人教版課件第3套必修

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2．1.4平面與平面之間的位置關(guān)系1．會(huì)判斷直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))2．會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表示直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系．(難點(diǎn))1．直線和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有

個(gè)公共點(diǎn)

個(gè)公共點(diǎn)

公共點(diǎn)符號(hào)表示圖形表示無(wú)數(shù)有且只有一沒(méi)有a?αa∩α＝Aa∥α1．直線l在平面α外，l就與α無(wú)公共點(diǎn)嗎？提示：不對(duì)．l在α外有兩種情況，l∥α?xí)r無(wú)公共點(diǎn)，l與α相交時(shí)有唯一的公共點(diǎn)．故l在α外，l與α不一定沒(méi)有公共點(diǎn)．2．空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行0兩平面相交斜交有無(wú)數(shù)個(gè)，在

直線上垂直有無(wú)數(shù)個(gè)，在一條直線上α∥βα∩β＝aα∩β＝a一條2．如果平面α與平面β平行，直線a?α，直線b?β，那么a與b的位置是什么？提示：因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?，且a?α，b?β，所以a與b無(wú)公共點(diǎn)，故a與b可能平行也可能異面.

1.當(dāng)直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，直線與平面平行；當(dāng)直線與平面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，它們相交；當(dāng)直線與平面有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)，它們就有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)直線在平面內(nèi)．特別提醒：直線l與平面α平行和直線l與平面α相交統(tǒng)稱為直線在平面外，記作l?α.直線和平面的位置關(guān)系2．一般地，直線a在平面α內(nèi)時(shí)，應(yīng)把直線a畫(huà)在表示平面α的平行四邊形內(nèi)，如圖(1)所示；直線a與平面α相交時(shí)，應(yīng)畫(huà)成直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖(2)所示；直線a和平面α平行時(shí)，表示直線的線段應(yīng)畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的水平邊平行，如圖(3)所示．

下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為(

)(1)如果一條直線與一平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行；(2)如果一條直線與一平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直；(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與平面平行；(4)一條直線上有兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等，則這條直線平行于這個(gè)平面．A．0

B．1

C．2

D．3解析：對(duì)于(1)，直線與平面平行，只是說(shuō)明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線其位置關(guān)系除了平行之外，還有異面．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1B1與BC的位置關(guān)系是異面，因此(1)是錯(cuò)誤的．對(duì)于(3)，如圖，由A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD可以說(shuō)明過(guò)平面外一點(diǎn)不只有一條直線與已知平面平行，而是有無(wú)數(shù)多條．可以想象，經(jīng)過(guò)面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)A1的任一條直線，與平面ABCD的位置關(guān)系都是平行的．∴(3)也是錯(cuò)誤的．對(duì)于(4)，我們可以繼續(xù)借用正方體ABCD－A1B1C1D1來(lái)舉反例，如圖，取AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，A1D1、B1C1的中點(diǎn)分別為G、H，連接得四邊形EFHG.∵E、F、H、G分別為AD、BC、B1C1、A1D1的中點(diǎn)，∴可以證明，EFHG為平行四邊形，且該截面恰好把正方體一分為二，A、D兩個(gè)點(diǎn)到該截面的距離相等，但AD∩平面EFHG＝E，∴(4)也是錯(cuò)誤的．對(duì)于(2)，把一直角三角板的一直角邊放在桌面內(nèi)，讓另一直角邊豎起，即另一直角邊與桌面的位置關(guān)系是垂直，可以得出在桌面內(nèi)與直角邊所在的直線平行的直線與另一直角邊垂直．∴正確的說(shuō)法只有一個(gè)，∴應(yīng)選B.答案：B【題后總結(jié)】(1)要判斷一個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的，只需舉出一個(gè)反例；要說(shuō)明一個(gè)說(shuō)法是正確的，一般需理論上的證明．(2)本題是多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)綜合而成的選擇題，此類(lèi)問(wèn)題考查知識(shí)面廣，需有一定的分析、解決問(wèn)題的能力．1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(

)①如果a、b是兩條直線，a∥b，那么a平行于過(guò)b的任何一個(gè)平面；②如果直線a滿足a∥α，直線b?α，則a∥b；③如果直線a、b滿足a∥α，b∥α，則a∥b；④如果直線a、b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；⑤如果a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α.A．0 B．2 C．1 D．3解析：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′卻在過(guò)BB′的平面AB′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′與A′D′相交，所以命題③不正確；命題④中，假設(shè)α與b相交，∵a∥b，∴a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即命題④正確；AA′顯然與平面A′B中和B′B平行的無(wú)數(shù)條直線平行，但AA′?平面A′B，故命題⑤不正確．故選C.答案：C兩個(gè)平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類(lèi)似，可以從有無(wú)公共點(diǎn)來(lái)區(qū)分．如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么由公理3可知：這兩個(gè)平面相交于過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一條直線；如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)平面相互平行．平面和平面的位置關(guān)系 α、β是兩個(gè)不重合的平面，下面說(shuō)法正確的是(

)A．平面α內(nèi)有兩條直線a、b都與平面β平行，那么α∥βB．平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于平面β，那么α∥βC．如果直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行，那么α∥β解析：A、B都不能保證α、β無(wú)公共點(diǎn)，如下圖；C中當(dāng)a∥α，a∥β時(shí)，α與β可能相交，如圖；只有D說(shuō)明α、β一定無(wú)公共點(diǎn)．故選D.答案：D【題后總結(jié)】判斷命題的真假，常常通過(guò)畫(huà)出圖形來(lái)進(jìn)行．2．設(shè)三條互相平行的直線a、b、c和兩個(gè)不重合的平面α、β，滿足a?α，b?β，c?β，試判斷α、β的位置關(guān)系．解：如圖(1)、(2)可知，α與β平行或相交． (12分)已知一條直線與一個(gè)平面平行，求證：經(jīng)過(guò)這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線一定在這個(gè)平面內(nèi)．直線、平面位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【規(guī)范解答】已知：直線a∥α，點(diǎn)A∈直線b，A∈α，且a∥b，求證：b?α. 2分證明：假設(shè)b?α.∵A∈α，A∈b，∴b和平面α相交. 4分∵a∥α，A∈α，∴A?a. 6分則過(guò)點(diǎn)A和a存在一個(gè)平面β，即a?β，A∈β. 8分在平面β內(nèi)，過(guò)A可作直線b′，使a∥b′. 10分∵a∥b，∴b′∥b，這與b′∩b＝A矛盾．∴b?α.12分【題后總結(jié)】(1)化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題是解決立體幾何問(wèn)題常用的方法，本例中a，b在β內(nèi)即是平面問(wèn)題．(2)對(duì)于直接證明較困難的問(wèn)題，可考慮反證法，本例中證明b?α?xí)r即是反證法．3．如果一條直線經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)，又經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，求證：此直線和平面相交．解：已知：A∈a，A∈α，B?α，B∈a.求證：直線a和平面α相交．證明：如圖，根據(jù)已知，a和平面α有公共點(diǎn)A，∴a不平行于平面α，假設(shè)直線a和平面α不相交，則a?α.∵B∈a，∴B∈α，和已知B?α矛盾．∴直線a和平面α相交．誤區(qū)：對(duì)直線與平面的位置關(guān)系理解不到位致錯(cuò)【典例】

求證：如果兩條平行線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條也和這個(gè)平面相交．【錯(cuò)誤解答一】設(shè)a∥b，a∩α＝P(如圖所示)．∵a∥b，∴a與b可確定一個(gè)平面，設(shè)這個(gè)平面為β.∵a∩α＝P，∴P∈a且P∈α.∴P∈β，即點(diǎn)P為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn)．由此可知α與β相交于經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，記為c，即有c?α.在β內(nèi)，a∥b，a∩c＝P，由平面幾何知識(shí)可得b與c也相交，設(shè)b∩c＝Q，則Q∈c.∵c?α，∴Q∈α，∴直線b與平面α相交．【錯(cuò)誤解答二】假設(shè)直線b與平面α不相交，則b∥α.過(guò)點(diǎn)P和直線b作平面β，則β與α必相交于過(guò)點(diǎn)P的一條直線c，且b∥c.∵a∥b，∴a∥c.∵a∩α＝P，∴P∈a.又∵P∈c，∴a與c有公共點(diǎn)P，這就與a∥c矛盾，∴b與α相交．【正確解答】設(shè)直線a∥直線b，a∩平面α＝P，如錯(cuò)解一中圖，∵a∥b，∴直線a和b確定一個(gè)平面，設(shè)這個(gè)平面為β.∵a∩α＝P，∴P∈a且P∈α，∴P∈β.從而點(diǎn)P是α與β的一個(gè)公共點(diǎn)，由此可知平面α與平面β相交于過(guò)點(diǎn)P的一條直線．設(shè)α∩β＝c，則c?α.在平面β內(nèi)，a∥b，a∩c＝P，由平面幾何知識(shí)知b與c也相交．設(shè)b∩c＝Q，則Q∈c.∴直線b與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)Q.下面證明直線b不在平面α內(nèi)．假設(shè)b?α.∵a∩α＝P，∴a?α.∵a∥b，∴a∥α，這就與a∩α＝