第二節(jié)二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算

第二節(jié)二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算第1頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三適用范圍第2頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系其中0r<+,02(或

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)xyr(x,y)0第3頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三考慮典型小閉區(qū)域——曲邊四邊形區(qū)域一、二重積分的極坐標(biāo)計(jì)算公式第4頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二重積分的變量從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式第5頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三計(jì)算方法——化為二次定積分(通常先對(duì)后對(duì)積分)第6頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二重積分化為二次積分幾種常見(jiàn)的情形第7頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二重積分化為二次積分幾種常見(jiàn)的情形第8頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二重積分化為二次積分幾種常見(jiàn)的情形第9頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若f≡1則可求得D的面積思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問(wèn)的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、典型例題第11頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例.求其中D：x2+y2

1解：一般,若D的表達(dá)式中含有x2+y2時(shí)，可考慮用極坐標(biāo)積分。0xyx2+y2

1令x=rcos,y=rsin,則x2+y2

1的極坐標(biāo)方程為r=1.由(2)D*:0r1,0

2第12頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三另由幾何意義：第13頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.計(jì)算其中D:x2+y2a2(a>0).解：D如圖,由于D關(guān)于x軸，y軸都對(duì)稱(chēng)，0xyx2+y2

=a2aD1Dr

=a即f(x,y)也關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱(chēng).故第14頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從而，原式注：本題若用直角函標(biāo)計(jì)算，會(huì)遇到而這個(gè)積分是“積不出”的。第15頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.方法二0xyx2+y2

=a2aD1Dr

=a第16頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三方法一例20xyD第17頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2方法二第18頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第19頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第20頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解例3第21頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4第22頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng),被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng).例5第23頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6解第24頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第25頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第26頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第27頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第28頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫(huà)出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫(xiě)出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線(xiàn)被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線(xiàn),后掃積分域)充分利用對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第29頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第30頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.交換積分順序提示:

積分域如圖機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第31頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三計(jì)算二重積分應(yīng)注意的問(wèn)題1、由被積函數(shù)和積分區(qū)域D適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，當(dāng)D是圓域，環(huán)域（或其一部分）或被積函數(shù)為型時(shí)采用極坐標(biāo)系下計(jì)算，否則采用直角坐標(biāo)。適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，第32頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期三適當(dāng)?shù)剡x取積分次序，

2、由積分區(qū)域D的形狀特點(diǎn)適當(dāng)?shù)剡x取積分次序，極坐標(biāo)系下一般先對(duì)r后對(duì)θ積分，直角坐標(biāo)系下一般由X還是Y型區(qū)