高中數學定積分定義

定積分概念(gàiniàn)與性質一、定積分(jīfēn)問題舉例二、定積分(jīfēn)定義三、定積分的性質第一頁，共25頁。一、定積分問題(wèntí)舉例曲邊梯形設函數yf(x)在區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù).由直線(zhíxiàn)xa、xb、y0及曲線yf(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,其中曲線弧稱為曲邊.

第二頁，共25頁。觀察(guānchá)與思考在曲邊梯形內擺滿小的矩形,當小矩形的寬度減少(jiǎnshǎo)時,小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?怎樣求曲邊梯形(tīxíng)的面積？第三頁，共25頁。求曲邊梯形(tīxíng)的面積(1)分割(fēngē):ax0<

x1<

x2<

<

xn1<

xn

b,Dxi=xi-xi1;

小曲邊梯形的面積(miànjī)近似為f(xi)Dxi(xi1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取極限:

設max{Dx1,

Dx2,,

Dxn},曲邊梯形的面積為

(3)求和:

曲邊梯形的面積近似為;第四頁，共25頁。

物體直線運動的速度vv(t)是時間(shíjiān)t的連續(xù)函數,且v(t)0,計算物體在時間(shíjiān)段[T1,T2]內所經過的路程S.(1)分割(fēngē):T1t0<t1<t2<<tn1<tnT2,

Dtititi1;(2)近似(jìnsì)代替:物體在時間段[ti1,

ti]內所經過的路程近似為DSiv(i)Dti(

ti1<

i<ti);

物體在時間段[T1,

T2]內所經過的路程近似為

(3)求和:

(4)取極限:

記max{Dt1,

Dt2,,

Dtn},物體所經過的路程為第五頁，共25頁。二、定積分(jīfēn)定義定積分(jīfēn)的定義max{Dx1,

Dx2,,Dxn};

記Dxi=xi-xi1(i1,2,,

n),ax0<x1<x2<

<xn1<xnb;在區(qū)間(qūjiān)[a,b]內插入分點:

設函數f(x)在區(qū)間[a,

b]上有界.

如果當0時,上述和式的極限存在,且極限值與區(qū)間[a,b]的分法和xi的取法無關,那么稱此極限為函數f(x)在區(qū)間[a,b]上在小區(qū)間[xi1,

xi]上任取一點xi(i1,2,,

n),

作和即

的定積分記為第六頁，共25頁。定積分各局部(júbù)的名稱————積分符號,f(x)———被積函數,f(x)dx——被積表達式,x————積分變量,a————積分下限,b————積分上限,[a,b]———積分區(qū)間，定積分(jīfēn)的定義二、定積分(jīfēn)定義———積分和

第七頁，共25頁。定積分(jīfēn)的定義二、定積分(jīfēn)定義說明：定積分的值只與被積函數及積分區(qū)間有關,而與積分變量(biànliàng)的記法無關,即第八頁，共25頁。函數(hánshù)的可積性如果函數(hánshù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在,那么稱f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定理(dìnglǐ)1如果函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么函數f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定理(dìnglǐ)2如果函數f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點,那么函數f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定積分(jīfēn)的定義二、定積分定義第九頁，共25頁。定積分(jīfēn)的幾何意義當f(x)0時,f(x)在[a,b]上的定積分表示(biǎoshì)由曲線yf(x)、直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.當f(x)0時,f(x)在[a,b]上的定積分表示曲邊梯形(tīxíng)面積的負值.

這是因為第十頁，共25頁。一般地,f(x)在[a,b]上的定積分表示介于x軸、曲線yf(x)及直線(zhíxiàn)xa、xb之間的各局部面積的代數和.定積分的幾何(jǐhé)意義當f(x)0時,f(x)在[a,b]上的定積分表示由曲線(qūxiàn)yf(x)、直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.

當f(x)0時,

f(x)在[a,

b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值.

第十一頁，共25頁。利用定義計算(jìsuàn)定積分

解:

例1

利用定積分定義計算.取分點為(i=1,2,

,n-1),則(i=1,2,

,n).

在第i個小區(qū)間上取右端點(i=1,2,

,n).

于是(yúshì)第十二頁，共25頁。利用幾何(jǐhé)意義求定積分解函數y1x在區(qū)間(qūjiān)[0,1]上的定積分是以y=1-x為曲邊,以區(qū)間(qūjiān)[0,1]為底的曲邊梯形的面積.因為以y=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形是一個(yīɡè)直角三角形,其底邊長及高均為1,所以首頁

例2

第十三頁，共25頁。三、定積分(jīfēn)的性質兩點規(guī)定(guīdìng)第十四頁，共25頁。

這是因為三、定積分(jīfēn)的性質性質(xìngzhì)1第十五頁，共25頁。三、定積分(jīfēn)的性質性質(xìngzhì)1性質(xìngzhì)2>>>性質3>>>注：值得注意的是不管abc的相對位置如何上式總成立第十六頁，共25頁。三、定積分(jīfēn)的性質性質(xìngzhì)1性質(xìngzhì)2性質3性質4第十七頁，共25頁。推論(tuīlùn)1如果在區(qū)間(qūjiān)[ab]上f(x)g(x)那么這是因為g(x)f(x)0從而(cóngér)如果在區(qū)間[ab]上f(x)0那么性質5

所以第十八頁，共25頁。這是因為|f(x)|f(x)|f(x)|,所以(suǒyǐ)推論(tuīlùn)1如果在區(qū)間(qūjiān)[ab]上f(x)g(x)那么如果在區(qū)間[ab]上f(x)0那么性質5

推論2

第十九頁，共25頁。推論(tuīlùn)1如果在區(qū)間(qūjiān)[ab]上f(x)g(x)那么如果在區(qū)間(qūjiān)[ab]上f(x)0那么性質5

推論2

性質6

設M及m分別是函數f(x)在區(qū)間[ab]上的最大值及最小值那么第二十頁，共25頁。如果函數f(x)在閉區(qū)間(qūjiān)[ab]上連續(xù)那么在積分區(qū)間(qūjiān)[ab]上至少存在一個點x使下式成立這是因為,由性質(xìngzhì)6性質7(定積分(jīfēn)中值定理)——積分中值公式

由介值定理,至少存在一點x[a,b],使兩端乘以ba即得積分中值公式.第二十一頁，共25頁。解第二十二頁，共25頁?？偨Y(zǒngjié)１．定積分的實質：特殊(tèshū)和式的極限．２