數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)之美賞析 論文

數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)之美賞析

【摘要】：數(shù)學(xué)具有和諧之美、對(duì)稱之美、抽象之美等特征，但數(shù)學(xué)美卻蘊(yùn)藏于它所有的抽象符號(hào)、嚴(yán)格語(yǔ)言、演繹體系中。英國(guó)著名數(shù)學(xué)家B-A-W-羅素（1872—1970）曾說過：“數(shù)學(xué)，如果正確的看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面。這種美雖然沒有音樂或繪畫的那些華麗的裝飾，但是它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地”。數(shù)學(xué)就是這樣一門“美而真”的學(xué)科?！娟P(guān)鍵詞】：數(shù)學(xué)和諧之美對(duì)稱之美抽象之美一、和諧之美和諧性是數(shù)學(xué)美基本特征之一。和諧即是典雅。數(shù)學(xué)美的和諧性主要表現(xiàn)形式是統(tǒng)一、有序、對(duì)稱、對(duì)偶等等。古希臘學(xué)者畢達(dá)哥拉斯說：“美就是和諧，整個(gè)天體是一種和諧，宇宙的和諧是由數(shù)構(gòu)成的，因而構(gòu)成了整個(gè)宇宙的美?！痹诿缹W(xué)書刊中所說的整體美、平衡美、對(duì)稱美、以及中和美，其實(shí)都屬于和諧美。它亦是數(shù)學(xué)美的重要表現(xiàn)，即部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。所謂數(shù)學(xué)的“和諧”不僅是宇宙的特點(diǎn)、原子的特點(diǎn)、生命的特點(diǎn)、同時(shí)也是人的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)自然流露出它的和諧。為了追求嚴(yán)謹(jǐn)、追求和諧，數(shù)學(xué)家們一直在努力。德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了“集合論”，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)誕生的標(biāo)志。一切空間圖形都可以簡(jiǎn)化抽象為點(diǎn)、線、面、體，這充分顯示出數(shù)學(xué)和諧之美的規(guī)范，這種美感既是精細(xì)的，又是深?yuàn)W的。和諧的實(shí)例中最負(fù)盛名的是被開普勒稱為歐氏幾何學(xué)兩顆明珠之一的黃金分割。它成為人們普遍喜愛美的比例，并為之廣泛使用。藝術(shù)家利用它塑造了令人贊嘆的藝術(shù)珍品。科學(xué)家利用它創(chuàng)造了豐碩的科技成果。“哪里有黃金數(shù)，哪里就有美”。這圣神的比例值也被抬高了身價(jià)，而被稱為黃金數(shù)了，成了宇宙的美神。人體最優(yōu)美的身段遵循著這個(gè)黃金分割比：

(1) 眼睛的寬度占眼睛所在面部位置的3/10；(2)下巴長(zhǎng)度占臉長(zhǎng)的1/5；

(3)從眼珠到眼眉的距離是臉長(zhǎng)的1/10；

(4)從正面端詳,眼珠豎長(zhǎng)占臉長(zhǎng)的1/14；

(5)鼻部面積占臉整個(gè)面積的5%以下；

(6)嘴站嘴所在臉部寬度的50%；

象征黃金分割的五角星在歐洲也成為一種巫術(shù)的標(biāo)志；就連芭蕾舞藝術(shù)的魅力也離不開它。數(shù)學(xué)美中的和諧美還體現(xiàn)在公式、圖形的對(duì)稱之中。美麗的“雪花”圖案，更顯示出幾何圖形的和諧美。數(shù)量中的和諧，比如：加減乘除的運(yùn)算意義和法則構(gòu)成整體之間的相依、相反關(guān)系。它們既存在著可逆的關(guān)系，又存在著相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系，除法可轉(zhuǎn)化為乘法，乘法也可轉(zhuǎn)化為除法，和諧統(tǒng)一，又各有特點(diǎn)。畢達(dá)哥拉斯有句名言：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形?！倍鴪A和球形正是幾何中對(duì)稱美的杰出體現(xiàn)。圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的，也是關(guān)于過圓心的任意一條直線對(duì)稱。球形既是點(diǎn)對(duì)稱，又是線對(duì)稱，還是面對(duì)稱。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才夠成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美和多彩的生活美。著名的北京人民大會(huì)堂；高聳入云的上海東方電塔；埃及金字塔的縮影；逼真的扇形；銅錢式的圓中有方。不僅幾何中有美，數(shù)學(xué)中的楊輝三角也很美： 1

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真可謂美麗無處不在。二、對(duì)稱之美數(shù)學(xué)的對(duì)稱美分為兩種：一種是數(shù)〔式〕的對(duì)稱性美，要緊表達(dá)在數(shù)〔式〕的結(jié)構(gòu)上，例如，加法的交換律a+b=b+a，乘法的交換律ab=ba，a與b的位置具有對(duì)稱關(guān)系，然而能夠變化的，變化的結(jié)果與原來的位置反而形成一種整齊的美感、均衡感，簡(jiǎn)潔明快，一目了然，從而顯示了它的神奇感、奇妙感。另一種是圖形的對(duì)稱性，整體美、簡(jiǎn)潔美，圖形的對(duì)稱是指組成圖形的部分與部分之間、整體與整體之間的一種統(tǒng)一和諧關(guān)系。例如軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形等，這些圖形勻稱美觀，因此在日常生活中用途特別廣泛，許多建筑師和美術(shù)工作者常常采納一些對(duì)稱圖形，設(shè)計(jì)出漂亮的裝飾圖案。倒影對(duì)稱的建筑物，對(duì)稱的圖案，是隨處可見的。繪畫中利用對(duì)稱，文學(xué)作品中也有對(duì)稱手法。在數(shù)學(xué)中那么表現(xiàn)在幾何圖形中有點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱。在幾何圖形中對(duì)稱的圖形給人以美的享受，而不對(duì)稱的現(xiàn)象中同樣存在著美，這確實(shí)是黃金分割的美或者更深層次的對(duì)稱美。如：一條線段關(guān)于它的中點(diǎn)對(duì)稱，這條線段假設(shè)左端點(diǎn)的坐標(biāo)為0，右端點(diǎn)的坐標(biāo)為1，那么中點(diǎn)在0.5處。又如：大概黃金分割點(diǎn)〔在0.618處〕不是對(duì)稱點(diǎn)，但假設(shè)將左端記為A，右端記為B，黃金分割點(diǎn)記為C，那么AC2=AB·BC而且C關(guān)于中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D也是AB的黃金分割點(diǎn)，因?yàn)?，再進(jìn)一層看，D又是AC的黃金分割點(diǎn)；C是DB的黃金分割點(diǎn)。類似地一直討論下去，這可視為一種連環(huán)對(duì)稱?，F(xiàn)在，設(shè)計(jì)師和藝術(shù)家們差不多利用這一規(guī)律創(chuàng)造出了許多令人心碎的建筑和無價(jià)的藝術(shù)珍寶。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有關(guān)數(shù)與形的對(duì)稱現(xiàn)象極為常見，這種對(duì)稱有的是形象的，有的是抽象的觀念和方法上的對(duì)稱。等邊三角形是關(guān)于它的每條高線的軸對(duì)稱圖形，平行四邊形是關(guān)于它的兩條對(duì)角線交點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形。圓錐、圓柱、圓臺(tái)是關(guān)于它的軸截面的對(duì)稱圖形。代數(shù)中常利用來構(gòu)造一元二次方程，幾何中常利用對(duì)稱思想添加輔助線，數(shù)學(xué)的對(duì)稱美已成為人們研究解決問題的重要思想方法，它的作用越來越顯得重要。帕德嫩神廟的黃金矩形對(duì)稱美是美學(xué)的一個(gè)差不多概念，而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有特別大一部分題目亦是從對(duì)稱性的角度提出來的，如等式兩邊成分相同，式中元素的地位等同等等。善于發(fā)明條件的對(duì)稱性，由此獲得解題思路，并迅速做出工整、正確的解答，是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常使用且行之有效的方法。對(duì)稱美也是數(shù)學(xué)美的一種要緊形式，如一切平面圖形中最美的是圓形，因?yàn)樵诟鱾€(gè)方向上都對(duì)稱，圓完美無缺，所以對(duì)稱美不僅在數(shù)學(xué)形式上，更重要的是讓學(xué)生自覺的運(yùn)用對(duì)稱性質(zhì)解決某些具體問題。在數(shù)學(xué)的進(jìn)展中，由于對(duì)對(duì)稱美的要求與實(shí)際需要相結(jié)合，從而可引出新的概念和新的理論。如，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到無理數(shù)、從實(shí)數(shù)到虛數(shù)等一系列數(shù)域的擴(kuò)充，都與對(duì)稱美的追求緊密相關(guān)。加法的逆運(yùn)確實(shí)是減法，乘法的逆運(yùn)確實(shí)是除法微分的逆運(yùn)確實(shí)是積分，這種逆運(yùn)算的建立，也都與對(duì)稱美相聯(lián)系。三、抽象之美 在繪畫與教學(xué)中，美有客觀標(biāo)準(zhǔn)。畫家講究結(jié)構(gòu)、線條、造型、肌理，而教學(xué)家則講究真實(shí)、正確、新奇、普遍、……

—哈爾莫斯 數(shù)學(xué)雖不研究事物的質(zhì)，但任一事物必有量和形，這樣兩種事物如有相同的量和形，便可用相同的數(shù)學(xué)方法，因而數(shù)學(xué)必然也必須抽象。 我們生活在受精確的數(shù)學(xué)定律制約的宇宙之中，而數(shù)學(xué)正是書寫宇宙的文字(伽利略語(yǔ))。物理、化學(xué)、工程乃至許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中的基本原理，都是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的。萬有引力的思想，歷史上早就有之，但只有當(dāng)牛頓用精確的數(shù)學(xué)公式表達(dá)時(shí)，才成為科學(xué)中最重要、最著名的萬有引力定律。愛因斯坦的廣義相對(duì)論的產(chǎn)生與表達(dá)，也得益于黎曼幾何所提供的數(shù)學(xué)框架和手段。在數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性工作中，抽象分析是一種常用的重要方法，這是基于數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)——抽象性的。數(shù)學(xué)中不少新的概念、新的學(xué)科、新的分支的產(chǎn)生，是通過“抽象分析”得到的。當(dāng)數(shù)學(xué)家的思想變得更抽象時(shí)，他會(huì)發(fā)現(xiàn)越來越難于用物理世界檢驗(yàn)他的直覺。為了證實(shí)直覺，就必須更詳細(xì)地進(jìn)行證明，更細(xì)心地下定義，以及為達(dá)到更高水平的精確性而進(jìn)行的持續(xù)努力，這樣做也使數(shù)學(xué)本身得以發(fā)展了。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性在很大的程度上是源自數(shù)學(xué)的抽象性，換句話說：數(shù)學(xué)概念正是從眾多事物共同屬性中抽象出來的。而對(duì)日益擴(kuò)展的數(shù)學(xué)知識(shí)總體進(jìn)行簡(jiǎn)化、廓清和統(tǒng)一化時(shí)，抽象更是必不可少的。如前所述，微積分的創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茲分別從力學(xué)(研究物體的速度、加速度)和幾何學(xué)(討論曲線的切線)不同角度引入建立同一概念、創(chuàng)立同一學(xué)科——微分學(xué)；而他們又分別從“反運(yùn)算”和“微分求和”不同角度建立另一門學(xué)科——積分學(xué)。這也使微分、積分(微積分)成為一個(gè)不可分離的整體學(xué)科。數(shù)學(xué)的抽象還在于：它不僅能描述現(xiàn)實(shí)生活中的某些必然事物，同時(shí)它還能描述某些偶然事件(這便是“概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的任務(wù))；它不僅能描寫某些精確現(xiàn)象，同時(shí)還能描述大量的模糊現(xiàn)象．1965年美國(guó)數(shù)學(xué)家L．Zadeh所創(chuàng)立的“模糊集合理論”，已成功地應(yīng)用在自動(dòng)控制、模式識(shí)別、經(jīng)濟(jì)活動(dòng)等許多領(lǐng)域?？傊?，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)科學(xué)。它已滲透到包括文學(xué)、音樂、美術(shù)、建筑等各個(gè)領(lǐng)域之中，在科學(xué)技術(shù)生產(chǎn)生活等方面也都有數(shù)學(xué)的用武之地。難怪二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家西爾伯特把數(shù)學(xué)比喻為“一座鮮花盛開的園林”。他鼓勵(lì)我們?nèi)び奶絼?，去向人們介紹這些奇景秀色，去個(gè)共同贊美它！有人說：“數(shù)學(xué)是思維的音樂?！彪m然我們不能用聽覺感知它的節(jié)奏，可是我們可以用大腦體會(huì)它的韻律。事實(shí)上，數(shù)學(xué)與音樂都能凈化人的靈魂，可以讓我們思想清晰、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)練，它們都是思維載體，可以讓我們的思想插上翅膀。偉大的科學(xué)家巴斯德說過：“立志是事業(yè)的大門。”青年人的思想活躍，感想敢干，敢于標(biāo)新立異，這是積極的一面，但，立志之后應(yīng)有踏實(shí)的作風(fēng)，要經(jīng)過各種途徑磨練自己的意志，事無巨細(xì)，干一件事要感到底，不要半途而廢。要看到一條簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)定理從發(fā)現(xiàn)到證明，這期間掩蓋著艱苦復(fù)雜的勞動(dòng)，輕而易舉的成功是沒有的。馬克思有一句名言：“一門科學(xué)，只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算是達(dá)到了真正完善的地步?！痹陲w速發(fā)展的二十一世紀(jì)信息社會(huì)中，數(shù)學(xué)無處不在，也是不可或缺的！【參考文獻(xiàn)】：

[1]吳振奎、吳振奎，《數(shù)學(xué)中的美》，上海教育出版社，