核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革

核心素養(yǎng)(sùyǎng)理念下的

數(shù)學(xué)教學(xué)變革人民教育出版社章建躍1第一頁，共91頁。一、數(shù)學(xué)課改的核心(héxīn)任務(wù)十八大提出的“教育的根本任務(wù)在于立德樹人〞就是整個教育改革的核心任務(wù)。數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是“數(shù)學(xué)育人〞。如何把這個要求(yāoqiú)在數(shù)學(xué)教育中落實(shí)下來，抓手在哪里？2第二頁，共91頁。教育部的頂層設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)學(xué)科的“立德樹人〞是“以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為綱〞。義教課標(biāo)中提出了八個“核心概念〞：數(shù)感、符號意識、空間(kōngjiān)觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想；高中課標(biāo)修訂組進(jìn)一步提煉了六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)課改的核心任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要有具體措施，要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的各個環(huán)節(jié)。3第三頁，共91頁。二、關(guān)于落實(shí)(luòshí)核心素養(yǎng)的思考“學(xué)科育人〞要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量?！皵?shù)學(xué)育人〞要用數(shù)學(xué)的方式，在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源，并使它們在數(shù)學(xué)教育的各個環(huán)節(jié)中發(fā)揮作用。增強(qiáng)課程意識，把握教改方向，明確數(shù)學(xué)育人目標(biāo)，提升(tíshēng)數(shù)學(xué)育人的實(shí)效性，提高教育教學(xué)質(zhì)量。4第四頁，共91頁。問題(wèntí)思考數(shù)學(xué)課程的育人力量是什么？什么叫“數(shù)學(xué)的方式〞？一線教師的課程意識(yìshí)是如何表現(xiàn)的？5第五頁，共91頁。一線教師(jiàoshī)的課程意識〔1〕我教的是一門怎樣(zěnyàng)的課——課程性質(zhì)〔2〕這門課能發(fā)揮怎樣(zěnyàng)的育人功能，在學(xué)生開展中的不可替代作用是什么——課程目標(biāo)〔3〕如何教這門課——課程實(shí)施〔4〕這樣教在多大程度上實(shí)現(xiàn)了它的育人功能——課程評價6第六頁，共91頁。數(shù)學(xué)(shùxué)是一門怎樣的課？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式(xíngshì)的科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運(yùn)算、形式(xíngshì)推理、模型構(gòu)建等理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律?！n標(biāo)如是說。7第七頁，共91頁。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，具有(jùyǒu)“追求最大限度的一般性模式特別是一般性算法的傾向〞，有一套具有(jùyǒu)普適性的思考結(jié)構(gòu)和交流的符號形式，這種結(jié)構(gòu)和符號形式是強(qiáng)大的，富有邏輯，簡明而且精確，是人們可以借助于理解和處理周圍環(huán)境的一種思維方式，包括：抽象化、運(yùn)用符號、建立模型、邏輯分析、推理、計(jì)算，不斷地改進(jìn)、推廣，更深入地洞察內(nèi)在的聯(lián)系，在更大范圍內(nèi)進(jìn)行概括，建立更為一般的統(tǒng)一理論等一整套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⑿兄行У目茖W(xué)方法，這是在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)知識體系的過程中必須使用的思維方式。8第八頁，共91頁。推理是數(shù)學(xué)的命根子，運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功〞。思維訓(xùn)練的載體就是推理和運(yùn)算。數(shù)學(xué)是一門語言，與語文有相似的特性，它有自己的一套獨(dú)立的符號系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式——閱讀(yuèdú)、表達(dá)、交流的工具。9第九頁，共91頁。數(shù)學(xué)(shùxué)學(xué)科的獨(dú)特育人功能主要(zhǔyào)在培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維上，要使學(xué)生學(xué)會思考，特別是學(xué)會“有邏輯地思考〞、創(chuàng)造性思考，使學(xué)生成為善于認(rèn)識問題、善于解決問題的人才。學(xué)會嚴(yán)格的邏輯推理，學(xué)會運(yùn)算的方法和技巧。學(xué)會使用數(shù)學(xué)語言，能用數(shù)學(xué)的方式閱讀、表達(dá)和交流。10第十頁，共91頁。以數(shù)學(xué)知識為載體開展學(xué)生的核心(héxīn)素養(yǎng)完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程：*數(shù)學(xué)研究對象的獲得*研究數(shù)學(xué)對象*應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題數(shù)學(xué)對象的獲得，要注重(zhùzhòng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，也要注重(zhùzhòng)數(shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致、邏輯連貫性，從“事實(shí)〞出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過程，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)；11第十一頁，共91頁。對數(shù)學(xué)對象的研究，要注重以“一般觀念〞為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜測，通過數(shù)學(xué)的推理、論證證明結(jié)論〔定理、性質(zhì)等〕的過程，提升推理、運(yùn)算等素養(yǎng)(sùyǎng)；應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題，要注重利用數(shù)學(xué)概念原理分析問題，表達(dá)建模的全過程，學(xué)會分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等。12第十二頁，共91頁。“兩個(liǎnɡɡè)過程〞的合理性從數(shù)學(xué)知識發(fā)生(fāshēng)開展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)。前一個的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問題，后一個是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問題。13第十三頁，共91頁。以開展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為追求，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升地安排教學(xué)內(nèi)容，特別是要讓重要的〔往往也是難以一次完成的〕數(shù)學(xué)概念、思想方法得到反復(fù)理解的時機(jī)。以“事實(shí)——概念——性質(zhì)(xìngzhì)〔關(guān)系〕——結(jié)構(gòu)〔聯(lián)系〕——應(yīng)用〞為明線；以“事實(shí)——方法——方法論——數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀〞為暗線。14第十四頁，共91頁。從數(shù)學(xué)(shùxué)思維、思想或核心素養(yǎng)角度看“事實(shí)——概念〞主要是“抽象〞〔對典型而豐富的具體事例(shìlì)進(jìn)行觀察、比較、分析，歸納共性，抽象出共同本質(zhì)特征，并推廣到同類事物中去而得出概念〕；“概念——性質(zhì)〞主要是“推理〞，包括通過歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，通過〔邏輯〕演繹推理證明性質(zhì)；“性質(zhì)——結(jié)構(gòu)〞主要也是“推理〞，是建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程；“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)——應(yīng)用〞主要是“建模〞，是用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題。15第十五頁，共91頁。強(qiáng)調(diào)獲得“事實(shí)(shìshí)〞的教育價值“數(shù)學(xué)事實(shí)〞是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“原材料〞，也是數(shù)學(xué)育人的首要素材(sùcái)；真正的學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷“感知—感悟—知識〞的過程；以“事實(shí)〞為支撐的概念理解才是真理解，才能形成對概念本質(zhì)的深刻體悟，教學(xué)應(yīng)從讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)事實(shí)開始。16第十六頁，共91頁。增加概括概念、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)所需的素材，提供豐富的、真實(shí)的應(yīng)用問題；調(diào)動所有感官參與學(xué)習(xí)，安排動眼觀察、動手操作、動腦思考(sīkǎo)的實(shí)踐活動，使學(xué)生通過自主活動獲取理解概念所需的“事實(shí)〞；增加“悟〞的時間，長時間的“悟〞，然后是有所體驗(yàn)、有所心得、有所發(fā)現(xiàn)。17第十七頁，共91頁。在整個教學(xué)過程中，都要發(fā)揮“一般觀念〞的作用，加強(qiáng)“如何思考〞、“如何發(fā)現(xiàn)(fāxiàn)〞的啟發(fā)和引導(dǎo)，特別是在概念的抽象要做什么、“幾何性質(zhì)〞“代數(shù)性質(zhì)〞“函數(shù)性質(zhì)〞指什么等問題上要及時引導(dǎo)，以使學(xué)生明確思考方向。18第十八頁，共91頁。教師的專業(yè)開展水平和育人能力

是落實(shí)核心素養(yǎng)(sùyǎng)的關(guān)鍵理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)當(dāng)前(dāngqián)的主要問題是教師在“理解數(shù)學(xué)〞上不用功，數(shù)學(xué)水平不高導(dǎo)致數(shù)學(xué)課教不好數(shù)學(xué)，甚至數(shù)學(xué)課不教數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)越來越難學(xué)，使學(xué)生越學(xué)越糊涂。19第十九頁，共91頁。理解(lǐjiě)數(shù)學(xué)知識的三重境界知其然知其所以然何由以知其所以然——啟發(fā)(qǐfā)學(xué)生，示以思維之道耳！20第二十頁，共91頁。三、系統(tǒng)觀指導(dǎo)(zhǐdǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)觀的內(nèi)涵：整體性——把研究對象看成一個整體，從整體出發(fā)，在組成系統(tǒng)的各要素相互(xiānghù)關(guān)系中探究研究對象的本質(zhì)和規(guī)律。層次性——系統(tǒng)是由要素組成的整體；每個系統(tǒng)又是它的上位系統(tǒng)的組成要素，由此構(gòu)成具有層級關(guān)系的整體，這就是層次性。先把握根本要素，再看要素組成的子系統(tǒng)，然后再看子系統(tǒng)組成的上位系統(tǒng)……這樣才能具有思想性、觀念性。21第二十一頁，共91頁。聯(lián)系性系統(tǒng)和系統(tǒng)之間、各要素之間、系統(tǒng)和要素之間是相互聯(lián)系(liánxì)、相互作用的。任何事物都由假設(shè)干局部、要素構(gòu)成，各局部、要素相互依存、相互聯(lián)系(liánxì)。只有這樣，事物才能成為有機(jī)整體。任何事物都與周圍的其他事物相互聯(lián)系(liánxì)著，包括橫向聯(lián)系(liánxì)和縱向聯(lián)系(liánxì)。22第二十二頁，共91頁。目的性數(shù)學(xué)育人目標(biāo)(mùbiāo)有一個從宏觀到微觀的層級系統(tǒng)。教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該把教學(xué)過程看成具有一定開展規(guī)律和趨勢的系統(tǒng)，在宏觀目標(biāo)(mùbiāo)指導(dǎo)下分析具體目標(biāo)(mùbiāo)和內(nèi)容，要注意把宏觀目標(biāo)(mùbiāo)落實(shí)在具體課堂中，使每一堂課都為到達(dá)宏觀目標(biāo)(mùbiāo)效勞。問題：數(shù)學(xué)育人目標(biāo)(mùbiāo)的層級系統(tǒng)是怎樣的？23第二十三頁，共91頁。宏觀到微觀的目標(biāo)(mùbiāo)體系教育方針課程目標(biāo)單元目標(biāo)課時目標(biāo)課堂教學(xué)中，三維目標(biāo)融為一體，內(nèi)容為載體，過程中表達(dá)思想方法、思維能力，挖掘內(nèi)容所蘊(yùn)含的育人資源(zīyuán)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的逐步提升。24第二十四頁，共91頁。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的主要問題仍然是：碎片化教學(xué)，做題目成為一切，充其量只是培養(yǎng)了做題目的機(jī)器。從數(shù)學(xué)育人的出發(fā)點(diǎn)和歸宿看，思維的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，開展學(xué)生的理性精神，這是根本。問題是：依靠什么來實(shí)現(xiàn)？教學(xué)內(nèi)容的整體性——載體；系統(tǒng)思維——目標(biāo)；單元(dānyuán)教學(xué)——途徑。25第二十五頁，共91頁。單元(dānyuán)教學(xué)的組織要義整體——局部——整體前一個“整體〞是先行組織者，認(rèn)識的結(jié)構(gòu)、普適性的思想方法、解決問題的策略，等等?！熬植卡暿菍?shù)學(xué)對象的內(nèi)涵、要素、概念的定義和表示、分類、性質(zhì)、特例……的研究，在這個過程中加強(qiáng)“如何(rúhé)歸納、抽象概念〞、“如何(rúhé)發(fā)現(xiàn)值得研究的問題〞、“如何(rúhé)研究性質(zhì)〞、“如何(rúhé)找到證明的方法〞……的引導(dǎo)。26第二十六頁，共91頁。后一個“整體〞，在分課時學(xué)習(xí)根底上的歸納、總結(jié)，不僅完善本單元的知識結(jié)構(gòu)，而且建立與相關(guān)(xiāngguān)知識的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。27第二十七頁，共91頁。系統(tǒng)觀指導(dǎo)下的單元教學(xué)(jiāoxué)設(shè)計(jì)平面向量起始課課標(biāo)要求：構(gòu)建研究平面向量的根本線索，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義，理解平面向量的幾何表示和根本要素。教學(xué)設(shè)計(jì)要求：表達(dá)先行組織者思想，要在數(shù)學(xué)的整體觀指導(dǎo)(zhǐdǎo)下，構(gòu)建研究一個數(shù)學(xué)對象〔平面向量〕的根本線索，在此根底上構(gòu)建平面向量的概念。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)。28第二十八頁，共91頁。先行組織者：構(gòu)建研究(yánjiū)路徑“平面向量〞是高中數(shù)學(xué)中典型的“新對象〞：既是幾何研究對象，也是代數(shù)研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁；向量理論是描述直線、曲線(qūxiàn)、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的根本工具。問題思考：①“幾何對象〞指什么？“代數(shù)對象〞指什么？②向量是怎樣的根本工具，如何使它好用？——方向很重要，方向如何“運(yùn)算〞是關(guān)鍵。29第二十九頁，共91頁。研究(yánjiū)路徑是什么？如何構(gòu)建？背景引入概念定義、表示、性質(zhì)〔要素之間的特殊關(guān)系〕運(yùn)算和運(yùn)算律〔引進(jìn)一種量就要(jiùyào)定義運(yùn)算，定義一種運(yùn)算就要(jiùyào)研究運(yùn)算律〕向量根本定理及坐標(biāo)表示應(yīng)用問題思考：①章引言怎么用？②“研究路徑〞非出不可，什么時候出？開頭、中間或結(jié)尾？30第三十頁，共91頁。“獲得向量概念(gàiniàn)〞要做哪些事？獲得研究對象：定義向量概念，認(rèn)識“平面向量集合〞中的元素?，F(xiàn)實(shí)背景〔力、速度、位移等〕——定義——表示〔圖形、符號(fúhào)、方向、大小〕——特例〔零向量、單位向量〕——性質(zhì)〔向量與向量的關(guān)系，相等是最重要的關(guān)系；重點(diǎn)考慮“方向〞，所以先有平行、共線、相反向量；等等〕。31第三十一頁，共91頁。延伸問題：如何(rúhé)定義向量加法？既有大小，又有方向——“方向〞如何相加？“位移〞是最好的模型，得到“三角形法那么(nàme)〞；接下來研究什么問題？定義a+0=0+a=a〔完備性〕；向量加法的性質(zhì)：特例〔共線〕、三角形不等式；運(yùn)算律。32第三十二頁，共91頁。四、構(gòu)建研究(yánjiū)幾何對象的整體思路立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。位置關(guān)系：用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定(pàndìng)，并對某些結(jié)論進(jìn)行論證；研究方法：直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等。33第三十三頁，共91頁?？傮w目標(biāo)：認(rèn)識和探索空間圖形的概念、判定和性質(zhì)，建立空間觀念；提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。位置關(guān)系的具體內(nèi)容：點(diǎn)、直線(zhíxiàn)、平面作為“根本圖形〞，四個根本領(lǐng)實(shí)〔平面三公理，平行公理〕、一個等角定理；直線(zhíxiàn)、平面的平行和垂直的判定、性質(zhì)。34第三十四頁，共91頁。1.平面(píngmiàn)三公理課標(biāo)要求：借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的根底上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的定義，了解三個公理。教學(xué)設(shè)計(jì)要求：要引導(dǎo)學(xué)生體會刻畫空間中點(diǎn)、直線、平面的根本特征〔如平面的“平〞〕的方法，要注意“三種語言〞的訓(xùn)練，建立空間觀念，提升直觀想象、數(shù)學(xué)(shùxué)抽象素養(yǎng)。35第三十五頁，共91頁。問題1“平面三公理〞的內(nèi)容是什么？它的數(shù)學(xué)功能是什么？問題2從中能體會刻畫平面的“平〞的數(shù)學(xué)思想(sīxiǎng)方法嗎？問題3在理解點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的過程中，作圖的作用是什么？36第三十六頁，共91頁。2.關(guān)于位置關(guān)系(guānxì)的性質(zhì)什么叫“性質(zhì)〞？——只有明白了這個(zhège)問題，才能使學(xué)生在獨(dú)立面對一個數(shù)學(xué)對象時知道從哪里下手研究性質(zhì)，才能使學(xué)生自主探究，才能使發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力的培養(yǎng)落在實(shí)處。這樣，核心素養(yǎng)的落實(shí)也就自然而然、水到渠成。37第三十七頁，共91頁?！靶再|(zhì)就是一類事物共有的特性〞，正確但過于宏觀，在具體思考中沒有(méiyǒu)可操作性，需要針對具體內(nèi)容進(jìn)行歸納。例如：運(yùn)算中的不變性〔規(guī)律性〕就是性質(zhì)——研究代數(shù)性質(zhì)，“算算看〞是根本方法；變化中的不變性〔規(guī)律性〕就是性質(zhì)——研究函數(shù)的性質(zhì)，在運(yùn)動變化中進(jìn)行觀察是根本方法；要素和要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)——觀察幾何圖形的構(gòu)成要素之間的相互關(guān)系〔位置關(guān)系、大小關(guān)系等〕是研究幾何性質(zhì)的根本方法；……38第三十八頁，共91頁。幾何(jǐhé)性質(zhì)的分類幾何問題可以分為兩大類：幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征幾何圖形的位置關(guān)系幾何圖形的性質(zhì)：一個幾何圖形的組成要素、相關(guān)要素之間的相互關(guān)系〔定性、定量〕；位置關(guān)系的性質(zhì)：點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，核心是平行、垂直，距離、角度、對稱等是刻畫(kèhuà)位置關(guān)系的根本方法。39第三十九頁，共91頁。什么(shénme)叫“幾何體的結(jié)構(gòu)特征〞？結(jié)構(gòu)特征就是這類幾何對象〔如棱柱〕組成要素之間確定的關(guān)系。結(jié)構(gòu)特征有多種表現(xiàn)形式，選刻畫這類對象的充要條件作為定義〔包含的要素關(guān)系盡量少〕，作為研究的出發(fā)點(diǎn)，其他的特征作為性質(zhì)。定義——充要條件；性質(zhì)——必要條件；判定(pàndìng)——充分條件〔研究直線垂直于平面的判斷，就是探究什么條件能確保垂直〕。40第四十頁，共91頁。思考：位置關(guān)系的性質(zhì)(xìngzhì)如何表現(xiàn)？例如：兩條直線平行，從“同位角相等〞、“內(nèi)錯角相等〞以及“同旁內(nèi)角互補(bǔ)〞可以想到，這時的“性質(zhì)〞是與“第三條直線〞構(gòu)成某種關(guān)系——平行、相交，相交時又形成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。從方法論的高度，研究兩個幾何元素〔兩條直線〕的某種位置關(guān)系〔平行〕的性質(zhì)，就是探索在這種位置關(guān)系下的兩個幾何元素與同類(tónglèi)幾何元素之間是否形成確定的關(guān)系。具體方法是讓“同類(tónglèi)元素〞動起來，看“變化中的不變性〞。41第四十一頁，共91頁?？臻g中直線、平面(píngmiàn)的垂直關(guān)系課標(biāo)要求：探索空間直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)，如：垂直于同一個平面的兩條直線平行；垂直于同一條(yītiáo)直線的兩個平面平行；兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條(yītiáo)直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直；等等。42第四十二頁，共91頁。教學(xué)設(shè)計(jì)要求：在明確“什么(shénme)是圖形的位置關(guān)系的性質(zhì)〞的根底上，通過類比直線、平面“平行關(guān)系〞的性質(zhì)，從整體上提出“垂直關(guān)系的性質(zhì)〞的猜測。選擇“垂直于同一個平面的兩條直線平行〞等典型猜測給出證明。要表達(dá)研究幾何問題的“根本套路〞，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)43第四十三頁，共91頁。這樣(zhèyàng)處理有什么好處？完整的、統(tǒng)一的解決方案，立意高，思想性強(qiáng)，“數(shù)學(xué)味〞濃；反映(fǎnyìng)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生開展過程，是自然而水到渠成的；探索性更強(qiáng)，能更好地落實(shí)“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力的培養(yǎng)〞，創(chuàng)造性也更強(qiáng)；44第四十四頁，共91頁。符合數(shù)學(xué)思維規(guī)律，表達(dá)數(shù)學(xué)的整體觀，使性質(zhì)(xìngzhì)的發(fā)現(xiàn)具有必然性，能給學(xué)生更多智慧的啟迪，思維的教學(xué)更加到位；更能表達(dá)學(xué)習(xí)的自主性，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。45第四十五頁，共91頁。學(xué)生已經(jīng)完整地學(xué)過直線、平面平行的判定及其性質(zhì)，已經(jīng)了解了研究一種幾何位置(wèizhi)關(guān)系的“根本套路〞：從判定到性質(zhì)，性質(zhì)的內(nèi)容、過程和方法，因此與學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備相適應(yīng)。當(dāng)前的問題是對“什么叫判定〞、“什么叫性質(zhì)〞的歸納不夠，導(dǎo)致學(xué)生的盲目探究，無邏輯的猜測，使發(fā)現(xiàn)和提出猜測成為偶然。為什么可以(kěyǐ)這么做？46第四十六頁，共91頁。直線與平面(píngmiàn)垂直的性質(zhì)的問題串一、復(fù)習(xí)回憶前面我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的定義及判定定理，請大家回憶一下內(nèi)容和研究思路。二、引入新課研究了直線與平面垂直的判定，你覺得接下來我們研究什么？——性質(zhì)(xìngzhì)追問：具體地，就是要研究什么？——以“直線與平面垂直〞為條件能推出什么結(jié)論。47第四十七頁，共91頁。定義既可以作為判定，又可以作為性質(zhì)。此外，還有其它性質(zhì)嗎？如何發(fā)現(xiàn)性質(zhì)？〔學(xué)生沒有思路時〕回憶直線與平面(píngmiàn)平行性質(zhì)的研究過程，它是從什么角度入手發(fā)現(xiàn)的？類比一下，你覺得如何入手？教師引導(dǎo)：平行性質(zhì)的研究，是以直線a與平面(píngmiàn)α平行為條件，借助經(jīng)過直線a的平面(píngmiàn)β，發(fā)現(xiàn)a與α、β的交線b平行，而且這個平行關(guān)系不會隨β的改變而改變，從而得到了一條線面平行的性質(zhì)。仿照上面的歸納，你能說說平面(píngmiàn)與平面(píngmiàn)平行的性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)的嗎？48第四十八頁，共91頁。你能總結(jié)一下如何研究一種位置關(guān)系的性質(zhì)了嗎？平行關(guān)系的性質(zhì)，就是以線面、面面平行為條件，通過考察它們(tāmen)與另一條直線、另一個平面形成的關(guān)系中，有哪些不變的特性。接下來，類比直線與平面平行性質(zhì)的研究思路和方法，先獨(dú)立思考、探究，得出結(jié)果后再相互交流、討論。要求：把你發(fā)現(xiàn)的線面垂直性質(zhì)總結(jié)提煉出來，并用圖形語言和符號語言表達(dá)。49第四十九頁，共91頁。五、認(rèn)知(rènzhī)觀指導(dǎo)下的概念教學(xué)理解概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(xuéxí)的首要任務(wù)。理解概念主要靠歸納思維，概念教學(xué)要用歸納式。概念教學(xué)要遵循一定之規(guī)，這是由數(shù)學(xué)概念的發(fā)生開展過程和學(xué)生認(rèn)知概念的思維過程所決定的。概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)，主要任務(wù)是：選擇典型豐富的具體實(shí)例，設(shè)計(jì)歸納具體實(shí)例的共同特征、抽象出本質(zhì)特征，并概括到同類事物中去的過程。50第五十頁，共91頁。概念(gàiniàn)教學(xué)的根本環(huán)節(jié)背景引入——借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的開展過程或解決實(shí)際問題的需要引入概念；共性歸納——提供(tígōng)典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征；下定義——明確本質(zhì)屬性，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述〔文字的、符號的〕；51第五十一頁，共91頁。概念的辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義〔恰當(dāng)(qiàdàng)使用反例〕；概念的穩(wěn)固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致〞——納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。52第五十二頁，共91頁。函數(shù)概念(gàiniàn)的教學(xué)課標(biāo)要求：在初中(chūzhōng)用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的根底上，用集合與對應(yīng)關(guān)系的語言刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用。教學(xué)設(shè)計(jì)要求：要表達(dá)以概念形成的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的根本環(huán)節(jié)，通過適當(dāng)?shù)膯栴}情境引導(dǎo)學(xué)生體會進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性，體會用集合對應(yīng)語言刻畫函數(shù)概念的思想方法。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。53第五十三頁，共91頁?！袄斫?lǐjiě)數(shù)學(xué)〞〔課標(biāo)說〕函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最根本概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最根本的數(shù)學(xué)模型和工具，有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。從“刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具〞到“實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)(duìyìng)關(guān)系〞；高中函數(shù)概念強(qiáng)調(diào)了定義域和對應(yīng)(duìyìng)關(guān)系；對應(yīng)(duìyìng)關(guān)系指的是對應(yīng)(duìyìng)的結(jié)果，而不是對應(yīng)(duìyìng)過程；“y=f(x)，x∈A〞是一個整體。54第五十四頁，共91頁。如何設(shè)計(jì)歸納(guīnà)過程以概念形成方式，要完成“實(shí)例——共性歸納——定義——辨析——簡單應(yīng)用〞的過程(guòchéng)。其中，對“事實(shí)〞的分析、共性歸納是關(guān)鍵之一，“辨析〞又是一個關(guān)鍵。55第五十五頁，共91頁。認(rèn)真(rènzhēn)講好三個實(shí)例有解析式的，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注x在哪個范圍(fànwéi)取值，例如“炮彈距離地面的高度h隨時間t的變化而變化的規(guī)律是h=130t-5t2，經(jīng)過26s落地〞，應(yīng)該問：①時間t的變化范圍(fànwéi)是什么？②問題“100s時對應(yīng)的高度是多少〞有沒有意義？——沒有意義了，因?yàn)榕趶棸l(fā)射的過程在26s時已經(jīng)結(jié)束。③你認(rèn)為如何描述才能真實(shí)反映炮彈發(fā)射過程？56第五十六頁，共91頁。臭氧空洞面積(miànjī)變化圖57第五十七頁，共91頁。〔1〕時間的變化范圍是什么？空洞面積s的變化范圍是什么？〔2〕s是t的函數(shù)嗎？為什么？——不能僅僅以“因?yàn)槿我庖粋€時間t都有唯一一個面積s與之對應(yīng)〞了事，應(yīng)該讓學(xué)生在圖上找出來，再借助信息技術(shù)，把對于過程表達(dá)出來！〔3〕從所給的圖中能答復(fù)“2002年對應(yīng)的臭氧空洞面積是多少〞嗎？〔4〕這是一個函數(shù)，有解析式嗎？如果讓你表示(biǎoshì)出這個函數(shù)，你會怎么做？把這個圖搬出來嗎？——符號意識，s=f(t)呼之欲出。58第五十八頁，共91頁。恩格爾系數(shù)變化(biànhuà)表時間（年）9192939495969798990001恩格爾系數(shù)(%)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.959第五十九頁，共91頁?！?〕這個表格中，時間的變化范圍是什么？能不能用[1991,2001]表示？恩格爾系數(shù)的變化范圍是什么？〔可以是[0.37,0.54]，其實(shí)是〔0,1〕〕〔2〕由這個表格，能判斷恩格爾系數(shù)是不是年份的函數(shù)？你能說清楚(qīngchu)到底是怎么對應(yīng)的嗎？〔3〕由這個表格，能得到2002年的恩格爾系數(shù)嗎？〔4〕這是一個函數(shù)，有解析式嗎？如果讓你表示出這個函數(shù)，你會怎么做？把這個表搬出來嗎？——符號意識，設(shè)恩格爾系數(shù)為w，年份為t，w=f(t)呼之欲出。60第六十頁，共91頁。歸納共同(gòngtóng)特征它們都是函數(shù)，有什么共同特征？——數(shù)集A，B，一個對應(yīng)關(guān)系；對應(yīng)關(guān)系的表示形式不同〔解析式、圖、表〕，但本質(zhì)一樣：對于集合A中任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一一個數(shù)與之對應(yīng)。怎樣(zěnyàng)簡捷地表示出來？——用符號化表達(dá)是數(shù)學(xué)的智慧，數(shù)學(xué)家是這么做的：f：A→Bx→y=f(x)61第六十一頁，共91頁。如何(rúhé)辨析概念

62第六十二頁，共91頁。還可以讓學(xué)生(xuésheng)根據(jù)解析式構(gòu)建實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題，如：〔1〕y=x2，x∈R——任意一個實(shí)數(shù)對應(yīng)于它的平方；〔2〕y=x2，x∈(0,10]——正方形的邊長x對應(yīng)于它的面積；〔3〕y=x(10－x)，x∈(0,10]——長方形的邊長之和為20，一邊長x對應(yīng)于它的面積；……63第六十三頁，共91頁。從函數(shù)(hánshù)到三角函數(shù)(hánshù)課標(biāo)要求：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義。教學(xué)設(shè)計(jì)要求：在“函數(shù)是描述客觀世界中變量(biànliàng)關(guān)系和變化規(guī)律的最重要數(shù)學(xué)模型〞的觀念下，表達(dá)用函數(shù)描述周期運(yùn)動現(xiàn)象、建立三角函數(shù)模型的完整過程，使學(xué)生理解三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的特征。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。64第六十四頁，共91頁?！惨弧橙呛瘮?shù)開展(kāizhǎn)史概述三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中應(yīng)運(yùn)而生，到托勒密出版?數(shù)學(xué)匯編?，希臘三角術(shù)及在天文學(xué)上的應(yīng)用到達(dá)頂峰。這部著作中有大量三角恒等變形問題，包括和〔差〕角公式、和差化積公式等，證明采用了初等幾何方法。三角學(xué)的開展與天文學(xué)相互交織，且效勞(xiàoláo)于天文學(xué)。到十六世紀(jì)，三角學(xué)開始從天文學(xué)里別離出來，并成為數(shù)學(xué)的一個分支。65第六十五頁，共91頁。為了應(yīng)付航海、天文、測量等實(shí)踐之需，制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究的核心(héxīn)工作。因?yàn)樵谥谱鬟^程中需要大量的三角恒等變形，所以三角恒等變形問題占據(jù)了重要地位。隨著對數(shù)的創(chuàng)造，特別是微積分的創(chuàng)立，三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉，繁雜的三角恒等變形不再需要，曾經(jīng)重要的三角公式也風(fēng)光不再。66第六十六頁，共91頁?！捕橙呛瘮?shù)(sānjiǎhánshù)課程的與時俱進(jìn)從應(yīng)用(yìngyòng)的角度看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位，因?yàn)椤叭呛瘮?shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非常重要，最重要的是它與振動和波動的聯(lián)系，可以說，它幾乎是全部高科技的根底之一〞。在建立三角函數(shù)的根本概念、認(rèn)識它的根本性質(zhì)的根底上，對y=Asin(ωx+φ)的研究很重要，實(shí)用且有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。67第六十七頁，共91頁。“正弦(zhèngxián)、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運(yùn)動，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為根本和重要的函數(shù)；而正弦(zhèngxián)、余弦函數(shù)的根本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)〔主要是其對稱性〕的直接反映。〞所以，要充分發(fā)揮單位圓的作用，借助單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的所有內(nèi)容，這有利于提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化、直觀想象能力。68第六十八頁，共91頁。在思想、方法上，要強(qiáng)調(diào)函數(shù)(hánshù)的變換〔映射〕與坐標(biāo)系的變換及其關(guān)系、對稱性與不變性等數(shù)學(xué)的主流思想和方法——有些放正文，有些可以作為拓展。這樣認(rèn)識和處理內(nèi)容，表達(dá)了三角函數(shù)(hánshù)性質(zhì)的整體性，可以更充分地發(fā)揮三角函數(shù)(hánshù)在培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的作用。69第六十九頁，共91頁。要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)與向量、復(fù)數(shù)、解析幾何等的聯(lián)系與綜合，這可以通過(tōngguò)加強(qiáng)三角函數(shù)在后續(xù)相關(guān)內(nèi)容中的應(yīng)用來表達(dá)，也可以通過(tōngguò)用向量、復(fù)數(shù)的方法重新推導(dǎo)三角變換公式等來實(shí)現(xiàn)?？傊?，定義三角函數(shù)的最好方式是利用直角坐標(biāo)系中的單位圓。抓住三角函數(shù)作為刻畫勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型，這就真正抓住了要領(lǐng)，就能以簡馭繁。70第七十頁，共91頁?！踩痴n標(biāo)對三角函數(shù)(sānjiǎhánshù)的定位三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù)。整體要求：借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性；能夠用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、對稱性、單調(diào)性和最值等性質(zhì)(xìngzhì)；能夠探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系；能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。提升數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象和運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)建模能力。71第七十一頁，共91頁。加強(qiáng)單位圓的作用，進(jìn)一步突出主線和核心概念；表達(dá)(biǎodá)研究一個數(shù)學(xué)對象的內(nèi)容、過程和方法：概念——圖像、根本性質(zhì)〔直接由定義推出，要素的關(guān)系〕——其他性質(zhì)〔聯(lián)系層面〕——應(yīng)用〔把y=Asin(ωx+φ)作為應(yīng)用、建模的結(jié)果〕。72第七十二頁，共91頁?！菜摹硨W(xué)生認(rèn)知(rènzhī)分析認(rèn)知根底(gēndǐ)：學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念、表示與性質(zhì)等，掌握了研究函數(shù)的一般方法，通過冪、指、對函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了研究一類函數(shù)的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、過程與方法。這些函數(shù)的一個共同特點(diǎn)是它們的表達(dá)式都是代數(shù)式，是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映。學(xué)生在平面幾何中學(xué)習(xí)了圓的知識，對圓的幾何性質(zhì)有一定的掌握，但對“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性〞強(qiáng)調(diào)不夠。73第七十三頁，共91頁。學(xué)習(xí)(xuéxí)困難分析三角函數(shù)不以“代數(shù)運(yùn)算〞為媒介，是幾何量〔角與有向線段〕之間的直接對應(yīng)，不是通過對α計(jì)算得到函數(shù)值，這是一個復(fù)雜、不良結(jié)構(gòu)情境，是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。在“對應(yīng)關(guān)系〞的認(rèn)識上必須采取措施破除(pòchú)定勢，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的“三要素〞，特別是要在落實(shí)“給定一個角，如何得到對應(yīng)的函數(shù)值〞的操作過程的根底上再給定義。74第七十四頁，共91頁。三角函數(shù)的性質(zhì)與以往不同，主要表現(xiàn)在豐富的對稱性上；以單位圓為媒介而建立起性質(zhì)之間的豐富關(guān)聯(lián)，例如(lìrú)，由定義直接推出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系；結(jié)合單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動及其坐標(biāo)的變化規(guī)律〔非常直觀〕，由定義可直接推出單調(diào)性、周期性。75第七十五頁，共91頁。

76第七十六頁，共91頁。〔五〕三角函數(shù)(sānjiǎhánshù)的定義研究對象的獲得，從事實(shí)到概念。注重?cái)?shù)學(xué)化的過程，通過數(shù)學(xué)抽象，從勻速圓周運(yùn)動到單位圓上點(diǎn)以單位速率運(yùn)動時運(yùn)動規(guī)律的刻畫。概念及其表示，注重認(rèn)知過程的完整性，認(rèn)真解決四個問題(wèntí)：〔1〕函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？刻畫了哪類運(yùn)動變化現(xiàn)象？〔2〕決定這類運(yùn)動變化現(xiàn)象的要素是什么？〔3〕要素之間的依賴關(guān)系是什么？〔4〕可以用什么數(shù)學(xué)模型來刻畫？77第七十七頁，共91頁。通過對運(yùn)動過程涉及的量及其關(guān)系的分析，析出點(diǎn)的坐標(biāo)隨任意角的變化而變化的規(guī)律(guīlǜ)；數(shù)與形的表示；與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系〔在銳角范圍內(nèi)的一致性〕。78第七十八頁，共91頁。六、理解(lǐjiě)教學(xué)——教之道在于“度〞道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)。為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，必須讓學(xué)生有實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，概念是思維的細(xì)胞，數(shù)學(xué)思維更是用概念思維，因此數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思維能力的最正確載體．從數(shù)學(xué)知識發(fā)生開展、自然拓展過程，數(shù)學(xué)性質(zhì)的合理猜測與論證過程出發(fā)，通過適當(dāng)(shìdàng)的問題引領(lǐng)，就能實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)。79第七十九頁，共91頁。具體(jùtǐ)怎么做？加強(qiáng)一般觀念〔bigidea〕的指導(dǎo)作用，提升思想性。通過(tōngguò)具體事例的歸納概括，特別是讓學(xué)生自主、探究、交流，給學(xué)生表達(dá)的時機(jī)，從表達(dá)中把握學(xué)生的思維過程，捕捉生成性教學(xué)資源，并用“你是怎么想的？〞“你是怎么想到的？〞“能把你的想法說得更清楚一些嗎？〞等促進(jìn)思考，逐步培養(yǎng)學(xué)生用概念解釋數(shù)學(xué)對象、通過(tōngguò)歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力與習(xí)慣，是促使學(xué)生深層次參與課堂教學(xué)的有力舉措．要把實(shí)質(zhì)性的歸納時機(jī)留給學(xué)生，例如具體實(shí)例共同特征的歸納就應(yīng)該讓學(xué)生完成．80第八十頁，共91頁。二項(xiàng)式定理(dìnglǐ