微分中值定理相關(guān)競賽題

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦微分中值定理相關(guān)競賽題微分中值定理

這部分有關(guān)考題主要是證實題，技巧性比較高。

內(nèi)容要點

一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、泰勒定理

典型例題

一、用羅爾定理的有關(guān)辦法

例1設(shè))(xf在[0，3]上延續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且3)2()1()0(=++fff，1)3(=f.試證：必存在)3,0(∈ξ，使()0fξ'=

證：∵)(xf在[0，3]上延續(xù)，∴)(xf在[0，2]上延續(xù)，且有最大值M和最小值m.于是Mfm≤≤)0(；Mfm≤≤)1(；Mfm≤≤)2(，故

Mfffm≤++≤

)]2()1()0([3

1.由延續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點[0,2]c∈使得1)]2()1()0([3

1)(=++=

fffcf，因此)3()(fcf=，且)(xf在[c，3]上延續(xù)，（c，3）

內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在)3,0()3,(?∈cξ使得()0fξ'=。

例2設(shè))(xf在[0，1]上延續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且?=1

3

2)0()(3fdxxf

求證：存在)1,0(∈ξ使0)('

=ξf

證：由積分中值定理可知，存在2

[,1]3

c∈，使得

?

-

=13

2)3

21)(()(cfdxxf

得到?==1

3

2)0()(3)(fdxxfcf

對)(xf在[0，c]上用羅爾定理，（三個條件都滿足）

故存在)1,0(),0(?∈cξ，使()0fξ'=

例3設(shè))(xf在[0,1]上延續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，對隨意1>k，有?-=kx

dxxfxe

kf1

1)()1(，

求證存在)1,0(∈ξ使1()(1)()ffξξξ-'=-

證：由積分中值定理可知存在1[0,

]ck

∈使得)01)(

()(11

1-=--?

k

cfce

dxxfxe

c

kx

令)()(1xfxexFx-=，可知)1()1(fF=

這樣1

110

(1)(1)()()()x

c

kFfkxe

fxdxce

fcFc--====?

，對)(xF在]1,[c上用羅爾定理

（三個條件都滿足）存在)1,0()1,(?∈cξ，使()0Fξ'=而111()()()()x

x

x

Fxe

fxxe

fxxe

fx''=-+

∴11

()[()(1)()]0Feffξξξξξξ

-''=--

=

又01≠-ξξe，則1

()(1)()ffξξξ

'=-

羅爾定理的有關(guān)證實命題中，如何按照條件和結(jié)論構(gòu)造一個合適的)(xF是十分關(guān)鍵，下面的模型Ⅰ，就在這方面提供一些挑選。

模型Ⅰ：設(shè))(xf在],[ba上延續(xù)，（ba,）內(nèi)可導(dǎo)，0)()(==bfaf則下列各結(jié)論皆成立。

（1）存在),(1ba∈ξ使11()()0flfξξ'+=（l

（2）存在),(2ba∈ξ使1

222()()0kfkfξξξ-'+=（k

（3）存在),(3ba∈ξ使333()()()0fgfξξξ'+=（)(xg

例4設(shè))(xf在]1,0[上延續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，0)1()0(==ff，1)21

(=f，試證：

（1）存在)1,2

1

(∈η，使ηη=)(f。

（2）對隨意實數(shù)λ，存在),0(ηξ∈，使得()[()]1ffξλξξ'--=

證實：（1）令xxfx-=Φ)()(，明顯它在[0,1]上延續(xù)，又

021)21(,01)1(>=ΦM是)

(xf在[1，2]上的最大值，證實：存在)2,1(∈ξ，使得()2fMξ'≥。

證：由周期性可知0)2()1()0(===fff，不妨假定)2,1(0∈x而0)(0>=Mxf，

對)(xf分離在[1,0x]和[0x,2]上用拉格朗日中值定理，

存在),1(01x∈ξ，使得010()(1)

()1

fxffxξ-'=

-①

存在)2,(02x∈ξ，使得020

(2)()()2ffxfxξ-'=

-②

假如)2

3,

1(0∈x，則用①式，得010()()21

fxfMxξ'=

≥-；

假如03[

,2)2

x∈，則用②式，得020

()()22fxfMxξ-'=

≥-；

因此，必有)2,1(∈ξ，使得()2fMξ'≥

例3設(shè))(xf在[0,1]上延續(xù)，（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且0)0(=f，1)1(=f，證實：（Ⅰ）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f

（Ⅱ）存在,(0,1)ηζ∈，ηζ≠，使()()1ffηζ''=

證：（Ⅰ）令1)()(-+=xxfxg，則)(xg在[0,1]上延續(xù)，且01)0(=g，用介值定理推論存在)1,0(∈ξ，使0)(=ξg，即ξξ-=1)(f

（Ⅱ）在[0,ξ]和[ξ，1]上對)(xf用拉格朗日中值定理，存在),0(ξη∈，使

得()(0)

1()0

fffξξ

ηξξ

--'=

=

-

存在(,1)ζξ∈，ηζ≠，使(1)()1(1)()111fffξξξ

ζξ

ξ

ξ

'=

=

=

∴()()1ffηζ''?=

例4設(shè)()x?在[0,1]上可導(dǎo)，且(0)0,(1)1??==。證實：存在(0,1)內(nèi)的兩個

數(shù)ξ與η，使

3)

(2

)

(1

='+'η?ξ?。

（2022）例5設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間[ba,]上延續(xù)，在開區(qū)間（ba,）內(nèi)可導(dǎo)，且()0fx'>，若極

限a

xaxfa

x--+

→)

2(lim

存在，證實：

（1）在),(ba內(nèi)0)(>xf；（2）在),(ba內(nèi)存在ξ，使

)

(2)(2

2

ξξfdx

xfa

bba

=

-?

；

（3）在),(ba內(nèi)存在與（2）中ξ相異的點η，使

22

2()()()ba

fbafxdxaξ

ηξ'-=

-?

證：（1）由于a

xaxfa

x--+

→)

2(lim

存在，故0)2(lim=-+

→axfa

x，由)(xf在[ba,]上

延續(xù)，從而0)(=af.又()0fx'>知)(xf在),(ba內(nèi)單調(diào)增強，故

),(,0)()(baxafxf∈=>

（2）設(shè))()()(,)(2

bxadttfxgxxFxa

≤≤=

=?

，

則()()0gxfx'=>，故)(xF，)(xg滿足柯西中值定理的條件，于是在),(ba內(nèi)

存在點ξ，使

2

22

()()()()()

()()(())xbaxa

a

a

FbFaba

xgbgaftdtftdtftdtξ

='

--=

=

-'

-?

?

?

，

即

)

(2)(2

2

ξξfdx

xfa

bba

=

-?

（3）因)()(0)()(affff-=-=ξξξ，在[ξ,a]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在

(,)aξ內(nèi)存在一點η，使()()()