第六章多維流動(dòng)

第六章多維流動(dòng)第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三§6-1流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析§6-2有旋流動(dòng)§6-3不可壓縮流體連續(xù)性微分方程第六章不可壓縮流體的多維流動(dòng)§6-4無旋流動(dòng)第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三流體由于具有易流動(dòng)特性，因此流體的運(yùn)動(dòng)要比剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的流動(dòng)，無旋流動(dòng)是指的流動(dòng)。實(shí)際上，黏性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，而且有時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)，船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成的旋渦等等。工程中大量存在著的紊流運(yùn)動(dòng)，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三§

6-1流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，任一流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中不但與剛體一樣可以移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式在運(yùn)動(dòng)流體中，在時(shí)刻t任取一正方形流體微團(tuán)，其邊長(zhǎng)分別為dx、dy，設(shè)O點(diǎn)的速度分量分別為ux、uy、其他各點(diǎn)的速度均可利用泰勒級(jí)數(shù)展開并略去二階及以上無窮小量得到：第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三由速度表達(dá)式可見，微團(tuán)上每一點(diǎn)的速度都包含中心點(diǎn)的速度以及由于坐標(biāo)位置不同引起的速度增量?jī)蓚€(gè)組成部分。把中心點(diǎn)的速度ux和uy定義為流體微團(tuán)的平移速度。由于微團(tuán)上的A點(diǎn)和C點(diǎn)x方向有速度差，一段時(shí)間后沿x方向發(fā)生變形。單位時(shí)間，單位長(zhǎng)度的線變形稱為線變形速度。線變形速度用，表示：擴(kuò)展到空間1.線變形第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三2.角變形由于微團(tuán)上的A點(diǎn)和C點(diǎn)y方向有速度差，一段時(shí)間后微團(tuán)沿y方向發(fā)生變形。所以AOC直線繞O點(diǎn)發(fā)生旋轉(zhuǎn)。同樣，BD直線也繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。但旋轉(zhuǎn)角度不同。由A點(diǎn)C點(diǎn)y方向的速度表達(dá)式AOC的旋轉(zhuǎn)角速度為：BOD的旋轉(zhuǎn)角速度為：角速度方向規(guī)定逆時(shí)針為正。第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三由于過O點(diǎn)的直線的旋轉(zhuǎn)角速度不相等，最終正方形流體微團(tuán)變?yōu)榱庑?。整個(gè)變形過程可以分為兩部分：1.流體微團(tuán)繞O點(diǎn)以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)；2.由于各直線角速度不等產(chǎn)生角變形運(yùn)動(dòng)。把對(duì)角線EOF的旋轉(zhuǎn)角速度定義為整個(gè)流體微團(tuán)在xoy面的旋轉(zhuǎn)角速度，用表示。EOF的旋轉(zhuǎn)角速度可看成是AOC和BOD角速度的平均：擴(kuò)展到三維流動(dòng)角速度矢量為第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三把AOC與EOF的夾角的變形速度定義為流體微團(tuán)的角變形速度，記為：擴(kuò)展到三維流動(dòng)一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)由以上四種情況組合而成，已知任意點(diǎn)M0的速度分量，ux0，uy0，uz0，流體微團(tuán)內(nèi)任意點(diǎn)的速度可寫為：第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三將速度分量展開第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分：①以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng)；

②繞通過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；③微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng)（線變形和角變形）。第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三例1已知流速分布ux=-ky,uy=kx,uz=0。求旋轉(zhuǎn)角速度、線變形速度和角變形速度。解：所以線變形速度角變形速度第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三§

6-2有旋流動(dòng)一、有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的定義流體的流動(dòng)是有旋還是無旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來決定的。流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱為有旋流動(dòng)。如果在整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，則稱為無旋流動(dòng)。這里需要說明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三如圖（a）所示，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無旋流動(dòng)；在圖(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng)。流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)ab第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三判斷流體微團(tuán)無旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿足則有由于第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三§

6-3不可壓縮流體連續(xù)性微分方程和一元流連續(xù)性方程相似，在流場(chǎng)中選取邊長(zhǎng)為dx、dy、dz正六面微元控制體。dxdydz設(shè)控制體中心的坐標(biāo)為x、y、z，中心點(diǎn)的速度為ux、uy、uz。左側(cè)中心點(diǎn)沿x方向的流速為：右側(cè)中心點(diǎn)沿x方向的流速為：

dt時(shí)間內(nèi)沿x方向流入和流出的凈體積流量為：第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三同理

dt時(shí)間內(nèi)沿y方向流入和流出的凈體積流量為：dt時(shí)間內(nèi)沿z方向流入和流出的凈體積流量為：對(duì)于不可壓縮流體，dt時(shí)間內(nèi)流入和流出微元控制體的凈體積流量之和應(yīng)為0。

—多維流動(dòng)的不可壓縮流體的連續(xù)性方程。對(duì)于定常和非定常流動(dòng)都適用。第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三§

6-4無旋流動(dòng)在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度ω在任意時(shí)刻處處為零的流動(dòng)稱為無旋流動(dòng)，無旋流動(dòng)也稱為有勢(shì)流動(dòng)。

根據(jù)數(shù)學(xué)分析可知：上式成立是

成為某一函數(shù)

的全微分的充要條件。

稱為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)。

1、空間問題一、速度勢(shì)函數(shù)第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三此時(shí)，速度勢(shì)函數(shù)與速度的關(guān)系：根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù)的全微分可寫成于是得流體不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，只要滿足無旋流動(dòng)條件，必然存在速度勢(shì)函數(shù)。第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三把速度勢(shì)函數(shù)代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程其中同理所以上式稱為拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。所以不可壓縮流體的速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三2、平面問題在不可壓縮流體平面流動(dòng)中，連續(xù)性方程為：旋轉(zhuǎn)角速度也只有ωz分量，如果ωz

為零，即：平面流動(dòng)為無旋流動(dòng)。平面無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)為：平面無旋流動(dòng)的拉普拉斯方程：第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期三【例2】有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布為①該平面流動(dòng)是否滿足連續(xù)性方程；②是否存在速度勢(shì)函數(shù)?若存在，求出其表達(dá)式。【解】（1）由不可壓流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程

該流動(dòng)滿足連續(xù)性方程。（