波函數(shù)和薛定諤方程-力學(xué)量算符

-.z.波函數(shù)和薛定諤方程-力學(xué)量算符1．一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在的狀態(tài)，其中，求：〔1〕粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；〔2〕粒子動(dòng)量的平均值。[解]首先將歸一化，求歸一化系數(shù)A?！?〕動(dòng)量的幾率分布函數(shù)是注意到中的時(shí)間只起參數(shù)作用，對(duì)幾率分布無(wú)影響，因此可有令代入上式得〔2〕動(dòng)量p的平均值的結(jié)果從物理上看是顯然的，因?yàn)閷?duì)此題說(shuō)來(lái)，粒子動(dòng)量是和是的幾率是一樣的。討論：①一維的傅里葉變換的系數(shù)是而不是。②傅里葉變換式中的t可看成參變量。因此，當(dāng)原來(lái)坐標(biāo)空間的波函數(shù)不含時(shí)間變量時(shí)，即相當(dāng)于的情況，變換式的形式保持不變。③不難證明，假設(shè)是歸一化的，則經(jīng)傅里葉變換得到也是歸一化的。2．設(shè)在時(shí)，粒子的狀態(tài)為求粒子動(dòng)量的平均值和粒子動(dòng)能的平均值。[解]方法一：根據(jù)態(tài)迭加原理和波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋。任意狀態(tài)總可以分解為單色平面波的線性和，即，展開(kāi)式的系數(shù)表示粒子的動(dòng)量為p時(shí)的幾率。知道了幾率分布函數(shù)后，就可按照求平均值。在時(shí)，動(dòng)量有一定值的函數(shù)，即單色德布羅意平面波為，與的展開(kāi)式比擬可知，處在狀態(tài)的粒子動(dòng)量可以取，而，粒子動(dòng)量的平均值為A可由歸一化條件確定故粒子動(dòng)能的平均值為。方法二：直接積分法根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，只有當(dāng)函數(shù)的宗量等于零時(shí)，函數(shù)方不為零，故的可能值有而則有及。討論：①由于單色德布羅意平面波當(dāng)時(shí)不趨于零，因此的歸一化積分是發(fā)散的，故采用動(dòng)量幾率分布的概念來(lái)求歸一化系數(shù)。②此題的不是平方可積的函數(shù)，因此不能作傅氏積分展開(kāi)，只能作傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)，即這時(shí)對(duì)應(yīng)于波函數(shù)的是分立譜而不是連續(xù)譜，因此計(jì)算積分，得到函數(shù)。③在連續(xù)譜函數(shù)還未熟練以前，建議教學(xué)時(shí)只引導(dǎo)學(xué)生按方法一做，在第三章函數(shù)講授后再用函數(shù)做一遍，比照一下，熟悉一下函數(shù)的運(yùn)算。3．一維諧振子處在的狀態(tài)，求：〔1〕勢(shì)能的平均值；〔2〕動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；〔3〕動(dòng)能的平均值[解]先檢驗(yàn)是否歸一化。是歸一化的?！?〕.其中應(yīng)用及〔2〕由于是平方可積的，因此可作傅氏變換求動(dòng)量幾率分布函數(shù)其中，〔3〕其中由此得出結(jié)論，對(duì)于處在基態(tài)的諧振子來(lái)說(shuō)，動(dòng)能的平均值和勢(shì)能的平均值相等。4．求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。[解]一維諧振子的波函數(shù)為式中為厄密多項(xiàng)式。對(duì)于第一激發(fā)態(tài)故處在第一激發(fā)態(tài)的幾率正比于欲求其最大值，必須滿足即有討論：①在處有極值，這是由于一維諧振子的波函數(shù)本來(lái)就是對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的緣故，這從物理上看是很清楚的，當(dāng)及時(shí)，幾率，故和幾率的關(guān)系大致如圖示。②假設(shè)過(guò)渡到經(jīng)典情況，相當(dāng)于，這時(shí)。這在經(jīng)典力學(xué)看來(lái)是完全合理的，因?yàn)閺慕?jīng)典的觀點(diǎn)來(lái)看，諧振子處在原點(diǎn)幾率最大，因?yàn)樘幵谠c(diǎn)能量最低。5．設(shè)氫原子處在的態(tài)，為玻爾半徑，求〔1〕r的平均值；〔2〕勢(shì)能的平均值；〔3〕動(dòng)量幾率分布函數(shù)。[解]先檢驗(yàn)是否歸一化。這說(shuō)明是歸一化的?！?〕〔2〕這個(gè)結(jié)果和舊量子論中，氫原子的電子沿波爾半徑所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的庫(kù)侖能一致。〔3〕選用球坐標(biāo)，且使y軸與的方向一致，則有其中令，且應(yīng)用了再令則6．粒子在勢(shì)能為的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，證明對(duì)于能量的狀態(tài)，能量由關(guān)系式?jīng)Q定，其中[解]勢(shì)能與坐標(biāo)的關(guān)系如圖示，按值的不同可分為三個(gè)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。分別應(yīng)用薛定諤方程，有Ⅰ：，其中：Ⅱ：其中：Ⅲ：其中：它們的解分別為，邊界條件：當(dāng)；則當(dāng)，；則連接條件〔波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件〕在處，在處，在處，在處，在上面四個(gè)式子，由第一和第三式可得由第二和第四式可得而故其中令于是有由，得由可得討論：①對(duì)于束縛態(tài)的問(wèn)題，我們總是先按不同的要求寫(xiě)出薛定諤方程，求出解。然后再利用邊界條件和波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件定解。這種方法具有一般性。②把Ⅰ、Ⅲ兩區(qū)域的解寫(xiě)成指數(shù)形式，是因?yàn)槟軌蚶眠吔鐥l件把兩個(gè)任何常數(shù)的問(wèn)題變?yōu)橹挥幸粋€(gè)任意常數(shù)的問(wèn)題。而在區(qū)域Ⅱ中沒(méi)有邊界條件。又因所要求的結(jié)果具反三角函數(shù)的形式，因此把Ⅱ的解寫(xiě)成三角函數(shù)的形式。原則上，寫(xiě)面指數(shù)或三角函數(shù)形式是任意的，假設(shè)選擇得當(dāng)，往往可使問(wèn)題的求解較為簡(jiǎn)捷。7．粒子處在勢(shì)能為的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求在能量小于的情況下決定粒子能量的關(guān)系式。[解]對(duì)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別有Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：其解分別為邊界條件：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；于是連接條件：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，上列四式可重寫(xiě)為齊次方程式為下：這個(gè)方程組要得到非零解，必須其系數(shù)行列式為零，故有解之得它與三式?jīng)Q定粒子的能量。8．求三維諧振子的能級(jí)，并討論它的簡(jiǎn)并情形。[解]三維諧振子的哈密頓為其中如果哈密頓可以別離變量，就必然有及因此可以設(shè)定薛定諤方程的解為且則有兩邊均除以得：要上式兩邊相等，必須今、、三份分別相等，亦即故有它們分別為沿、、方向的線諧振子方程，它們的能量分別為因此三維諧振子的能量為其中為正整數(shù)。由N確定后，由于可以有不同的組合，因此就對(duì)應(yīng)于不同的狀態(tài)，這就是簡(jiǎn)并。簡(jiǎn)并的重?cái)?shù)可以決定如下：當(dāng)時(shí)，可取，故有個(gè)可能值。當(dāng)時(shí)，可取，有個(gè)可能值?！?dāng)時(shí)，只能取0，即只有一個(gè)可能值。當(dāng)和都確定后，由于的限制，也確定了，因此并不增加不同組合的數(shù)目。故N確定以后，、、的可能組合數(shù)目，即簡(jiǎn)并重?cái)?shù)為討論：①假設(shè)哈密頓本身可以別離變量，總可以有及。這個(gè)結(jié)論是具有普遍性的。只要注意到我們?cè)谧C明這個(gè)結(jié)論時(shí)并沒(méi)有涉及諧振子的哈密頓的具體形式，就能夠看出這一點(diǎn)。②以上討論假定了諧振子在三個(gè)方向的頻率一樣。一般地說(shuō)，各方向的頻率是可以不同的，對(duì)此，我們也可以用完全類(lèi)似的方法來(lái)討論。9．一粒子在三維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能量和波函數(shù)。[解]我們先來(lái)證明一個(gè)一般的結(jié)論：假設(shè)哈密頓可寫(xiě)成、、之和，即則所對(duì)應(yīng)的本征能量為波函數(shù)為其中、、；、、分別滿足一維薛定諤方程〔1〕〔2〕〔3〕把上面三式寫(xiě)成〔1〕′〔2〕′〔3〕′〔1〕′式乘；〔2〕′式乘；〔3〕′式乘；然后三式相加得到：即這就是我們所要證明的結(jié)論。于是我們就把一個(gè)解三維的薛定諤方程的問(wèn)題歸結(jié)為求解三個(gè)一維薛定諤方程的問(wèn)題。只要求得、和以有、和，就不難求出和。對(duì)于方向的薛定諤方程〔1〕′，相當(dāng)于求解一維無(wú)限深勢(shì)阱下粒子的能量和波函數(shù)。利用教材§10的結(jié)論，把〔10—26〕、〔10—27〕和〔10—28〕式中的用a來(lái)代替，可得到〔n是整數(shù)〕對(duì)于y方向的薛定諤方程〔2〕′，同理有〔m是整數(shù)〕對(duì)于方向的薛定諤方程，由于，這說(shuō)明粒子在方向可以自由運(yùn)動(dòng)，其解為平面波解，即有是連續(xù)譜因此則有以下幾種可能當(dāng)，時(shí)討論：假設(shè)勢(shì)阱寬度仍為a和b，但區(qū)間是由，不難證明，這時(shí)E仍如上式所示，但波函數(shù)只有一種，為式中、均為整數(shù)。10．設(shè)在附近運(yùn)動(dòng)的粒子受到彈性力作用，相應(yīng)的勢(shì)能是，滿足對(duì)應(yīng)于這個(gè)勢(shì)能的薛定諤方程的波函數(shù)是，其中；是n級(jí)厄密多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，；；；〔1〕試由薛定諤方程計(jì)算相應(yīng)于本征函數(shù)的本征能量；〔2〕利用公式求時(shí)的平均勢(shì)能〔3〕求時(shí)的平均動(dòng)能。[解]〔1〕本征能量由定態(tài)薛定諤方程決定?！瞐〕求：有而代入薛定諤方程得〔b〕故〔c〕〔d〕同理可得依此類(lèi)推可得：〔2〕求平均勢(shì)能〔a〕時(shí)，〔b〕，〔c〕，〔d〕〔3〕求平均動(dòng)能〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕討論：①通過(guò)此題可以看到，只要本征波函數(shù)和體系的哈密頓算符的形式，要求體系對(duì)應(yīng)于這些本征函數(shù)的本征能量，只需代入薛定諤方程通過(guò)微分運(yùn)算求出。因此解薛定諤方程求本征函數(shù)和本征能量E的困難，事實(shí)上何求本征函數(shù)上。一旦本征函數(shù)，本征能量就容易求出了。②事實(shí)上，受到彈性力作用的體系，相當(dāng)于一維諧振子，本征函數(shù)就是諧振子的本征函數(shù)，這只須取就可看出。因此算出的能量自然就是諧振子的本征能量，這和我們直接運(yùn)算得出的結(jié)果一致。③計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，對(duì)于在彈性力作用的體系〔一維諧振子〕算出的勢(shì)能平均值總是等于總能量的一半，不管處在哪個(gè)能級(jí)，都有一樣的結(jié)論，即這從物理上看顯然是非常合理的。11．粒子在勢(shì)能的捧力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求能量，的情況下，粒子的能量和狀態(tài)。[解]徑向方程為當(dāng)時(shí)，方程簡(jiǎn)化為在處，波函數(shù)為，則有令，則方程變?yōu)榧从衅渲性谔?，令，則有其中解上面兩個(gè)方程得，故邊界條件：當(dāng)時(shí)，為有限，故于是當(dāng)時(shí)，為有限，故于是連接條件：當(dāng)時(shí)，于是，故解上面兩式消去和得故得此外，再注意到從上面兩式用圖解法求出和，從而確定粒子的能量。由及波函數(shù)的歸一化條件可以確定和，從而粒子狀態(tài)的波函數(shù)就可以確定。12．粒子在半徑為a，高為d的圓筒中運(yùn)動(dòng)，在筒內(nèi)的勢(shì)能為零，在筒壁和筒外勢(shì)能為無(wú)限大，求證：〔1〕粒子的波函數(shù)是其中是柱面坐標(biāo)，為m階貝塞爾函數(shù)的第個(gè)根?！?〕粒子的能量是[解]筒外勢(shì)能為無(wú)限大，故粒子在筒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程用圓柱坐標(biāo)表示為：用別離變量法，設(shè)代入上式，可以得到則有上面第一式的解為，其中利用邊界條件：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因而再令代入上面的第二式，可再別離變量得這第一式的解為其中現(xiàn)在令于是第二式改寫(xiě)為這是一個(gè)m階貝塞爾方程，其解為當(dāng)時(shí)，諾意曼函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，故令為m階貝塞爾函數(shù)的第t個(gè)根，則有綜合上面幾個(gè)式子，得到粒子的波函數(shù)為其中C可由歸一化條件決定。粒子的能量為13．設(shè)粒子在一維無(wú)限深阱中運(yùn)動(dòng)，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫(xiě)，求粒子能量的可能值和相應(yīng)的幾率。[解]一給無(wú)限深勢(shì)阱式中a為勢(shì)阱寬度。粒子具有一定能量的狀態(tài)為本征態(tài)，它滿足本征方程粒子在阱內(nèi)時(shí)有代入本征方程得其解為能量為任意狀態(tài)，可視為一系列本征態(tài)的線性迭加，亦即只要求出各個(gè)，就可以求出能量的各個(gè)可能值及相應(yīng)的幾率。方法一：此題的較簡(jiǎn)單，容易化為假設(shè)干正弦函數(shù)的迭加故，能量可能值，能量可能值方法二：一般方法因?yàn)橛捎谌呛瘮?shù)的正交性故即得及討論：比擬上面兩種方法可以看出，如果比擬簡(jiǎn)單，能夠較容易地把它展開(kāi)為本征函數(shù)的組合時(shí)，就可以不必利用比擬麻煩的積分方法求，但方法一只有在特殊情況下才能使用。14．在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫(xiě)，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量