第八章三維對(duì)象的表示

第八章三維對(duì)象的表示第1頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三自由曲線和曲面是指那些形狀比較復(fù)雜、不能用初等解析函數(shù)直接表示出來的曲線和曲面。汽車車身、飛機(jī)機(jī)翼和輪船船體等的曲線和曲面均屬于這一類。一般情況下，它們需要利用插值或逼近的方法，對(duì)型值點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到擬合曲線和曲面。第2頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.1曲線曲面的參數(shù)表示及連續(xù)性8.1.1曲線曲面的參數(shù)表示

如果用u表示參數(shù)，二維空間自由曲線的參數(shù)方程可以記為：

x﹦x(u),y﹦y(u)u[0,1]二維空間曲線上一點(diǎn)的參數(shù)表示為：

P(u)﹦[x(u),y(u)]三維空間自由曲線的參數(shù)方程表示為：

x﹦x(u),y﹦y(u),z﹦z(u)；u[0,1]曲線上一點(diǎn)的參數(shù)表示為：

P(u)﹦[x(u),y(u),z(u)]同樣，如果用u,w表示參數(shù)，二維空間自由曲面的參數(shù)方程表示為：

x﹦x(u,w),y﹦y(u,w)u,w[0,1]曲面上一點(diǎn)的參數(shù)表示為：

P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w)]三維空間自由曲面的參數(shù)方程表示為：

x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w)；u,w[0,1]曲面上一點(diǎn)的參數(shù)表示為：

P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w),z(u,w)]。第3頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.1.2插值、逼近和擬合給出一組有序的型值點(diǎn)列，根據(jù)應(yīng)用的要求來得到一條光滑曲線，通常采用兩種不同的方法，即插值方法和逼近方法。

插值方法要求生成的曲線通過每個(gè)給定的型值點(diǎn)。曲線插值方法有多項(xiàng)式插值，分段多項(xiàng)式插值，樣條函數(shù)插值等。

逼近方法要求生成的曲線靠近每個(gè)型值點(diǎn)，但不一定要求通過每個(gè)點(diǎn)。逼近方法有最小二乘法，Bezier方法，B樣條方法等。用插值或逼近來構(gòu)造曲線的方法通稱為曲線擬合方法。第4頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.1.3參數(shù)連續(xù)性條件

0階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，記作C0連續(xù)，是指曲線相連。即第一個(gè)曲線段在u﹦1處的x,y,z值與第二個(gè)曲線段在u﹦0處的x,y,z值相等。

一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，記作C1連續(xù)，指兩個(gè)相鄰曲線段在交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)。

二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)，指兩個(gè)相鄰曲線段在交點(diǎn)處有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。高階參數(shù)連續(xù)性可類似定義。

0階幾何連續(xù)性，記為G0連續(xù)，與0階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性相同。即兩個(gè)曲線段在公共點(diǎn)處有相同的坐標(biāo)。

一階幾何連續(xù)性，記為G1連續(xù)，指一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)相鄰段的交點(diǎn)處成比例，而大小不一定相等。

二階幾何連續(xù)性，記為G2連續(xù)，指兩個(gè)曲線段在相交處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。G2連續(xù)下，兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的曲率相等。第5頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.1.4參數(shù)樣條曲線1．樣條曲線在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，術(shù)語樣條曲線指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定連續(xù)條件。而樣條曲面可用兩組正交樣條曲線來描述。樣條用來設(shè)計(jì)曲線和曲面形狀，典型的CAD應(yīng)用包括汽車、飛機(jī)和航天飛機(jī)表面設(shè)計(jì)以及船殼設(shè)計(jì)。2．參數(shù)樣條表示

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)應(yīng)用中使用幾種不同的樣條描述。每種描述是一個(gè)帶有某特定邊界條件多項(xiàng)式的特殊類型。第6頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三例如空間一條曲線用三次參數(shù)方程可以表示如下：

x(u)﹦axu3﹢bxu2﹢cxu﹢dxy(u)﹦ayu3﹢byu2﹢cyu﹢dyz(u)﹦azu3﹢bzu2﹢czu﹢dzu[0,1]

或

P(u)﹦au3﹢bu2﹢cu﹢du[0,1]如果曲線的邊界條件設(shè)定為端點(diǎn)處滿足給定坐標(biāo)值P(0)和P(1)，同時(shí)端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)也滿足給定值P’(0)和P’(1)。這四個(gè)邊界條件對(duì)決定上式中方程的系數(shù)是充分條件。例如已知x(0)、x(1)、x’(0)和x’(1)，則ax、bx、cx和dx就可以求出。解出各個(gè)系數(shù)后的上）式就是一種確定的三次參數(shù)樣條表示式。第7頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.2三次樣條插值曲線實(shí)際上，通常使用的是三次樣條曲線。這是因?yàn)槿味囗?xiàng)式曲線是能使曲線段的端點(diǎn)通過特定的點(diǎn)，并能使曲線段在連接處保持位置和斜率連續(xù)性的最低階次的多項(xiàng)式。與更高次多項(xiàng)式相比，三次多項(xiàng)式只需較少的計(jì)算和存儲(chǔ)且較穩(wěn)定，而更低次多項(xiàng)式又難以用來描述復(fù)雜形狀的曲線。如果想使用三次樣條獲得一條通過各個(gè)型值點(diǎn)的連續(xù)曲線，需要利用三次樣條分段插值得到通過每個(gè)型值點(diǎn)的分段三次樣條曲線。對(duì)n+1個(gè)型值點(diǎn)，分段插值時(shí)段與段之間要建立合適的邊界條件，既能使各段之間平滑連續(xù)，又可建立起足夠的方程數(shù)，求出所有的系數(shù)。第8頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.2.1Hermite樣條插值曲線

Hermite樣條插值（以法國數(shù)學(xué)家CharlesHermite命名）使用型值點(diǎn)和型值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)建立邊界條件。設(shè)P和P為第K個(gè)和第K+1個(gè)型值點(diǎn)，Hermite樣條插值邊界條件規(guī)定為：

P(0)﹦PkP(1)﹦Pk+1P’(0)﹦DkP’(1)﹦Dk+1其中，Dk和Dk+1分別為Pk和Pk+1處的一階導(dǎo)數(shù)。將參數(shù)方程寫成矩陣形式為：第9頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三將邊界條件P(0)﹦Pk和P(1)﹦Pk+1代入方程得：

Pk﹦dPk+1﹦a﹢b﹢c﹢d一階導(dǎo)數(shù)為：將邊界條件P’(0)﹦Dk和P’(1)﹦Dk+1代入方程得：

Dk﹦cDk+1﹦3a﹢2b﹢c第10頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三由邊界條件構(gòu)成的4個(gè)方程聯(lián)立：

Pk﹦dPk+1﹦a﹢b﹢c﹢dDk﹦cDk+1﹦3a﹢2b﹢c寫成矩陣的形式為：第11頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三解此方程得：第12頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三稱為Hermite矩陣，插值樣條參數(shù)方程可以寫成第13頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三將上式展開寫成代數(shù)形式為：

P(u)﹦Pk(2u3﹣3u2﹢1)﹢Pk+1(-2u3﹢3u2)+Dk(u3﹣2u2﹢u)﹢Dk+1(u3﹣u2)﹦PkH0(u)﹢Pk+1H1(u)﹢DkH2(u)﹢Dk+1H3(u)其中

H0(u)﹦2u3﹣3u2﹢1H1(u)﹦-2u3﹢3u2

H2(u)﹦u3﹣2u2﹢uH3(u)﹦u3﹣u2

稱為Hermite樣條調(diào)和函數(shù)，因?yàn)樗鼈冋{(diào)和了邊界約束值，使在整個(gè)參數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生曲線的坐標(biāo)值。調(diào)和函數(shù)僅與參數(shù)u有關(guān)，而與初始條件無關(guān)，且調(diào)和函數(shù)對(duì)于空間的三個(gè)坐標(biāo)分量(x,y,z)是相同的。第14頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三下圖表示出Hermite樣條曲線的調(diào)和函數(shù)隨參數(shù)u變化的曲線第15頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三還可將方程整理成如下形式：

P(u)﹦(2Pk-2Pk+1+Dk﹢Dk+1)u3

﹢(-3Pk﹢3Pk+1-2Dk-Dk+1)u2+Dku﹢Pk寫成坐標(biāo)分量形式則如下式：

x(u)﹦(2xk-2xk+1+xk'﹢xk+1')u3

﹢(-3xk﹢3xk+1-2xk'-xk+1')u2+xk'u﹢xky(u)﹦(2yk-2yk+1+yk'﹢yk+1')u3

﹢(-3yk﹢3yk+1-2yk'-yk+1')u2+yk'u﹢ykz(u)﹦(2zk-2zk+1+zk'﹢zk+1')u3

﹢(-3zk﹢3zk+1-2zk'-zk+1')u2+zk'u﹢zk如果是平面曲線，則只有x和y分量。第16頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三例：給定9個(gè)型值點(diǎn)，其中起始點(diǎn)和終止點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，從而其特征多邊形是一個(gè)首尾相接的封閉多邊形，具體坐標(biāo)位置如下：（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)數(shù)值如下：（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,-70）,（70,70）,（70,70）,（-70,70）,（-70,70）,（70,-70）用Hermite插值方法繪制曲線。第17頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三Hermit三次曲線算法主要實(shí)現(xiàn)子程序?qū)嵗齰oidHermitCurve(HDChdc){inti;intarry1[9][2]={100,300,120,200,220,200,270,100,370,100,420,200,420,300,220,280,100,300};intarry2[9][2]={70,-70,70,-70,70,-70,70,-70,70,70,70,70,-70,70,-70,70,70,-70};for(i=0;i<8;i++){SetColor(RGB(0,0,255),hdc);line(hdc,arry1[i][0],arry1[i][1],arry1[i+1][0],arry1[i+1][1]);SetColor(RGB(255,0,0),hdc);Hermit3(hdc,arry1,arry2,i,100);}}voidHermit3(HDChdc,intarry1[2][2],intarry2[2][2],intn,intsteps){inti,x,y,k1,k2,k3,k4,m1,m2,m3,m4;floata0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3,dt,t,t2,t3;k1=arry1[n][0];k2=arry1[n+1][0];k3=arry2[n][0];k4=arry2[n+1][0];m1=arry1[n][1];m2=arry1[n+1][1];m3=arry2[n][1];m4=arry2[n+1][1];第18頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

MoveToEx(hdc,arry1[n][0],arry1[n][1],NULL);a0=k1;a1=k3;a2=-3*k1+3*k2-2*k3-k4;a3=2*k1-2*k2+k3+k4;b0=m1;b1=m3;b2=-3*m1+3*m2-2*m3-m4;b3=2*m1-2*m2+m3+m4;dt=1.0/steps;for(i=1;i<steps;i++){t=i*dt;t2=t*t;t3=t*t2;x=a0+a1*t+a2*t2+a3*t3;y=b0+b1*t+b2*t2+b3*t3;LineTo(hdc,x,y);Sleep(5);}}第19頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三Hermit三次曲線繪制演示第20頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

Hermite樣條曲線比較簡(jiǎn)單，易于理解，但要求確定每個(gè)型值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)作為初始條件，這是很不方便的，有時(shí)甚至是難于實(shí)現(xiàn)的。更好的做法是不需要輸入曲線斜率值或其它幾何信息就能生成樣條曲線。第21頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.2.2Cardinal樣條曲線象Hermite樣條曲線一樣，Cardinal樣條曲線也是插值分段三次曲線，且邊界條件也是限定每段曲線端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)。與Hermite樣條曲線的區(qū)別是，在Cardinal樣條曲線中端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值是由兩個(gè)相鄰型值點(diǎn)坐標(biāo)來計(jì)算的。設(shè)相鄰的四個(gè)型值點(diǎn)分別記為Pk-1、Pk、Pk+1、Pk+2,Cardinal樣條插值方法規(guī)定Pk、Pk+1

兩型值點(diǎn)間插值多項(xiàng)式的邊界條件為：

P(0)﹦PkP(1)﹦Pk+1P’(0)﹦(1﹣t)(Pk+1﹣Pk-1)/2P’(1)﹦(1﹣t)(Pk+2﹣Pk)/2其中t為一可調(diào)參數(shù)，稱為張力參數(shù)，可以控制Cardinal樣條曲線型值點(diǎn)間的松緊程度。第22頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三記S=(1﹣t)/2，用類似Hermite曲線樣條中的方法，將Cardinal邊界條件代入?yún)?shù)方程，可以得到矩陣表達(dá)式：第23頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三其中稱為Cardinal矩陣。將式子展開寫成代數(shù)形式為：

P(u)﹦Pk-1(-su3﹢2su2﹣su)﹢Pk((2﹣s)u3

﹢(s﹣3)u2﹢1)﹢Pk+1((s﹣2)u3

﹢(3﹣2s)u2﹢su)﹢Pk+2(su3﹣su2)第24頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三其中

C0(u)﹦-su3﹢2su2﹣suC1(u)﹦(2﹣s)u3﹢(s﹣3)u2﹢1

C2(u)﹦(s﹣2)u3﹢(3﹣2s)u2﹢suC3(u)﹦su3﹣su2稱為Cardinal樣條調(diào)和函數(shù)。下圖是Cardinal樣條調(diào)和函數(shù)的曲線圖。第25頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三還可將方程整理成如下形式：

P(u)﹦(-sPk-1﹢(2﹣s)Pk﹢(s﹣2)Pk+1﹢sPk+2)u3

﹢(2sPk-1﹢(s﹣3)Pk﹢(3﹣2s)Pk+1﹣sPk+2)u2

﹢(-sPk-1﹢sPk+1)u﹢Pk

將方程式寫成坐標(biāo)分量的形式為：

x(u)﹦(-sxk-1﹢(2﹣s)xk﹢(s﹣2)xk+1﹢sxk+2)u3

﹢(2sxk-1﹢(s﹣3)xk﹢(3﹣2s)xk+1﹣sxk+2)u2

﹢(-sxk-1﹢sxk+1)u﹢xk

y(u)﹦(-syk-1﹢(2﹣s)yk﹢(s﹣2)yk+1﹢syk+2)u3

﹢(2syk-1﹢(s﹣3)yk﹢(3﹣2s)yk+1﹣syk+2)u2

﹢(-syk-1﹢syk+1)u﹢yk

z(u)﹦(-szk-1﹢(2﹣s)zk﹢(s﹣2)zk+1﹢szk+2)u3

﹢(2szk-1﹢(s﹣3)zk﹢(3﹣2s)zk+1﹣szk+2)u2

﹢(-szk-1﹢szk+1)u﹢zk

第26頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三可以看出，一個(gè)Cardinal樣條曲線完全由四個(gè)連續(xù)的型值點(diǎn)給出。中間兩個(gè)型值點(diǎn)是曲線段端點(diǎn)，另外二個(gè)點(diǎn)用來輔助計(jì)算端點(diǎn)斜率。只要給出一組型值點(diǎn)的坐標(biāo)值,就可以分段計(jì)算出Cardinal樣條曲線，并組合成一整條三次樣條曲線。

例：取t=0,則s=1，上面的平面代數(shù)方程變?yōu)椋?/p>

x(u)﹦(-xk-1﹢xk﹣xk+1﹢xk+2)u3﹢(2xk-1﹣2xk﹢xk+1﹣xk+2)u2﹢(-xk-1﹢xk+1)u﹢xk

y(u)﹦(-yk-1﹢yk﹣yk+1﹢yk+2)u3﹢(2yk-1﹣2yk﹢yk+1﹣yk+2)u2

﹢(-yk-1﹢yk+1)u﹢yk

設(shè)在平面上給定的9個(gè)型值點(diǎn)坐標(biāo)分別為:（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）起始點(diǎn)和終止點(diǎn)相重。畫出其曲線。第27頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三voidCardinalCurve(HDChdc){inti;intarry[9][2]={100,300,120,200,220,200,270,100,370,100,420,200,420,300,220,280,100,300};for(i=0;i<8;i++){SetColor(RGB(0,0,255),hdc);line(hdc,arry[i][0],arry[i][1],arry[i+1][0],arry[i+1][1]);SetColor(RGB(255,0,0),hdc);Cardinal3(hdc,arry,i,100);}}voidCardinal3(HDChdc,intarry[4][2],intn,intsteps){inti,x,y,k1,k2,k3,k4,m1,m2,m3,m4;floata0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3,dt,t,t2,t3;if(n==0)k1=arry[8][0];elsek1=arry[n-1][0];k2=arry[n][0];k3=arry[n+1][0];

Cardinal三次曲線算法主要實(shí)現(xiàn)子程序?qū)嵗?8頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

if(n<7)k4=arry[n+2][0];elsek4=arry[1][0];if(n==0)m1=arry[8][1];elsem1=arry[n-1][1];m2=arry[n][1];m3=arry[n+1][1];if(n<7)m4=arry[n+2][1];elsem4=arry[1][1];MoveToEx(hdc,arry[n][0],arry[n][1],NULL);a0=k2;a1=-k1+k3;a2=2*k1-2*k2+k3-k4;a3=-k1+k2-k3+k4;b0=m2;b1=-m1+m3;b2=2*m1-2*m2+m3-m4;b3=-m1+m2-m3+m4;dt=1.0/steps;第29頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

for(i=1;i<steps;i++){t=i*dt;t2=t*t;t3=t*t2;x=a0+a1*t+a2*t2+a3*t3;y=b0+b1*t+b2*t2+b3*t3;LineTo(hdc,x,y);Sleep(5);}}第30頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三Cardinal三次曲線繪制演示第31頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.3Bezier曲線前面討論過的三次參數(shù)樣條曲線通過給定的型值點(diǎn)，屬于樣條插值曲線，適合于已知曲線上的某些點(diǎn)而生成曲線的情形。但在外形設(shè)計(jì)時(shí)，初時(shí)給出的型值點(diǎn)有時(shí)并不精確，由給定的型值點(diǎn)生成的樣條曲線并不能滿足性能或美觀的要求，需要加以修改。但多數(shù)插值樣條曲線作為外形設(shè)計(jì)工具不能直觀地表示出應(yīng)該如何控制和修改曲線的形狀，缺少靈活性和直觀性。法國雷諾汽車公司工程師P.E.Bezier在1962年提出了一種新的參數(shù)曲線表示方法，稱為Bezier曲線。這種方法的特點(diǎn)是所輸入型值點(diǎn)與生成曲線之間的關(guān)系明確，能比較方便地通過修改輸入?yún)?shù)來改變曲線的形狀和階次。第32頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.3.1Bezier曲線的定義及特性

Bezier曲線是由一組多邊折線定義的,在多邊折線的各頂點(diǎn)中，只有第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)在曲線上,第一條和最后一條折線分別表示出曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)處切線方向。曲線的形狀趨向于多邊折線的形狀，因此，多邊折線又稱為特征多邊形，其頂點(diǎn)稱為控制點(diǎn)。1.數(shù)學(xué)表達(dá)式

Bezier曲線次數(shù)嚴(yán)格依賴于確定該段曲線的控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，通常由（n﹢1）個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)n次多項(xiàng)式，曲線上各點(diǎn)參數(shù)方程式為：第33頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三其中，Pk為特征多邊形第k個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)值(xk,yk,zk)，而基函數(shù)Bk,n(u)的定義如下u[0,1](k﹦0,1,...,n)函數(shù)Bk,n(u)稱為Bernstein多項(xiàng)式,其中為組合公式。式中參數(shù)u的取值范圍為[0,1],n是多項(xiàng)式次數(shù),也是曲線次數(shù)。第34頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三Bezier曲線及其特征多邊形圖例：第35頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三2.Bezier曲線的性質(zhì)（1）曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)同特征多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合對(duì)Bernstein多項(xiàng)式有：當(dāng)u﹦0時(shí)，只有k﹦0的項(xiàng)不為0，其它項(xiàng)都為uk﹦0k﹦0，因此其中規(guī)定：0！=1，00=1。當(dāng)u﹦1時(shí)，只有k﹦n的項(xiàng)不為0，其它項(xiàng)為(1-u)n-k﹦0n-k﹦0,因此第36頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三（2）一階導(dǎo)數(shù)對(duì)參數(shù)u求導(dǎo)得：在起始點(diǎn)u﹦0,B0,n-1(0)﹦1，其余項(xiàng)均為0，故有:P’(0)﹦n(P1﹣P0)在終止點(diǎn)u﹦1,Bn-1,n-1(1)﹦1，其余項(xiàng)均為0，故有:P’(1)=n(Pn﹣Pn-1)即Bezier曲線在端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)只同相近的兩個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，其方向相同于兩點(diǎn)的連線方向。第37頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三（3）二階導(dǎo)數(shù)式(4-14)對(duì)參數(shù)u求二階導(dǎo)數(shù)可得：

在起始點(diǎn)u﹦0處的二階導(dǎo)數(shù)為：

P”(0)﹦n(n﹣1)(P2﹣2P1﹢P0)在終止點(diǎn)u﹦1處的二階導(dǎo)數(shù)為：

P”(1)﹦n(n﹣1)(Pn﹣2Pn-1﹢Pn-2)即Bezier曲線在端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)只同相近的三個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)。第38頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三(4)凸包性

Bezier曲線的另一個(gè)重要性質(zhì)是它落在特征多邊形頂點(diǎn)所形成的凸包內(nèi)。即當(dāng)特征多邊形為凸時(shí)，Bezier曲線也是凸的；當(dāng)特征多邊形有凹有凸時(shí)，其曲線的凸凹形狀與之對(duì)應(yīng)。Bezier曲線的凸包性質(zhì)保證了多項(xiàng)式曲線隨控制點(diǎn)平穩(wěn)前進(jìn)而不會(huì)振蕩。(5)幾何不變性由Bezier曲線的數(shù)學(xué)定義式（4-14）知，曲線的形狀由特征多邊形的頂點(diǎn)Pk(k﹦0,1,...,n)唯一確定，與坐標(biāo)系的選取無關(guān),這就是幾何不變性。第39頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.3.2三次Bezier曲線一般地說，可以用任何數(shù)目的控制點(diǎn)擬合出一條Bezier曲線，但這需要計(jì)算更高次的多項(xiàng)式。復(fù)雜曲線可以由一些較低次數(shù)的Bezier曲線段連接而成，較小的曲線段連接也便于更好地控制小區(qū)域內(nèi)的曲線形狀，最常使用的是三次Bezier曲線。三次Bezier曲線由四個(gè)控制點(diǎn)P0、P1、P2、P3定義：第40頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三展開后的表達(dá)式為：P(u)=(-u3﹢3u2﹣3u﹢1)P0+(3u3﹣6u2﹢3u)P1

+(-3u3﹢3u2)P2﹢u3P3

=B0,3(u)P0+B1,3(u)P1+B2,3(u)P2﹢B3,3(u)P3其中

B0,3(u)﹦-u3﹢3u2﹣3u﹢1

B1,3(u)﹦3u3﹣6u2﹢3uB2,3(u)﹦-3u3﹢3u2B3,3(u)﹦u3稱為三次Bezier曲線的調(diào)和函數(shù)，圖4.6表示出調(diào)和函數(shù)的四條曲線。這四條曲線形成了三次Bezier曲線的一組基，任何三次Bezier曲線都是這四條曲線的線性組合。第41頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次Bezier曲線的調(diào)和函數(shù)：第42頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次Bezier曲線函數(shù)式用矩陣形式表示為：是三次Bezier系數(shù)矩陣。第43頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次Bezier曲線的在端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)為：

P’(0)﹦3(P1﹣P0)P’(1)=3(P3﹣P2)二階導(dǎo)數(shù)為：

P”(0)﹦6(P2﹣2P1﹢P0)P”(1)﹦6(P3﹣2P2﹢P1)三次Bezier曲線函數(shù)式分別寫成坐標(biāo)分量的形式如下：

x(u)﹦(-u3﹢3u2﹣3u﹢1)x0﹢(3u3﹣6u2﹢3u)x1

﹢(-3u3﹢3u2)x2﹢u3x3y(u)﹦(-u3﹢3u2﹣3u﹢1)y0﹢(3u3﹣6u2﹢3u)y1

﹢(-3u3﹢3u2)y2﹢u3y3z(u)﹦(-u3﹢3u2﹣3u﹢1)z0﹢(3u3﹣6u2﹢3u)z1

﹢(-3u3﹢3u2)z2﹢u3z3

第44頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三實(shí)際生成曲線時(shí)，按問題的要求取一合適的步長(zhǎng)，控制u從0到1變化，求出一系列(x,y)坐標(biāo)點(diǎn)，將其用小線段順序連接起來，就可以得到一條Bezier曲線。對(duì)于二維平面的情況，只有x,y坐標(biāo)分量，可以給出四點(diǎn)三次Bezier曲線如下的算法描述：

beginx=x0y=y0moveto(x,y)foru﹦0to1stepux﹦B0,3(u)x0﹢B1,3(u)x1﹢B2,3(u)x2﹢B3,3(u)x3y﹦B0,3(u)y0﹢B1,3(u)y1﹢B2,3(u)y2﹢B3,3(u)y3lineto(x,y)endforend第45頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次Bezier曲線例子：設(shè)在平面上給定的7個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)分別為:（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）。畫出其曲線。第46頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次Bezier曲線繪制演示第47頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.3.3Bezier曲線的光滑連接復(fù)雜曲線可以由一些較低次數(shù)的Bezier曲線段連接而成，工程上通常使用分段三次Bezier曲線來描述。將分段的三次Bezier曲線連接起來構(gòu)成三次Bezier曲線，其關(guān)鍵問題是如何保證連接處具有連續(xù)性。設(shè)有兩段三次Bezier曲線，其中一段曲線由控制點(diǎn)P0、P1、P2、P3生成，另一條曲線由控制點(diǎn)Q0、Q1、Q2、Q3生成，P3(Q0)是兩段曲線的公共控制點(diǎn)，如下圖所示。如果兩段曲線要達(dá)到光滑連接，需要一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，甚至二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，由前面所推出的公式，第一段曲線終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為：

P’(1)﹦3(P3﹣P2)第二段曲線起點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為：

Q’(0)﹦3(Q0﹣Q1)第48頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三兩段Bezier曲線光滑連接的條件示意圖一階導(dǎo)數(shù)要連續(xù)，則應(yīng)有P’(1)﹦Q’(0)，即:P3﹣P2﹦Q1﹣Q0

也即要求P2P3(Q0)Q1三點(diǎn)共線，而且P3(Q0)為中點(diǎn)，是它們的公切線。第49頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三由公式(4-28),第一段曲線終點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為：

P”(1)﹦6(P3﹣2P2﹢P1)第二段曲線起點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為：

Q”(0)﹦6(Q2﹣2Q1﹢Q0)要達(dá)到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則應(yīng)有P”(1)﹦Q”(0)，即:P3﹣2P2﹢P1﹦Q2﹣2Q1﹢Q0整理后可得：

Q2-P1﹦2(Q1-P2)，即連線Q2P1和Q1P2要平行，且Q2P1的長(zhǎng)度為Q1P2的兩倍。

Bezier樣條曲線為外形設(shè)計(jì)提供了靈活直觀的方法，但對(duì)(n+1)個(gè)控制點(diǎn)，需要n階Bernstein多項(xiàng)式，當(dāng)n較大時(shí)，特征多邊形對(duì)曲線控制減弱，曲線修改和使用都不便。如果使用低次多項(xiàng)式分段實(shí)現(xiàn)，光滑連接所需要的條件要求比較高。另外，如果改變?nèi)我粋€(gè)控制點(diǎn)位置，整個(gè)曲線都受到影響，缺乏對(duì)曲線形狀進(jìn)行局部修改的靈活性。第50頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

8.4B樣條曲線

1974年，Gordon與Riesenfeld等人拓廣了Bezier曲線，使用B樣條函數(shù)代替Bernstein多項(xiàng)式函數(shù)。B樣條(BasicSpline，B-spline)曲線除保持了Bezier曲線的直觀性和凸包性等優(yōu)點(diǎn)之外，多項(xiàng)式次數(shù)也獨(dú)立于控制點(diǎn)數(shù)目，而且B樣條曲線允許局部調(diào)整。由于以上原因，B樣條曲線得到越來越廣泛的應(yīng)用。8.4.1B樣條的定義

B樣條曲線分為均勻B樣條曲線(UniformB-spline)和一般非均勻B樣條曲線(GeneralNon-uniformB-spline),這里，我們只學(xué)習(xí)均勻B樣條曲線。第51頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

B樣條曲線是由若干樣條曲線段光滑連接而成，首先定義B樣條曲線段。設(shè)給定n+1個(gè)控制點(diǎn)，用Pk表示（k=0,1,...,n）,n次B樣條曲線段的參數(shù)表達(dá)式為：

u[0,1]與Bezier曲線類似，依次用線段連接Pk中相鄰兩個(gè)控制點(diǎn)所得折線多邊形稱為B樣條特征多邊形。式中其中u[0,1],k﹦0,1,...,n。Fk,n(u)稱為B樣條基函數(shù)，它是由k從0到n共（n+1）個(gè)函數(shù)組成。第52頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

B樣條曲線不同于Bezier曲線整體生成，它是分段生成連接起來的，B樣條曲線段之間是自然連接的。給定控制點(diǎn)Pk(k﹦0,1,...,n,...,n+m+1)(即至少n+1個(gè)控制點(diǎn)），則n次B樣條整體曲線表達(dá)式為：u[0,1],i=0,1,...,m即，對(duì)于（n+m+1）個(gè)控制點(diǎn)，使用n次B樣條函數(shù)，生成曲線時(shí)需要（m+1）次計(jì)算。各段B樣條曲線能夠自動(dòng)光滑連接形成一整條B樣條曲線，曲線的整體稱為n次B樣條曲線。當(dāng)m=0時(shí)，需要1次計(jì)算。第53頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.4.2三次B樣條曲線工程上最常使用的是三次B樣條曲線。對(duì)三次B樣條曲線函數(shù)式為：

u[0,1]B樣條函數(shù)的表達(dá)式為：展開有：F0,3(u)﹦(-u3﹢3u2﹣3u﹢1

)/6；F1,3(u)﹦(3u3﹣6u2﹢4)/6；F2,3(u)﹦(-3u3﹢3u2﹢3u﹢1

)/6；F3,3(u)﹦u3/6。第54頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三如果給定四個(gè)控制點(diǎn)，使用三次B樣條函數(shù)計(jì)算一次就可以得到B樣條曲線。將三次B樣條函數(shù)式用矩陣形式表示為：是三次B樣條系數(shù)矩陣。第55頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三將(4-34)分別寫成坐標(biāo)分量的形式如下：

x(u)﹦(-u3/6﹢u2/2﹣u/2﹢1/6)x0﹢(u3/2﹣u2﹢2/3)x1

﹢(-u3/2﹢u2/2﹢u/2﹢1/6)x2﹢u3x3/6y(u)﹦(-u3/6﹢u2/2﹣u/2﹢1/6)y0﹢(u3/2﹣u2﹢2/3)y1

﹢(-u3/2﹢u2/2﹢u/2﹢1/6)y2﹢u3y3/6z(u)﹦(-u3/6﹢u2/2﹣u/2﹢1/6)z0﹢(u3/2﹣u2﹢2/3)z1

﹢(-u3/2﹢u2/2﹢u/2﹢1/6)z2﹢u3z3/6當(dāng)u從0到1變化時(shí)，曲線將在P0到P3之間順序地連續(xù)形成。如果給定控制點(diǎn)Pk(k﹦0,1,...,n；n≥3)，使用三次B樣條函數(shù)生成整體B樣條曲線需要計(jì)算（n-2）次。第一次計(jì)算使用0～3四個(gè)控制點(diǎn)生成第一段B樣條曲線，然后向前移動(dòng)一個(gè)控制點(diǎn)，使用1～4四個(gè)控制點(diǎn)計(jì)算生成第二段B樣條曲線，兩段B樣條曲線會(huì)自然形成平滑連接，這也是B樣條曲線的主要優(yōu)點(diǎn)之一。第56頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三用三次B樣條函數(shù)生成二維B樣條曲線的算法描述如下：

beginx﹦F0,3(0)x0﹢F1,3(0)x1﹢F2,3(0)x2﹢F3,3(0)x3y﹦F0,3(0)y0﹢F1,3(0)y1﹢F2,3(0)y2﹢F3,3(0)y3moveto(x,y)fork﹦0ton-3foru﹦0to1stepux﹦F0,3(u)xk﹢F1,3(u)xk+1﹢F2,3(u)xk+2﹢F3,3(u)xk+3y﹦F0,3(u)yk﹢F1,3(u)yk+1﹢F2,3(u)yk+2﹢F3,3(u)yk+3lineto(x,y)endforendforend第57頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.4.3B樣條曲線的性質(zhì)1.端點(diǎn)性質(zhì)

B樣條曲線也是逼近曲線，一般情況下，曲線不經(jīng)過控制點(diǎn)。分別取u=0及u=1得曲線端點(diǎn)值為：

P(0)﹦(P0+4P1+P2)P(1)﹦(P1+4P2+P3)也就是說，起始控制點(diǎn)和終止控制點(diǎn)都不在曲線上。而且，三次B樣條曲線，其起點(diǎn)只與前三個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，終點(diǎn)只與后三個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)。實(shí)際上，B樣條曲線都具有這種控制點(diǎn)的鄰近影響性，這正是B樣條曲線局部可調(diào)整性好的原因。2.連續(xù)性

B樣條曲線段之間是自行光滑連續(xù)的。而且，n次B樣條曲線具有n-1階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。第58頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三3.局部性和擴(kuò)展性在三次B樣條曲線中，每個(gè)B樣條曲線段受四個(gè)控制點(diǎn)影響，改變一個(gè)控制點(diǎn)的位置，最多影響四個(gè)曲線段。因而，通過改變控制點(diǎn)的位置就可對(duì)B樣條曲線進(jìn)行局部修改，這是一個(gè)非常重要的性質(zhì)。同時(shí)，B樣條曲線在端點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)也具有只受鄰近控制點(diǎn)影響的性質(zhì)。由于B樣條曲線可以由曲線段自然連續(xù)生成，如果增加一個(gè)控制點(diǎn)，就相應(yīng)地增加了一段B樣條曲線。此時(shí)，原有的B樣條曲線不受影響，而且新增的曲線段與原曲線的連接處具有一階、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的特性，這一點(diǎn)是由B樣條曲線本身的性質(zhì)所保證的，不需要附加任何條件，因而要對(duì)原有的B樣條曲線加以擴(kuò)展是很方便的。第59頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次B樣條曲線例子：設(shè)在平面上給定的7個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)分別為:（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）。畫出其曲線。第60頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次B樣條曲線繪制演示1第61頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三4.三次B樣條的幾種特殊情況（1）三個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)共線如果三個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)共線連成一段直線，則曲線將過直線上的一點(diǎn)，且在此點(diǎn)處，曲線直線化。可以用這樣的點(diǎn)構(gòu)成曲線的拐點(diǎn),如下圖所示。第62頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三（2）四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)共線四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)共線時(shí)，曲線變?yōu)橹本€，直線的長(zhǎng)度小于四點(diǎn)構(gòu)成的直線，如下圖所示：（3）三個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)重合當(dāng)三個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)重合時(shí)，形成尖點(diǎn),如右圖所示。第63頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三通過上面的討論，可以總結(jié)控制三次B樣條曲線幾何形態(tài)的一些方法，歸納如下：

1）為在曲線內(nèi)嵌入－段直線，應(yīng)用四個(gè)頂點(diǎn)共線的技巧。

2）為使曲線和特征多邊形相切，應(yīng)用三頂點(diǎn)共線或兩頂點(diǎn)重合的技術(shù)。

3）為使曲線在某一頂點(diǎn)處形成尖角，可在該處使三個(gè)頂點(diǎn)相重合。

4）改變一個(gè)頂點(diǎn)，將影響相鄰四段曲線的形狀。

5）用三重頂點(diǎn)或二重頂點(diǎn)控制曲線的端點(diǎn)。用三重頂點(diǎn)時(shí)，曲線通過端點(diǎn)，但開始段B樣條曲線是一小段直線；用二重頂點(diǎn)時(shí)，曲線不通過端點(diǎn)，而在多邊形首邊上靠近二重頂點(diǎn)的某一點(diǎn)開始。第64頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三使用重點(diǎn)繪制通過起點(diǎn)和終點(diǎn)的三次B樣條曲線例子：設(shè)在平面上給定的11個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)分別為:（100,300）,（100,300）,（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（420,300）,（420,300）。畫出其曲線。第65頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次B樣條曲線繪制演示2第66頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三使用重點(diǎn)繪制封閉的三次B樣條曲線例子：設(shè)在平面上給定的15個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)分別為:（100,300）,（100,300）,（100,300）,（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）,（100,300）,（100,300）。畫出其曲線。第67頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次B樣條曲線繪制演示3第68頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

8.5曲面一些工程實(shí)際中應(yīng)用的復(fù)雜自由曲面，如飛機(jī)、船舶、汽車等幾何外形的描述，傳統(tǒng)上是用人工作圖法完成的。由于需要大量的試畫和反復(fù)修正工作，以保證整個(gè)曲面光順，所以非常繁瑣而又費(fèi)時(shí)?？梢杂脴訔l的方法來設(shè)計(jì)與描述曲面，由計(jì)算機(jī)、繪圖儀及圖形顯示器去完成繪制工作。8.5.1空間曲面的參數(shù)表示前面討論了一條自由曲線可以由一系列的曲線段連接而成,與此類似，一自由曲面也可以由一系列的曲面片拼合而成。因此，曲面片是曲面的基礎(chǔ)，第69頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三首先來討論曲面片的數(shù)學(xué)表示形式及其性質(zhì)。一個(gè)曲面片是以曲線為邊界的點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)均可用雙參數(shù)的單值函數(shù)表示如下：

x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w)；u,w[0,1]曲面上任一點(diǎn)的參數(shù)表示為：如果用三次參數(shù)方程來表示曲面片，可以表示成如下形式：第70頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

P(u,w)﹦a33u3w3﹢a32u3w2﹢a31u3w﹢a30u3﹢a23u2w3﹢a22u2w2﹢a21u2w﹢a20u2﹢a13uw3﹢a12uw2﹢a11uw﹢a10u﹢a03w3﹢a02w2﹢a01w﹢a00或

u,w∈[0,1]式中u,w為參數(shù)。此參數(shù)方程共有16個(gè)系數(shù)，每一系數(shù)都有3個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)分量，因而總共有48個(gè)自由度。上式所描述的曲面片也稱為雙三次曲面片。第71頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三下圖所示為雙三次曲面片的一例。第72頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三實(shí)際上，一個(gè)雙三次曲面片正是由參數(shù)空間相互正交的兩組曲線集組成的，這兩組曲線集分別由參數(shù)u及w來定義。一組曲線包括u=0及u=1這兩條邊界曲線及無窮多條由u=ui決定的中間曲線。與此相似，另一組曲線包括w=0及w=1這兩條邊界曲線以及無窮多條由w=wj決定的中間曲線。8.5.2Coons曲面

在討論Hermite樣條插值曲線時(shí)，我們知道了它是使用兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)值及端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)來決定一條曲線段。與此類似，Coons曲面是使用曲面片角點(diǎn)和角點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)來決定曲面。用表示在角點(diǎn)u=0,w=0點(diǎn)處對(duì)u的偏導(dǎo)數(shù)，即：第73頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三角點(diǎn)處的其它偏導(dǎo)數(shù)與此類似地表示。記：稱為角點(diǎn)信息矩陣。

Hermite樣條曲線是利用Hermite樣條調(diào)和函數(shù)對(duì)邊界條件調(diào)和而生成，而Coons曲面是使用Hermite樣條調(diào)和函數(shù)對(duì)角點(diǎn)信息矩陣進(jìn)行調(diào)合生成曲面。Coons雙三次曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：第74頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三P(u,w)﹦[H(u)][C][H(w)]T﹦[U][Mh][C][Mh]T[W]T其中為Hermite矩陣。[U]=[u3u2u1],[W]=[w3w2w1]為兩個(gè)參數(shù)u,w的矩陣向量。第75頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三角點(diǎn)信息矩陣[C]可分成四組，左上角一組可以代表四個(gè)角點(diǎn)的位置坐標(biāo)，右上角和左下角分別代表邊界曲線在四個(gè)角點(diǎn)處的兩組切線向量。右下角一組則為角點(diǎn)處的混合偏導(dǎo)，也稱為扭矢量。整個(gè)曲面就是由四個(gè)角點(diǎn)的這四組十六個(gè)信息來控制的。其中前三組信息完全決定了四條邊界曲線的位置和形狀。第四組角點(diǎn)扭矢量則與邊界形狀沒有關(guān)系，但它卻影響邊界曲線上中間各點(diǎn)的切線向量，從而影響整個(gè)曲面片的形狀。雙三次Coons曲面的主要缺點(diǎn)是必須給定矩陣[C]中的16個(gè)向量，才能唯一確定曲面片的位置和形狀，而要給定扭矢量是相當(dāng)困難的，因而使用起來不太方便。另外，兩個(gè)曲面片之間的光滑連接也需要兩個(gè)角點(diǎn)信息矩陣中相應(yīng)偏導(dǎo)和混合偏導(dǎo)滿足一定的條件。第76頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.5.3

Bezier曲面

Bezier曲面是由Bezier曲線拓廣而來，它也是以Bernstein函數(shù)作為基函數(shù)，可以構(gòu)造由空間網(wǎng)格的頂點(diǎn)位置來控制的曲面。1．Bezier曲面的數(shù)學(xué)表示式給定(n+1)×(m＋1)個(gè)空間點(diǎn)Pij(i=0,1,...,n；j=0,1,...,m)，Bezier曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

u,w[0,1]上述公式所描述的曲面稱為n×m次Bezier曲面。Pij是P(u,w)的控制頂點(diǎn),Bi,n(u)和Bj,m(w)為Bernstein基函數(shù)。第77頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三依次用線段連接點(diǎn)列Pij(i=0,1,...,n；j=0,1,...,m)中相鄰兩點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格稱為特征網(wǎng)格，如下圖所示。第78頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三2.雙三次Bezier曲面當(dāng)n=m=3時(shí)，得到雙三次Bezier曲面。給定Pij(i=0,1,2,3；j=0,1,2，3)16個(gè)控制點(diǎn)，雙三次Bezier曲面片的表示式為：第79頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三﹦[B(u)][P][B(w)]T﹦[U][Mbe][P][Mbe]T[W]T式中[U]=[u3u2u1],[W]=[w3w2w1]為兩個(gè)參數(shù)u,w的矩陣向量。而是三次Bezier系數(shù)矩陣。第80頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

Bezier曲面是由Bezier曲線交織而成的曲面。曲面生成時(shí)可以通過固定w,變化u得到一簇Bezier曲線；固定u，變化w得到另一簇Bezier曲線。Bezier曲面與Bezier曲線具有相同的性質(zhì)，不同曲面片之間的拼接需要滿足一定的條件。對(duì)于C0連接性只要邊界上的控制點(diǎn)匹配就可獲得，而C1和C2連續(xù)性的條件類似于我們?cè)谇懊嬗懻撨^的Bezier曲線光滑連接時(shí)的條件要求。第81頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三下面，將式P(u,w)﹦[U][Mbe][P][Mbe]T[W]T展開成代數(shù)形式如下：P(u,w)=[U][Mbe][P][Mbe]T[W]T第82頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三=[-u3+3u2-3u+1,3u3-6u2+3u,-3u3+3u2,u3]=[(-u3+3u2-3u+1)P00+(3u3-6u2+3u)P10+(-3u3+3u2)P20+u3P30,(-u3+3u2-3u+1)P01+(3u3-6u2+3u)P11+(-3u3+3u2)P21+u3P31,(-u3+3u2-3u+1)P02+(3u3-6u2+3u)P12+(-3u3+3u2)P22+u3P32,(-u3+3u2-3u+1)P03+(3u3-6u2+3u)P13+(-3u3+3u2)P23+u3P33,]第83頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三=((-u3+3u2-3u+1)P00+(3u3-6u2+3u)P10+(-3u3+3u2)P20+u3P30)(-w3+3w2-3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)P01+(3u3-6u2+3u)P11+(-3u3+3u2)P21+u3P31)(3w3-6w2+3w)+((-u3+3u2-3u+1)P02+(3u3-6u2+3u)P12+(-3u3+3u2)P22+u3P32)(-3w3+3w2)+((-u3+3u2-3u+1)P03+(3u3-6u2+3u)P13+(-3u3+3u2)P23+u3P33)(w3)寫成分量坐標(biāo)的形式為：x(u,w)=((-u3+3u2-3u+1)x00+(3u3-6u2+3u)x10+(-3u3+3u2)x20+u3x30)(-w3+3w2-3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)x01+(3u3-6u2+3u)x11+(-3u3+3u2)x21+u3x31)(3w3-6w2+3w)+((-u3+3u2-3u+1)x02+(3u3-6u2+3u)x12+(-3u3+3u2)x22+u3x32)(-3w3+3w2)+((-u3+3u2-3u+1)x03+(3u3-6u2+3u)x13+(-3u3+3u2)x23+u3x33)(w3)y(u,w)=((-u3+3u2-3u+1)y00+(3u3-6u2+3u)y10+(-3u3+3u2)y20+u3y30)(-w3+3w2-3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)y01+(3u3-6u2+3u)y11+(-3u3+3u2)y21+u3y31)(3w3-6w2+3w)+((-u3+3u2-3u+1)y02+(3u3-6u2+3u)y12+(-3u3+3u2)y22+u3y32)(-3w3+3w2)+((-u3+3u2-3u+1)y03+(3u3-6u2+3u)y13+(-3u3+3u2)y23+u3y33)(w3)z(u,w)=((-u3+3u2-3u+1)z00+(3u3-6u2+3u)z10+(-3u3+3u2)z20+u3z30)(-w3+3w2-3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)z01+(3u3-6u2+3u)z11+(-3u3+3u2)z21+u3z31)(3w3-6w2+3w)+((-u3+3u2-3u+1)z02+(3u3-6u2+3u)z12+(-3u3+3u2)z22+u3z32)(-3w3+3w2)+((-u3+3u2-3u+1)z03+(3u3-6u2+3u)z13+(-3u3+3u2)z23+u3z33)(w3)當(dāng)是平面曲面時(shí)，只有x和y坐標(biāo)分量。第84頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三下面舉幾個(gè)例子：例1：給定16個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)如下：(100,300),(110,180),(120,160),(140,230),(180,200),(190,130),(200,110),(240,170),(310,200),(320,130),(330,110),(370,170),(420,300),(430,180),(450,160),(490,240)。繪制三次Bezier曲面。第85頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次Bezier曲面繪制演示1第86頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三不繪制特征網(wǎng)格曲面演示2第87頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三例2：給定16個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)如下：(100,270),(105,180),(110,160),(155,100),(180,200),(190,130),(200,110),(240,70),(310,200),(320,130),(330,110),(370,70),(420,270),(430,180),(440,160),(490,120)。繪制三次Bezier曲面。三次Bezier曲面曲面繪制演示3第88頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次Bezier曲面曲面繪制演示3第89頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三例3：給定7×7=49個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一凸特征多邊形，其中相鄰3點(diǎn)共線且中間點(diǎn)在中點(diǎn)處，生成一片Bezier曲面。49個(gè)給定點(diǎn)的坐標(biāo)如下：(100,270),(102,225),(105,180),(107,170),(110,160),(132,130),(155,100),(140,235),(141,195),(147,155),(151,145),(155,135),(176,110),(197,85),(180,200),(185,165),(190,130),(195,120),(200,110),(220,90),(240,70),(245,200),(250,165),(255,130),(260,120),(265,110),(285,90),(305,70),(310,200),(315,165),(320,130),(325,120),(330,110),(350,90),(370,70),(365,235),(370,195),(375,155),(380,145),(385,135),(407,115),(430,95),(420,270),(425,225),(430,180),(435,170),(440,160),(465,140),(490,120)第90頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三三次Bezier曲面曲面繪制演示4第91頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三四個(gè)分曲面構(gòu)成整個(gè)曲面演示5第92頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三8.5.4B樣條曲面

B樣條曲面是B樣條曲線的拓廣。1．B樣條曲面的數(shù)學(xué)表示式

給定(n+1)×(m＋1)個(gè)空間點(diǎn)Pij(i=0,1,...,n；j=0,1,...,m)，B樣條曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：u,w[0,1]Pij是P(u,w)的控制頂點(diǎn),Fi,n(u)和Fj,m(w)為B樣條基函數(shù)。如果n=m=3,則由4×4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成特征網(wǎng)格，其相應(yīng)的曲面片稱為雙三次B樣條曲面片。第93頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三2．雙三次B樣條曲面雙三次B樣條曲面應(yīng)用最廣，其表示式為：第94頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三﹦[F(u)][P][F(w)]T﹦[U][Mbs][P][Mbs]T[W]T式中[U]=[u3u2u1],[W]=[w3w2w1]為兩個(gè)參數(shù)u,w的矩陣向量。而是三次B樣條系數(shù)矩陣。第95頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三

B樣條曲面與B樣條曲線具有相同的性質(zhì)。雙三次B樣條曲面片四個(gè)角點(diǎn)不在特征網(wǎng)格的角點(diǎn)上。如果將網(wǎng)格向外擴(kuò)展，曲面也相應(yīng)延伸，而且由于三次B樣條基函數(shù)是二階連續(xù)的，所以雙三次B樣條曲面也達(dá)到二階連續(xù)。第96頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三下面，將式P(u,w)﹦[U][Mbs][P][Mbs]T[W]T展開成代數(shù)形式如下：P(u,w)=[U][Mbs][P][Mbs]T[W]T第97頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三=1/36×[-u3+3u2-3u+1,3u3-6u2+4,-3u3+3u2+3u+1,u3]=1/36×[(-u3+3u2-3u+1)P00+(3u3-6u2+4)P10+(-3u3+3u2+3u+1)P20+u3P30,(-u3+3u2-3u+1)P01+(3u3-6u2+4)P11+(-3u3+3u2+3u+1)P21+u3P31,(-u3+3u2-3u+1)P02+(3u3-6u2+4)P12+(-3u3+3u2+3u+1)P22+u3P32,(-u3+3u2-3u+1)P03+(3u3-6u2+4)P13+(-3u3+3u2+3u+1)P23+u3P33,]第98頁，共111頁，2023年，2月20日，星期三=1/36×(((-u3+3u2-3u+1)P00+(3u3-6u2+4)P10+(-3u3+3u2+3u+1)P20+u3P30)(-w3+3w2-3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)P01+(3u3-6u2+4)P11+(-3u3+3u2+3u+1)P21+u3P31)(3w3-6w2+4)+((-u3+3u2-3u+1)P02+(3u3-6u2+4)P12+(-3u3+3u2+3u+1)P22+u3P32)(-3w3+3w2+3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)P03+(3u3-6u2+4)P13+(-3u3+3u2+3u+1)P23+u3P33)(w3))寫成分量坐標(biāo)的形式為：x(u,w)=

1/36×(((-u3+3u2-3u+1)x00+(3u3-6u2+4)x10+(-3u3+3u2+3u+1)x20+u3x30)(-w3+3w2-3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)x01+(3u3-6u2+4)x11+(-3u3+3u2+3u+1)x21+u3x31)(3w3-6w2+4)+((-u3+3u2-3u+1)x02+(3u3-6u2+4)x12+(-3u3+3u2+3u+1)x22+u3x32)(-3w3+3w2+3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)x03+(3u3-6u2+4)x13+(-3u3+3u2+3u+1)x23+u3x33)(w3))y(u,w)=1/36×(((-u3+3u2-3u+1)y00+(3u3-6u2+4)y10+(-3u3+3u2+3u+1)y20+u3y30)(-w3+3w2-3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)y01+(3u3-6u2+4)y11+(-3u3+3u2+3u+1)y21+u3y31)(3w3-6w2+4)+((-u3+3u2-3u+1)y02+(3u3-6u2+4)y12+(-3u3+3u2+3u+1)y22+u3y32)(-3w3+3w2+3w+1)+((-u3+3u2-3u+1)y03+(3u3-6u2+4)y13+(-3u3+3u2+3u