高考復(fù)習(xí)體系-高考母題A-第一論母題-函數(shù) 優(yōu)秀獎

東北師大附中高三數(shù)學(xué)（文、理）第一輪復(fù)習(xí)006函數(shù)（六）函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)（3課時）一．高考考點：1、函數(shù)單調(diào)性的概念及判斷；2、單調(diào)區(qū)間的概念及單調(diào)性的證明；3、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用；4、函數(shù)奇偶性的概念及判斷、應(yīng)用；5、反函數(shù)的概念及求法；6、原函數(shù)與反函數(shù)間的關(guān)系；7、互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系．二．知識點歸納1．函數(shù)的奇偶性（第一冊上61頁）（1）判斷函數(shù)的奇偶性，必須嚴格依照函數(shù)的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：即定義的互逆性進行判斷；（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；反之亦然，因此也可利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性；（第一冊上62頁）（3）奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；（4）若函數(shù)f（x）的定義域為[－a，a]（a＞0），則“f（0）=0”為奇函數(shù)的必要而不充分條件；若函數(shù)f（x）的定義域為，則“f（0）=0”（5*）在公共定義域上，兩個奇函數(shù)（或偶函數(shù)）的和、差仍為奇函數(shù)（偶函數(shù)），兩個奇函數(shù)（偶函數(shù)）的積、商仍為偶函數(shù)；（6*）函數(shù)f（x）與函數(shù)af（x）、有相同的奇偶性；（7）非零常數(shù)函數(shù)f（x）=a（a≠0）是偶函數(shù)；常數(shù)函數(shù)f（x）=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．2．函數(shù)的單調(diào)性（第一冊上58頁）（1）函數(shù)單調(diào)性的定義為：對給定區(qū)間D上的任意x1、x2，如果x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）(或f（x1）＞f（x2）)，則函數(shù)f（x）為這個區(qū)間D上的遞增（減）函數(shù)．這個定義有如下兩種等價形式：設(shè)x1、x2∈[a，b]，那么：幾何意義：增（減）函數(shù)圖象上任意兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））連線的斜率都大于（小于）0．（2）在理解函數(shù)單調(diào)性時，應(yīng)注意以下幾個問題：①單調(diào)性是函數(shù)的一個局部性質(zhì)，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性；②函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，定義中的x1、x2相對于單調(diào)區(qū)間具有任意性，不能用特殊值代替；③函數(shù)的單調(diào)性使得自變量的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“互逆互推”；④f（x）在區(qū)間D1、D2上是增（減）函數(shù)，但不一定在區(qū)間D1∪D2上是增（減）函數(shù)；例如函數(shù)上也是減函數(shù)，但在D1∪D2上不是減函數(shù)．（3）函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)奇函數(shù)在對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法①定義法；②兩個增（減）函數(shù)的和仍為增（減）函數(shù)；一個增（減）函數(shù)與一個減（增）函數(shù)的差是增（減）函數(shù)；③互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性；④如果函數(shù)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間D的任意一個子集上也是增（減）函數(shù)；⑤如果y=f（u）和u=g（x）單調(diào)性相同，那么y=f[g（x）]是增函數(shù)；如果y=f（u）和u=g（x）單調(diào)性相反，那么y=f[g（x）]是減函數(shù)；⑥圖象法．（5）證明函數(shù)的單調(diào)性，一般采用定義法或?qū)?shù)法用定義法，一般采用的步驟是：①在給定的區(qū)間內(nèi)任取兩值x1、x2；②取差f（x1）－f（x2），因式分解或配方；③判斷因式的符號，確定差的符號；④說明函數(shù)的單調(diào)性．導(dǎo)數(shù)法的證明思路是：設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)，如果f/（x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；如果f/（x）＜0，則f（x）為減函數(shù)．⑤掌握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短判斷函數(shù)單調(diào)性的過程．3．周期性（第一冊下51頁）（1）一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期，一般周期函數(shù)的定義域至少一方無界，考慮的是正周期或最小正周期；（2）對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．（3）周期函數(shù)的性質(zhì)①如果總有f（x+a）=f（x）成立，則函數(shù)是周期函數(shù)，且它的一個周期T=a；②如果總有f（x+a）=f（－a）成立，則函數(shù)是周期函數(shù)，且T=2a是它的一個周期．4．反函數(shù)（第一冊上65頁）（2）求一個函數(shù)y=f（x）（x∈A）反函數(shù)的一般步驟：①求函數(shù)y=f（x）的值域；②由y=f（x）求出x=f-1（y）；③x、y互換得到；④確定反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域），并注明；（3），善用之；（4）函數(shù)y=f（x）的圖象和它的反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（5）分段函數(shù)的反函數(shù)求法是先分段求解，再合并．三．應(yīng)用舉例【例1】設(shè)a∈R，（x∈R），（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；（2）當f（x）為奇函數(shù)時，對任意正數(shù)k，解不等式f－1（x）＞log2【例2】設(shè)定義在[－2，2]上的偶函數(shù)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f（1－m）＜f（m），求實數(shù)m的取值范圍．【例3】已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x－2）2（x∈R）有極大值32，（1）求實數(shù)a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．【例4】【例5】定義在（－1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：四．鞏固練習(xí)一．選擇題1．在（－，0）上是減函數(shù)的是（）（A）y=（B）y=log0。5（－x）（C）y=x2+2x（D）y=2．函數(shù)f（x）=，則f（x）是（）（A）奇函數(shù)（B）偶函數(shù)（C）既奇又偶（D）非奇非偶3．函數(shù)y=log（1－x）（x＜1）的反函數(shù)是（）（A）y=1+2－x（x∈R）（B）y=1－2－x（x∈R）（C）y=1+2x（x∈R）（D）y=1－2x（x∈R）4．偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[－4，－1]上是增函數(shù)，下列不等式成立的（）（A）f（－2）＜f（3）（B）f（－）＞f（）（C）f（1）＜f（－3）（D）5．已知（）（A）a＞2（B）a＜－2（C）a＞1（D）a＜－16．若函數(shù)f（x）=3x+5，則f-1（x）的定義域是（）（A）（0，+）（B）（5，+）（C）（6，+）（D）（－，+）二、填空題7．函數(shù)y=0．3|x|的單調(diào)區(qū)間是8．設(shè)函數(shù)f（x）=，x∈，則不等式f－1（x）＜－4的解集9．函數(shù)f（x）與g（x）=（）x的圖象關(guān)于y=x對稱，則f（3x－x2）的增區(qū)間是10．若f（x）為偶函數(shù)，則f（1+）－f（）=11．已知直線y=ax+2與y=3x+b關(guān)于y=x對稱，則a=，b=12．設(shè)偶函數(shù)f（x）在[0，]上遞減，則下列三個函數(shù)從小到大的順序是三．解答題13．判斷下列函數(shù)的奇偶性14．求反函數(shù)15．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（2）證明f（x）=－x3+a（a∈R）在（－，+）上單調(diào)遞減16．已知f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，且F（x）=f（x）+g（x）=（x≠±1），試求f（x）與g（x）的表達式17．已知f（logax）=x+x－1（a＞0且a≠1，x＞0），討論f（x）的單調(diào)性18．設(shè)f（x）是定義在R+上的遞增函數(shù)，且f（xy）=f（x