概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)完整公式以與各知識(shí)點(diǎn)梳理

..概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)完整版公式第1章隨機(jī)事件及其概率〔1排列組合公式從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)?！?加法和乘法原理加法原理〔兩種方法均能完成此事：m+n某件事由兩種方法來完成,第一種方法可由m種方法完成,第二種方法可由n種方法來完成,則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理〔兩個(gè)步驟分別不能完成這件事：m×n某件事由兩個(gè)步驟來完成,第一個(gè)步驟可由m種方法完成,第二個(gè)步驟可由n種方法來完成,則這件事可由m×n種方法來完成?！?一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列〔有序?qū)α⑹录仓辽儆幸粋€(gè)順序問題〔4隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行,而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果,則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件?！?基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下,不管事件有多少個(gè),總可以從其中找出這樣一組事件,它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn),必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；②任何事件,都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件,用來表示?；臼录娜w,稱為試驗(yàn)的樣本空間,用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)〔基本事件組成的集合。通常用大寫字母A,B,C,…表示事件,它們是的子集。為必然事件,?為不可能事件。不可能事件〔?的概率為零,而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理,必然事件〔Ω的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件?！?事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分,〔A發(fā)生必有事件B發(fā)生：如果同時(shí)有,,則稱事件A與事件B等價(jià),或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件,稱為A與B的差,記為A-B,也可表示為A-AB或者,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB,或者AB。AB=?,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生,稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。-A稱為事件A的逆事件,或稱A的對立事件,記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＂谶\(yùn)算：結(jié)合率：A<BC>=<AB>CA∪<B∪C>=<A∪B>∪C分配率：<AB>∪C=<A∪C>∩<B∪C><A∪B>∩C=<AC>∪<BC>德摩根率：,〔7概率的公理化定義設(shè)為樣本空間,為事件,對每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P<A>,若滿足下列三個(gè)條件：1°0≤P<A>≤1,2°P<Ω>=13°對于兩兩互不相容的事件,,…有常稱為可列〔完全可加性。則稱P<A>為事件的概率?！?古典概型1°,2°。設(shè)任一事件,它是由組成的,則有P<A>==〔9幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻,同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述,則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對任一事件A,。其中L為幾何度量〔長度、面積、體積。〔10加法公式P<A+B>=P<A>+P<B>-P<AB>當(dāng)P<AB>＝0時(shí),P<A+B>=P<A>+P<B>〔11減法公式P<A-B>=P<A>-P<AB>當(dāng)BA時(shí),P<A-B>=P<A>-P<B>當(dāng)A=Ω時(shí),P<>=1-P<B>〔12條件概率定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件,且P<A>>0,則稱為事件A發(fā)生條件下,事件B發(fā)生的條件概率,記為。條件概率是概率的一種,所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P<Ω/B>=1P</A>=1-P<B/A>〔13乘法公式乘法公式：更一般地,對事件A1,A2,…An,若P<A1A2…An-1>>0…………。〔14獨(dú)立性①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足,則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立,且,則有若事件、相互獨(dú)立,則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件,如果滿足兩兩獨(dú)立的條件,P<AB>=P<A>P<B>；P<BC>=P<B>P<C>；P<CA>=P<C>P<A>并且同時(shí)滿足P<ABC>=P<A>P<B>P<C>那么A、B、C相互獨(dú)立。對于n個(gè)事件類似?！?5全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容,,2°,則有?！?6貝葉斯公式設(shè)事件,,…,及滿足1°,,…,兩兩互不相容,>0,1,2,…,,2°,,則,i=1,2,…n。此公式即為貝葉斯公式。,〔,,…,,通常叫先驗(yàn)概率。,〔,,…,,通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了"因果"的概率規(guī)律,并作出了"由果朔因"的推斷?！?7伯努利概型我們作了次試驗(yàn),且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果,發(fā)生或不發(fā)生；次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的,即發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的,即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型,或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率,則發(fā)生的概率為,用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率,,。第二章隨機(jī)變量及其分布〔1離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk<k=1,2,…>且取各個(gè)值的概率,即事件<X=Xk>的概率為P<X=xk>=pk,k=1,2,…,則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：〔1,,〔2。〔2連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù),若存在非負(fù)函數(shù),對任意實(shí)數(shù),有,則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù),簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1°。2°?！?離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。〔4分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量,是任意實(shí)數(shù),則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)?？梢缘玫絏落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間〔–∞,x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°；2°是單調(diào)不減的函數(shù),即時(shí),有；3°,；4°,即是右連續(xù)的；5°。對于離散型隨機(jī)變量,；對于連續(xù)型隨機(jī)變量,?！?八大分布0-1分布P<X=1>=p,P<X=0>=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中,設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量,設(shè)為,則可能取值為。,其中,則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí),,,這就是〔0-1分布,所以〔0-1分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為,,,則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布,記為或者P<>。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布〔np=λ,n→∞。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布,記為H<n,N,M>。幾何分布,其中p≥0,q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布,記為G<p>。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a,b]內(nèi),其密度函數(shù)在[a,b]上為常數(shù),即

a≤xa≤x≤b則稱隨機(jī)變量在[a,b]上服從均勻分布,記為X~U<a,b>。分布函數(shù)為

a≤x≤a≤x≤b0,x<a,

1,1,x>b。

當(dāng)a≤x1<x2≤b時(shí),X落在區(qū)間〔內(nèi)的概率為。指數(shù)分布,

0,,0,,

其中,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為,x<0。x<0。

記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,,其中、為常數(shù),則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯〔Gauss分布,記為。具有如下性質(zhì)：1°的圖形是關(guān)于對稱的；2°當(dāng)時(shí),為最大值；若,則的分布函數(shù)為。。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為,其密度函數(shù)記為,,分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù),其函數(shù)值,已編制成表可供查用。Φ<-x>＝1-Φ<x>且Φ<0>＝。如果~,則~。?！?分位數(shù)下分位表：；上分位表：。〔7函數(shù)分布離散型已知的分布列為

,的分布列〔互不相等如下：,若有某些相等,則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX<x>寫出Y的分布函數(shù)FY<y>＝P<g<X>≤y>,再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY<y>。第三章二維隨機(jī)變量及其分布〔1聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量〔X,Y的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Α瞲,y,則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)=〔X,Y的所有可能取值為,且事件{=}的概率為pij,,稱為=〔X,Y的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來表示：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1……這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：〔1pij≥0〔i,j=1,2,…；〔2連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量,如果存在非負(fù)函數(shù),使對任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D={<X,Y>|a<x<b,c<y<d}有則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f<x,y>為=〔X,Y的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。 分布密度f<x,y>具有下面兩個(gè)性質(zhì)：f<x,y>≥0;〔2〔2二維隨機(jī)變量的本質(zhì)〔3聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)〔X,Y為二維隨機(jī)變量,對于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量〔X,Y的分布函數(shù),或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域,以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F<x,y>具有以下的基本性質(zhì)：〔1〔2F〔x,y分別對x和y是非減的,即當(dāng)x2>x1時(shí),有F〔x2,y≥F<x1,y>;當(dāng)y2>y1時(shí),有F<x,y2>≥F<x,y1>;〔3F〔x,y分別對x和y是右連續(xù)的,即〔4〔5對于.〔4離散型與連續(xù)型的關(guān)系〔5邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為〔6條件分布離散型在已知X=xi的條件下,Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下,X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下,X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下,Y的條件分布密度為〔7獨(dú)立性一般型F<X,Y>=FX<x>FY<y>離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f<x,y>=fX<x>fY<y>直接判斷,充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布＝0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立,h,g為連續(xù)函數(shù),則：h〔X1,X2,…Xm和g〔Xm+1,…Xn相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立,則：h〔X和g〔Y獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立,則：3X+1和5Y-2獨(dú)立?！?二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量〔X,Y的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積,則稱〔X,Y服從D上的均勻分布,記為〔X,Y～U〔D?！?二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量〔X,Y的分布密度函數(shù)為其中是5個(gè)參數(shù),則稱〔X,Y服從二維正態(tài)分布,記為〔X,Y～N〔由邊緣密度的計(jì)算公式,可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布,即X～N〔但是若X～N〔,<X,Y>未必是二維正態(tài)分布?！?0函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：對于連續(xù)型,fZ<z>＝兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布〔。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合,仍服從正態(tài)分布。,Z=max,min<X1,X2,…Xn>若相互獨(dú)立,其分布函數(shù)分別為,則Z=max,min<X1,X2,…Xn>的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布,記為W～,其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù),它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布,記為T～t<n>。F分布設(shè),且X與Y獨(dú)立,可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為n1,第二個(gè)自由度為n2的F分布,記為F～f<n1,n2>.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征〔1一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,其分布律為P<>＝pk,k=1,2,…,n,〔要求絕對收斂設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f<x>,〔要求絕對收斂函數(shù)的期望Y=g<X>Y=g<X>方差D<X>=E[X-E<X>]2,標(biāo)準(zhǔn)差,矩①對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩,記為vk,即νk=E<Xk>=,k=1,2,….②對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E〔X差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩,記為,即=,k=1,2,….①對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩,記為vk,即νk=E<Xk>=k=1,2,….②對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E〔X差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩,記為,即=k=1,2,….切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E〔X=μ,方差D〔X=σ2,則對于任意正數(shù)ε,有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下,對概率的一種估計(jì),它在理論上有重要意義?！?期望的性質(zhì)E<C>=CE<CX>=CE<X>E<X+Y>=E<X>+E<Y>,E<XY>=E<X>E<Y>,充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。〔3方差的性質(zhì)D<C>=0；E<C>=CD<aX>=a2D<X>；E<aX>=aE<X>D<aX+b>=a2D<X>；E<aX+b>=aE<X>+bD<X>=E<X2>-E2<X>D<X±Y>=D<X>+D<Y>,充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D<X±Y>=D<X>+D<Y>±2E[<X-E<X>><Y-E<Y>>],無條件成立。而E<X+Y>=E<X>+E<Y>,無條件成立?！?常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0<n>2>〔5二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望＝＝方差協(xié)方差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩,記為,即與記號(hào)相對應(yīng),X與Y的方差D〔X與D〔Y也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y,如果D〔X>0,D<Y>>0,則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù),記作〔有時(shí)可簡記為。 ||≤1,當(dāng)||=1時(shí),稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時(shí),稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：①；②cov<X,Y>=0;③E<XY>=E<X>E<Y>;④D<X+Y>=D<X>+D<Y>;⑤D<X-Y>=D<X>+D<Y>.協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機(jī)變量X與Y,如果有存在,則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩,記為；k+l階混合中心矩記為：〔6協(xié)方差的性質(zhì)cov<X,Y>=cov<Y,X>;cov<aX,bY>=abcov<X,Y>;cov<X1+X2,Y>=cov<X1,Y>+cov<X2,Y>;cov<X,Y>=E<XY>-E<X>E<Y>.〔7獨(dú)立和不相關(guān)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則；反之不真。若〔X,Y～N〔,則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理〔1大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…相互獨(dú)立,均具有有限方差,且被同一常數(shù)C所界：D〔Xi<C<i=1,2,…>,則對于任意的正數(shù)ε,有 特殊情形：若X1,X2,…具有相同的數(shù)學(xué)期望E〔XI=μ,則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)μ是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則對于任意的正數(shù)ε,有 伯努利大數(shù)定律說明,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí),事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小,即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1,X2,…,Xn,…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且E〔Xn=μ,則對于任意的正數(shù)ε有〔2中心極限定理列維－林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：,則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn<x>對任意的實(shí)數(shù)x,有此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量為具有參數(shù)n,p<0<p<1>的二項(xiàng)分布,則對于任意實(shí)數(shù)x,有〔3二項(xiàng)定理若當(dāng),則超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布?！?泊松定理若當(dāng),則其中k=0,1,2,…,n,…。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布〔1數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,常把被考察對象的某一個(gè)〔或多個(gè)指標(biāo)的全體稱為總體〔或母體。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量〔或隨機(jī)向量。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品〔或個(gè)體。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量,一般用n表示。在一般情況下,總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量,這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí),表示n個(gè)隨機(jī)變量〔樣本；在具體的一次抽取之后,表示n個(gè)具體的數(shù)值〔樣本值。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)為總體的一個(gè)樣本,稱〔為樣本函數(shù),其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù),則稱〔為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分,〔A發(fā)生必有事件B發(fā)生：如果同時(shí)有,,則稱事件A與事件B等價(jià),或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件,稱為A與B的差,記為A-B,也可表示為A-AB或者,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB,或者AB。AB=?,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生,稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件,或稱A的對立事件,記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＂谶\(yùn)算：結(jié)合率：A<BC>=<AB>CA∪<B∪C>=<A∪B>∪C分配率：<AB>∪C=<A∪C>∩<B∪C><A∪B>∩C=<AC>∪<BC>德摩根率：,〔2正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)為樣本空間,為事件,對每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P<A>,若滿足下列三個(gè)條件：1°0≤P<A>≤1,2°P<Ω>=13°對于兩兩互不相容的事件,,…有常稱為可列〔完全可加性。則稱P<A>為事件的概率。t分布1°,2°。設(shè)任一事件,它是由組成的,則有P<A>==若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻,同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述,則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對任一事件A,。其中L為幾何度量〔長度、面積、體積。F分布P<A+B>=P<A>+P<B>-P<AB>當(dāng)P<AB>＝0時(shí),P<A+B>=P<A>+P<B>〔3正態(tài)總體下分布的性質(zhì)P<A-B>=P<A>-P<AB>當(dāng)BA時(shí),P<A-B>=P<A>-P<B>當(dāng)A=Ω時(shí),P<>=1-P<B>第七章參數(shù)估計(jì)〔1點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù),則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù),即。又設(shè)為總體X的n個(gè)樣本值,其樣本的k階原點(diǎn)矩為這樣,我們按照"當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí),總體矩等于相應(yīng)的樣本矩"的原則建立方程,即有由上面的m個(gè)方程中,解出的m個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù)〔的矩估計(jì)量。若為的矩估計(jì),為連續(xù)函數(shù),則為的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí),設(shè)其分布密度為,其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個(gè)樣本,稱為樣本的似然函數(shù),簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí),設(shè)其分布律為,則稱為樣本的似然函數(shù)。 若似然函數(shù)在處取到最大值,則稱分別為的最大似然估計(jì)值,相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。若為的極大似然估計(jì),為單調(diào)函數(shù),則為的極大似然估計(jì)。〔2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無偏性設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E〔=,則稱為的無偏估計(jì)量。E〔=E〔X,E〔S2=D〔X有效性設(shè)和是未知參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若,則稱有效。一致性設(shè)是的一串估計(jì)量,如果對于任意的正數(shù),都有則稱為的一致估計(jì)量〔或相合估計(jì)量。若為的無偏估計(jì),且則為的一致估計(jì)。只要總體的E<X>和D<X>存在,一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。〔3區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā),找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量與,使得區(qū)間以的概率包含這個(gè)待估參數(shù),即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間,為該區(qū)間的置信度〔或置信水平。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計(jì)設(shè)為總體的一個(gè)樣本,在置信度為下,我們來確定的置信區(qū)間。具體步驟如下：〔i選擇樣本函數(shù)；〔ii由置信度,