第9章直線與圓的方程理科

2.（2013yAlOxxOyA(0,3，直線l:y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在yAlOx若圓心Cyx1A作圓C若圓CMMA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍3（2015 A2xy50或2xy5C2xy50或2xy5

B．2xy 0或2xy 5555D．2xy 0或2xy 5555223.解析設(shè)所求切線方程為2xyc0，依題意 2255所以所求切線的方程為2xy 0或2xy 0．故選55104兩直線位置關(guān)系的判定——1（2015 A2xy50或2xy5C2xy50或2xy5

B．2xy 0或2xy 5555D．2xy 0或2xy 555522解析設(shè)所求切線方程為2xyc0，依題意 2255所以所求切線的方程為2xy 0或2xy 0．故選55105

201413）已知直線axy20與圓心為C的圓x12ya24A,B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a 2.（2014216）Mx0,1，若在圓Ox2y21N使得OMN45，則x0的取值范圍 Px 3.（201416）如圖，圓O的半徑為1AP是圓MM到直線OPxfPx y

11111 4.（2014福建理6）直線lykx1與圓Ox2y21AB兩點(diǎn)，則"k11 A.充分而不必要條 B.必要而不充分條C.充分必要條 D.既不充分又不必要條5（2015 A2xy50或2xy5C2xy50或2xy5

B．2xy 0或2xy 5555D．2xy 0或2xy 555522解析設(shè)所求切線方程為2xyc0，依題意 2255所求切線的方程為2xy 0或2xy 0．故選556（2015mxy2m10mR相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 21212解析解法一（幾何意義：動(dòng)直線mxy2m10整理得mx2y10，21212從而r

，故標(biāo)準(zhǔn)方程為x12y22m2mm2mm22mm22

rd 111 mm

，當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，取1 2mm故標(biāo)準(zhǔn)方程為x11 2mm解法三（代數(shù)法判別式

rd

m2m2mm22mm2設(shè)t

，則t1

2mt10

2，即d的最大值 27（20152（BA的上方AB2圓C的方程 A任作一條直線與圓Ox2y21M①

；

2；

22 .（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)AB2

2)222（2）在(x1)2(y2

2)22x0

22cos2(sin2cos2(sin222cos2(sin2cos2(sin24222(21)4222(21)2(22(221

22

1，

122

1228（2015 122

66

B. C.

D.6解析由題意得6

321， 273，所以 1 1 4

AB66半徑為5，所以外接圓方程為(x1)2(y2)225，令x0，則有y 266

9（2015 20）已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1xy6x50 A，BABM的軌跡C是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線lyk(x4)與曲線Ck的取

x2y26x50得x32y24C的圓心坐標(biāo)為3011MxyMAB中點(diǎn)，即C1MAB，所以kC11

kAB1即 y1，所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為x

y2

x

3x3

由（2）M的軌跡是以C3,0r3EF（ 兩端點(diǎn)E525F525．又直線l:ykx4D40 3 3 k34 當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，由 3得k k2 k22 2522227

3

33

25又

，所以當(dāng)k

,

4 3

44 7直線l:ykx4與曲線C10（2015x52y2r2r0MMAB中點(diǎn)，若這樣的直線l4條，則r的取值范圍是

2,

2,1t1t 2.設(shè)直線lxtymy24ty4m0，16t216m0.M2t2m2t，則kk1m32t2.代入16t216m，可得3t21t1t 2.又由圓心到直線的距離等于半徑，可得dr

22t21t由0t23，可得r241t11.（2015重慶理8）已知直線l：xay10aR是圓C:x2y24x2y10的對稱軸.過點(diǎn)A4,a作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則AB（ 2A. D.2解析易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程Cx22y124，圓心O為2,1又因?yàn)橹本€lxay10242OA2得知a1242OA2OA

210,OB2,

612.（2016甲理4）圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為則a 3

4

3 解析x2y22x8y130x12y4243a2a4 1，解得a2a43 理3）l1:2xy10，l2:2xy10，則l1，l2的距離 2

解析由題意d

252511221122314.（2016丙理16）已知直線l:mxy3m 0與圓x233AB分別做lx軸交于CDAB3

A34解析解法一：根據(jù)直線與圓相交弦長3

AB r2d

3333

到直線l：mxy3m 的距離d

3因此直線ly

3x333

.所以直線l的傾斜角為

.如圖所示，過點(diǎn)C

CD

cos

cos

23 2yyBAE x3解法二：直線l：mxy3m 0，知直線l過定點(diǎn)A3,3，又AB 3所以△OAB為等邊三角形,A3,3，所以AOC

，又知AOB60,By軸上（l的斜率存在）.l的傾斜角為30.第2 圓的方106求圓的方程——1.（201412）若圓C1，其圓心與點(diǎn)10yx對稱，則圓 2（2015mxy2m10mR相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 21212解析解法一（幾何意義：動(dòng)直線mxy2m10整理得mx2y10，21212從而r

，故標(biāo)準(zhǔn)方程為x12y22m2mm2mm22mm22： 2111 mm

，當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，取1 2mm故標(biāo)準(zhǔn)方程為x11 2mm解法三（代數(shù)法判別式

rd

m2m2mm22mm2設(shè)t

，則t1

2mt10，因?yàn)閙R所以224t12…0，解得0

2，即d的最大值 23（20152（BA的上方AB2圓C的方程 A任作一條直線與圓Ox2y21MN①

；

2；

22AB2

2)222（2）在(x1)2(y2

2)22x0

22cos2(sin2cos2(sin222cos2(sin2cos2(sin24222(21)4222(21)2(22(221

22

1，

122

1224（2015 122

66

B. C.

D.6解析由題意得6

321， 273，所以 1 1 4

AB66半徑為5，所以外接圓方程為(x1)2(y2)225，令x0，則有y 266

107與圓有關(guān)的軌跡問題——1（2015

:x2y26x50A，BABM的軌跡C是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線lyk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的1.解析（1）

x2y26x50得x32y24C的圓心坐標(biāo)為3011MxyMAB中點(diǎn)，即C1MAB，所以kC11

kAB1即 y1，所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為x

y2

x

3x3

由（2）M的軌跡是以C3,0r3EF（ 兩端點(diǎn)E525F525．又直線l:ykx4D40 3 3 k34 當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，由 3得k k2 k22 2522227

3

33

25又

，所以當(dāng)k

,

4 3

44 7直線l:ykx4與曲線C題型 1（2015

兩點(diǎn)，與圓Cx52y2r2r0MMAB中點(diǎn)，若這樣的直線l4條，則r的取值范圍是

2,

2,解析設(shè)直線lxtymy24ty4m0 k1，即m32t 1t代入16t216m，可得3t20，即0t21t1t1t

22t21t2.由0t23，可得r241t2.第3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)108 理12）直線l1:yxa和l2:yxb將單位圓C:x2y21分成長度相等的四段弧，則a2b2 2.（2014江西理9）在平面直角坐標(biāo)系中，A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為（ A.4 B.3 C.625 D.5 3.（2014福建理6）直線lykx1與圓Ox2y21AB兩點(diǎn)，則"k11 A.充分而不必要條 B.必要而不充分條C.充分必要條 D.既不充分又不必要條4.（2014大綱理15）直線l1和l2是圓x2y22的兩條切線，若l1與l2的交點(diǎn)為1,3，則l1與l2的夾角的正切值等于 5（2015 5或

3或

5或

4或 解析由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)23設(shè)反射光線所在直線的斜率為ky3kx2，kxy2k30．由題意，圓心321，k2k23k22k即

1，所以12k225k120，解得k 或k ．故選 6（2015 A2xy50或2xy5C2xy50或2xy5

B．2xy 0或2xy 5555D．2xy 0或2xy 555522解析設(shè)所求切線方程為2xyc0，依題意 2255所以所求切線的方程為2xy 0或2xy 0．故選557（2015mxy2m10mR相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 21212解析解法一（幾何意義：動(dòng)直線mxy2m10整理得mx2y10，21212從而r

，故標(biāo)準(zhǔn)方程為x12y22m2mm2mm22mm22： 2111 mm

，當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，取1 2mm故標(biāo)準(zhǔn)方程為x11 2mm解法三（代數(shù)法判別式

rd

m2m2mm22mm2設(shè)t

，則t1

2mt10，因?yàn)閙R所以224t12…0，解得0

2，即d的最大值 28（20152（BA的上方AB2圓C的方程 A任作一條直線與圓Ox2y21M①

；

2；

22 .（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)AB2

2)222（2）在(x1)2(y2

2)22x0

22cos2(sin2cos2(sin222cos2(sin2cos2(sin24222(21)4222(21)2(22(221

22

1，

122

1229（2015 122

66

B. C.

D.6解析由題意得6

321， 273，所以 1 1 4

AB66半徑為5，所以外接圓方程為(x1)2(y2)225，令x0，則有y 266

10（2015 20）已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1xy6x50 ABABM的軌跡C是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線lyk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的

x2y26x50得x32y24C的圓心坐標(biāo)為3011MxyMAB中點(diǎn)，即C1MAB，所以kC11

kAB1即 y1，所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為x

y2

x

3x3

由（2）M的軌跡是以C3,0r3EF（ 兩端點(diǎn)E525F525．又直線l:ykx4D40 3 3 k34 當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，由 3得k k2 k22 2522227

3

33

25又

，所以當(dāng)k

,

4 3

44 7直線l:ykx4與曲線C11（2015

兩點(diǎn)，與圓Cx52y2r2r0MMAB中點(diǎn)，若這樣的直線l4條，則r的取值范圍是

2,

2,解析設(shè)直線lxtymy24ty4m0，代入16t216m，可得3t20，即0t231t1t

1t1t1t 由0t23，可得r24.12.（2015重慶理8）已知直線l：xay10aR是圓C:x2y24x2y10的對稱軸.過點(diǎn)A4,a作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則AB（ 2A. D.2解 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程C:x22y124，圓心O為2,1又因?yàn)橹本€lxay10242OA2得知a1242OA2OA

210,OB2,

613.（2016甲理4）圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為3則a 33

4

A解析x2y22x8y130x12y424a2a4 1，解得a2a431091.（20139）過點(diǎn)(20引直線ly

113 333

3

3

201413）已知直線axy20與圓心為C的圓x12ya24A,B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a 3.（20149）xOyx2y30x22y124截得的弦長 4.（2016理11）在極坐標(biāo)系中，直線cos3sin10與圓2 于A,B兩點(diǎn)，則 4.

解析解法一：在平面直角坐標(biāo)系中，題中的直線與x

3y10x2

.A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)，即為方程組

331 33A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

AB2

2

解法二：x3y10，圓的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21圓心10ABAB25.（2016丙理14）在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則”直線ykx與(x5)2y29相交”發(fā)生的概率 3解析k2ykx與圓(x5)2y294k，解得3 發(fā)生時(shí)k的取值空間為3,3k 2，利用幾何概型可知，所求概率為2=3 36.（2016丙理16）已知直線l:mxy3m 0與圓x2y212交于A，B33AB分別做lx軸交于CDAB3r2r2d

36.4解析解法一：根據(jù)直線與圓相交弦長3

AB

23r2d

到直線l：mxy3m 的距離d

3m3m m23因此直線ly

33333

.所以直線l的傾斜角為30如圖所示，過點(diǎn)C作CEBDE 3解法二：直線l：mxy3m 0，知直線l過定點(diǎn)A3,3，又AB 3yBAE x所以△OAB為等邊三角形,A3,3yBAE x

,又知AOB60,By軸上（l的斜率存在）.l的傾斜角為30.110直線與圓相切、相離關(guān)系及其應(yīng)用——（2013山東理9）過點(diǎn)3,1作圓x12y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（ 2xy3

2xy3

4xy3

4xy3:yAlOx的半徑為1，圓心在yAlOx若圓心Cyx1A作圓C若圓CMMA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍3.（2014江西理9）在平面直角坐標(biāo)系中，A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為（ A.4 B.3 C.625 D.5 4.（2014大綱理15）直線l1和l2是圓x2y22的兩條切線，若l1與l2的交點(diǎn)為1,3，則l1與l2的夾角的正切值等于 1111.（2014216）Mx0,1，若在圓Ox2y21N 12）直線l1yxa和l2yxb將單位圓Cx2y21等的四段弧，則a2b2 Mx2y212x14y600A24NxMNx6N設(shè)平行于OA的直線lMBCBCOA，求直線l設(shè)點(diǎn)Tt,0MP和Q，使得TATPTQ，求實(shí)數(shù)t解析（1）因?yàn)镹x6N

yMAOxyMAOx62yn2n2n0又圓NM外切，圓Mx62y72257n

，解得n55由題意得OA

kOA2，設(shè)l:y2xbM到直線l555552d52d

25，解得b5或b152555ly2x5y2555解法一：Px1,y1Qx2,y2A24Tt,0由TATPTQ，所以x2x12t，因?yàn)辄c(diǎn)QMy2y1y x62y7225 故有

t42

3225PM 所以只需兩圓有公共點(diǎn)即可，所以55

t22

55解得2221

2221．所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為22212221評注對于第（3）TATPTQ，即TATQTPPQ.TA

PQTATA t

PQ10

t2242?10下論證充分性，即存在兩點(diǎn)可使TAPQ2254對于任意t22212221，欲使TAPQTA102254只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離 ，必然與圓交于P,QTA

PQ，且有TAPQ，因此對于任意t22212221題意，綜上實(shí)數(shù)t的取值范圍為222122214.（201713）xOyA120B06，點(diǎn)PO: