中幅頻響應(yīng)：提示：把頻率從0（或-）變化到+,根據(jù)各矢量模和幅角的變化，就可大致畫出幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線。第22頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例1、某線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)如圖所示,已知H(0)=1。(1)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)(2)若該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為求其激勵(3)大致畫出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性j

-1-2-30第23頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三解:(1)根據(jù)零極點(diǎn)圖，得因為H(0)=1K=6（2）第24頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三(3)因為極點(diǎn)均在左半開平面，所以根據(jù)上式可分別畫出其幅頻曲線和相頻曲線j

-1-2-30A1A221第25頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三幅頻曲線相頻曲線第26頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三全通函數(shù)：

如果系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jω)對所有的ω均為常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。以二階系統(tǒng)為例說明。如有二階系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)在左平面有一對共軛極點(diǎn)：p1,2=－α±jβ，令s1=－p1，s2=－p2，它在右半平面上有一對共軛零點(diǎn)ζ1=α＋jβ=s1，ζ2=α－jβ=s2，那么系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對于jω軸是鏡像對稱的。其系統(tǒng)函數(shù)可寫為：第27頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三其頻率特性為：對所有的ω有A1=B1，A2=B2，所以幅頻特性相頻特性：上述幅頻響應(yīng)為常數(shù)的系統(tǒng)，對所有頻率的正弦信號都一律平等地傳輸，因而被稱為全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。無失真?zhèn)鬏?？？?8頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三φ1

θ1

jωjωoA1B1s2

-s1-s2θ2φ2s1A2B2××2π

1H|jω|H|jω|Φ(ω)

Φ(ω)ω如下圖所示：最小相移函數(shù):右半開平面沒有零點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。全通函數(shù):若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jω)|為常數(shù)，則稱為全通系統(tǒng)，其相應(yīng)的H(s)稱為全通函數(shù)。凡極點(diǎn)位于左半開平面，零點(diǎn)位于右半開平面，并且所有零點(diǎn)與極點(diǎn)對于虛軸為一一鏡像對稱的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。第29頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三2、離散因果系統(tǒng)的頻率響應(yīng)若H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則它在單位圓上也收斂，頻率響應(yīng)為：式中＝Ts,為原來信號的角頻率，Ts為取樣周期系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)第30頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例7.1-2某離散因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)求其頻率響應(yīng)。解：由H(z)的表達(dá)式可知，其極點(diǎn)在p=1/3處，故收斂域包括單位圓，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（=Ts）第31頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三其幅頻響應(yīng)為相頻響應(yīng)為響應(yīng)曲線？？第32頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三一、系統(tǒng)的因果性因果系統(tǒng)指的是，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(·)不出現(xiàn)于激勵f(·)之前的系統(tǒng)。即對于任意的f(.)=0,t(或k)<0,如果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)都有yzs(.)=0,t(或k)<0，就稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則稱為非因果系統(tǒng)。連續(xù)因果系統(tǒng)的充分和必要條件是：或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域為：0>0;0<0;0=0??§7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性第33頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三離散因果系統(tǒng)的充分和必要條件是：或者，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域為即其收斂域為半徑等于0的圓外區(qū)域，或者說H(z)的極點(diǎn)都在收斂圓|z|=0內(nèi)部第34頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個系統(tǒng)（連續(xù)的或離散的），如果對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。也就是說，設(shè)Mf，My為正常數(shù)，如果系統(tǒng)對于所有的激勵其零狀態(tài)響應(yīng)則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分和必要條件：連續(xù)因果系統(tǒng)第35頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三離散系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分和必要條件：離散因果系統(tǒng)

若H(z)的收斂域包括單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；對于既是穩(wěn)定的又是因果的連續(xù)系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)都在s平面的左半開平面；其逆也成立。若存在虛軸上的一階極點(diǎn)，按上面的定義是不穩(wěn)定的，但有時也稱為邊界穩(wěn)定系統(tǒng)。對于既是穩(wěn)定的又是因果的離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)都在z平面的單位圓內(nèi)；其逆也成立。第36頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例1、如圖所示的反饋因果系統(tǒng)，問當(dāng)k滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其中子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為F(s)G(s)KY(s)X(s)解：設(shè)加法器的輸出信號為X(s),有第37頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三H(s)的極點(diǎn)為為使極點(diǎn)在左半平面，必須K<2第38頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例2、y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若為因果系統(tǒng)，求h(k),并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；（2）若為穩(wěn)定系統(tǒng)，求h(k)。解：若為因果系統(tǒng)，則|z|>2系統(tǒng)不穩(wěn)定（2）若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，0.5<|z|<2;所以問，該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)嗎？若|z|<0.5，系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？第39頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例3、下圖為離散因果系統(tǒng)框圖，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，求常量a的取值范圍。F(z)Z－1Y(z)2a解：設(shè)加法器輸出信號為X(z),有為使系統(tǒng)穩(wěn)定，H(z)的極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)，即有|a|<1第40頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例7.2-2如圖7.2-4所示的離散系統(tǒng)，當(dāng)K滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？F(z)Y(z)Z－1Z－1k3X(z)12解：設(shè)系統(tǒng)左端加法器的輸出為X(z),則有第41頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三所以系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng)k1/4時，為實(shí)極點(diǎn)，為使極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，必須滿足K>0當(dāng)k>1/4時，為復(fù)極點(diǎn)，為使極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，必須滿足|p1,2|<1,可得k<1;所以當(dāng)0<k<1時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第42頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三三、連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則

所有的根均在左半平面的多項式稱為霍爾維茲多項式。1、必要條件—簡單方法一實(shí)系數(shù)多項式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半開平面的必要條件是：（1）所有系數(shù)都必須非0，即不缺項；（2）系數(shù)的符號相同。例1

A(s)=s3+4s2-3s+2符號相異，不穩(wěn)定例2

A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不穩(wěn)定例3

A(s)=3s3+s2+2s+8需進(jìn)一步判斷，非充分條件。對因果系統(tǒng)，只要判斷H(s)的極點(diǎn)，即A(s)=0的根（稱為系統(tǒng)特征根）是否都在左半平面上，即可判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不必知道極點(diǎn)的確切值。第43頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三2、羅斯列表將多項式A(s)的系數(shù)排列為如下陣列—羅斯陣列第1行anan-2an-4…第2行an-1an-3an-5…第3行cn-1cn-3cn-5…它由第1，2行，按下列規(guī)則計算得到：…第4行由2，3行同樣方法得到。一直排到第n+1行。羅斯準(zhǔn)則指出：若第一列元素具有相同的符號，則A(s)=0所有的根均在左半開平面。若第一列元素出現(xiàn)符號改變，則符號改變的總次數(shù)就是右半平面根的個數(shù)。第44頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三特例：對于二階系統(tǒng)A(s)=a2s2+a1s+a0，若a2>0，不難得出，A(s)為霍爾維茲多項式的條件為：a1>0，a0>0例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯陣列：212218028.502第1列元素符號改變2次，因此，有2個根位于右半平面。注意：在排羅斯陣列時，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個元素為0或某一行元素全為0，這時可斷言：該多項式不是霍爾維茲多項式。

第45頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例2已知某因果系統(tǒng)函數(shù)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應(yīng)滿足什么條件？解列羅斯陣列331+k(8-k)/31+k所以，–1<k<8，系統(tǒng)穩(wěn)定。第46頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三四、離散因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——朱里準(zhǔn)則

為判斷離散因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要判斷A(z)=0的所有根的絕對值是否都小于1。朱里提出一種列表的檢驗方法，稱為朱里準(zhǔn)則。朱里列表：第1行anan-1an-2……a2a1a0第2行a0a1a2……an-2an-1an第3行cn-1cn-2cn-3……c1c0第4行c0c1c2……cn-2cn-1第5行dn-2dn-3dn-4……d0第6行d0d1d2……dn-2

……第2n-3行r2r1r0第47頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第3行按下列規(guī)則計算：…一直到第2n-3行，該行有3個元素。朱里準(zhǔn)則指出，A(z)=0的所有根都在單位圓內(nèi)的充分必要的條件是:(1)A(1)>0(2)(-1)nA(-1)>0

(3)an>|a0|cn-1>|c0|dn-2>|d0|……r2>|r0|奇數(shù)行，其第1個元素必大于最后一個元素的絕對值。特例：對二階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得A(1)>0A(-1)>0a2>|a0|第48頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例A(z)=4z4-4z3+2z-1解4-402-1-120-4415-140440-1415209

-210564>1，15>4，209>56所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

(-1)4A(-1)=5>0排朱里列表A(1)=1>0第49頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§7.3信號流圖主要內(nèi)容信號流圖梅森公式第50頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三信號流圖是用有向的線段和點(diǎn)描述線性方程組變量間因果關(guān)系的一種圖。信號流圖用來描述系統(tǒng)較方框圖更為簡便；而且通過梅森公式將系統(tǒng)函數(shù)與相應(yīng)的信號流圖聯(lián)系起來，不僅有利于系統(tǒng)分析，而且也便于系統(tǒng)模擬。一.信號流圖第51頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三Y(z)H(s)F(s)Y(s)H(s)F(s)Y(s)H(z)F(z)H(z)F(z)Y(z)方框圖信號流圖一般而言，信號流圖是一種賦權(quán)的有向圖。它由連接在結(jié)點(diǎn)間的有向支路構(gòu)成。它的一些術(shù)語定義如下：第52頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三2、源點(diǎn)：僅有出支路的結(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)。匯點(diǎn)：僅有入支路的結(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。信號流圖基本術(shù)語1、結(jié)點(diǎn)和支路

信號流圖中的每個結(jié)點(diǎn)對應(yīng)于一個變量或信號，連接兩結(jié)點(diǎn)間的有向線段稱為支路，每條支路的權(quán)值（支路增益）就是該兩結(jié)點(diǎn)間的系統(tǒng)函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù)）。3、通路

從任一結(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著箭頭方向連續(xù)經(jīng)過各相連的不同的支路和結(jié)點(diǎn)到達(dá)另一結(jié)點(diǎn)的路徑稱為通路。通路包含有：開通路、閉通路或回路（或環(huán)路）、不接觸回路、自回路（自環(huán)）等。第53頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三前向通路：從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的開通路。閉通路或回路（或環(huán)路）:通路的起點(diǎn)就是通路的終點(diǎn)（與其余節(jié)點(diǎn)相遇不多于一次）不接觸回路:相互沒有公共節(jié)點(diǎn)的回路。自回路（自環(huán)）:只有一個節(jié)點(diǎn)和一條支路的回路。開通路:如果通路與任一節(jié)點(diǎn)相遇不多于一次；第54頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三dx5x4x3x2x11abcgfe前向通路：x1x2x3x4x5;x1x2x3x5回路:x2x3x2;x2x3x4x2;x4x4不接觸回路：

x2x3x2與x4x4自回路：

x4x4通路(開通路或回路)中各支路增益的乘積稱為通路增益（或回路增益）第55頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三流圖化簡的規(guī)則

（2）兩條增益分別為a和b的支路相并聯(lián)，可以合并為一條增益為（a+b）的支路。（1）兩條增益分別為a和b的支路相串聯(lián)，可以合并為一條增益為a·b的支路，同時消去中間的結(jié)點(diǎn)。第56頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三（3）一條x1x2x3的通路，如果x1x2支路的增益為a，x2x3的增益為c，在x2處有增益為b的自環(huán)，則可以化簡為增益為ac/(1-b)的支路，同時削去結(jié)點(diǎn)x2。第57頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三（1）將串聯(lián)支路合并從而減少結(jié)點(diǎn)；（2）將并聯(lián)支路合并從而減少支路；信號流圖化簡步驟（3）消除自環(huán)。反復(fù)運(yùn)用以上步驟，可將復(fù)雜的信號流圖簡化為只有一個源點(diǎn)和一個匯點(diǎn)的信號流圖，從而求得系統(tǒng)函數(shù)。第58頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例7.3-1求圖下圖所示信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)解

根據(jù)串聯(lián)支路合并規(guī)則，將圖(a)中回路x1

x2x1和x1

x2

x3

x1化簡為自環(huán)，如圖b所例7.3-1第59頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三示，將x1到Y(jié)(s)之間各串聯(lián)、并聯(lián)支路合并，得圖（c）。并利用并聯(lián)支路合并規(guī)則，將x1處兩個自環(huán)合并，然后消除自環(huán)，得圖（d）。于是得到系統(tǒng)函數(shù)這正是二階微分方程的系統(tǒng)函數(shù)。第60頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三二、梅森公式

梅森公式為式中：Δ稱為信號流圖的特征行列式，其中是所有不同回路的增益之和；是所有兩兩不接觸回路的增益乘積和是所有三個都互不接觸回路的增益乘積之和。第61頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三

i表示由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的標(biāo)號；Pi是由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的增益；i是第i條前向通路特征行列式的余因子，它是與第i條前向通路不相接觸的子圖的特征行列式。第62頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例7.3-2求右圖信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)。例7.3-2解為了求出特征行列式Δ，先求出有關(guān)參數(shù)。上圖共有4個回路，各回路的增益為

x1x2

x1回路，L1=－G1H1

x2x3

x2回路，L2=－G2H2

x3

x4

x3回路，L3=－G3H3

x1

x4x3x2x1回路，L4=－G1G2G3H4它只有一對兩兩互不接觸的回路x1

x2x1與x3x4x3，第63頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三其回路增益乘積為沒有三個以上的互不接觸的回路。所以得再求其它參數(shù)。圖中有兩條前向通路，對于前向通路Fx1x2

x3

x4

Y

,其增益為由于各回路都與該通路有接觸，故Δ1=1對于前向通路Fx1x4

Y

，其增益為第64頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三最后，按式（7.3-8）得不與P2接觸的回路有x2x3

x2，所以第65頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§7.4系統(tǒng)模擬主要內(nèi)容直接實(shí)現(xiàn)級聯(lián)實(shí)現(xiàn)并聯(lián)實(shí)現(xiàn)為了對信號(連續(xù)或離散的信號)進(jìn)行處理（如濾波），就必須構(gòu)造出合適的實(shí)際結(jié)構(gòu)（硬件實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)或軟件運(yùn)算結(jié)構(gòu)）。第66頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三對于同一系統(tǒng)函數(shù)，通過不同的運(yùn)算，可以得到多種形式的實(shí)現(xiàn)方案，常用的有直接形式、級聯(lián)和并聯(lián)形式等。一、直接實(shí)現(xiàn)將上式分子、分母除以s2,上式可寫為設(shè)二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)第67頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三

根據(jù)梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式Δ，括號內(nèi)表示有兩個互相接觸的回路，其增益分別為-a1s-1和-a0s-2。H(s)的分子表示三條前向通路，其增益分別為b2、b1s-1和b0s-2，并且不與各前向通路相接觸的子圖特征行列式Δi（i=1,2,3)均等于1，也就是說，信號流圖中的兩個回路都與各前向回路相接觸，這樣就以得到(a)信號流圖，其對應(yīng)的s域框圖如圖(b)。第68頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三還可以得到如下的信號流圖和框圖。以上的分析方法可以推廣到高階的情形。見書P348例7.4-1某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)用直接形式模擬系統(tǒng)。第69頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三解

將H(s)改寫為根據(jù)梅森公式，可畫出上式的信號流圖如圖（a)信號流圖的轉(zhuǎn)置第70頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三二、級聯(lián)和并聯(lián)實(shí)現(xiàn)

級聯(lián)形式是將系統(tǒng)函數(shù)H(z)(或H(s))分解為幾個簡單的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，即其框圖形式如下圖所示，其