建筑力學(xué)教學(xué)課件：Chap13靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

1第十三章

靜定結(jié)構(gòu)的位移計算§13-1，2，31、推導(dǎo)結(jié)構(gòu)位移計算一般公式的基本思路⑴討論靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移計算

應(yīng)用剛體體系虛力原理（虛功原理的另一種應(yīng)用——

虛設(shè)力系求剛體體系位移）導(dǎo)出其位移計算公式。⑵討論靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形引起的位移計算

結(jié)構(gòu)中某個微段產(chǎn)生拉伸、剪切、彎曲變形而引起位移，其他部分沒有變形，仍為剛體。仍可應(yīng)用剛體體系虛力原理導(dǎo)出其位移計算公式。⑶討論靜定結(jié)構(gòu)由于整體變形引起的位移計算

應(yīng)用第二步導(dǎo)出的結(jié)構(gòu)中局部變形引起的位移計算公式，再應(yīng)用疊加原理（某微段產(chǎn)生變形而引起位移進(jìn)行積分），即可得到結(jié)構(gòu)由于整體變形引起的位移計算公式。2、結(jié)構(gòu)位移計算概述計算位移的目的：⑴驗算結(jié)構(gòu)的剛度。⑵為超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析打基礎(chǔ)。產(chǎn)生位移的原因：⑵溫度變化材料脹縮；⑶支座沉降、制造誤差。⑴荷載作用。結(jié)構(gòu)的位移與內(nèi)部應(yīng)變：AB無應(yīng)變無應(yīng)變有應(yīng)變位移計算雖是幾何問題，但是用虛功原理解決最方便。3、虛力原理已知，求：Δ。虛功方程設(shè)虛力狀態(tài)——

虛設(shè)力系求剛體體系位移1ABCabABC小結(jié)：⑴形式是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程；⑵在擬求位移方向虛設(shè)一單位力（單位荷載），利用平衡條件求出與已知位移相應(yīng)的支座反力。構(gòu)造一個平衡力系；⑶特點(diǎn)是用靜力平衡條件解決幾何問題。4、支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動不會產(chǎn)生內(nèi)力和變形。代入得到支座移動時的位移計算公式：⑴C點(diǎn)的豎向位移⑵桿CD的轉(zhuǎn)角已知位移，求：ABCD11ABCDABCDab

11⑴沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；⑵代入公式解得，根據(jù)正負(fù)號定出方向。求解步驟：所得負(fù)號表明位移方向與假設(shè)的單位力方向相反。ABhllDECABDEC例13-1：三鉸剛架B支座發(fā)生移動如圖示，求鉸C兩側(cè)桿端的相對轉(zhuǎn)角φ。BA(

c

)§13-4變形體的虛功原理推導(dǎo)位移計算公式的兩種途徑{由變形體虛功原理來推導(dǎo)；由剛體虛功原理來推導(dǎo)－局部到整體。1、局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

在靜定結(jié)構(gòu)局部變形所引起的位移。在桿仵中取微段d

s設(shè)為變形體，分析局部變形所引起的位移。A1虛功方程：例1：懸臂梁在截面

B

處由于某種原因產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角

d（圖a示），試求

A

點(diǎn)在i－

i

方向的位移。由平衡條件：

解：圖

(

a

)

中實際位移狀態(tài)可改用圖

(

b

)來表示。在B處加鉸，把實際位移表示為剛體體系的位移狀態(tài)。B(

a

)

為求未知位移，虛設(shè)力系如圖

(

c

)

示。在A點(diǎn)沿擬求位移方向虛設(shè)單位荷載，在鉸B處還必須虛設(shè)一對彎矩。AB(

b

)BABA1A例13-2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對剪位移d，試求A點(diǎn)在

i－

i方向的位移。例13-3、懸臂梁在截面B

處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d,試求A點(diǎn)在i－

i

方向的位移。BABABA虛功方程：虛功方程：

當(dāng)截面B同時產(chǎn)生三種相對位移時，在

i－

i方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：12、局部變形時的位移公式基本思路：dsRdsdsRds⑴三種變形：在剛性桿中，取微段

ds

設(shè)為變形體，分析局部變形所引起的位移。⑵微段兩端相對位移：1續(xù)基本思路：設(shè)

微段的變形以截面B左右兩端的相對位移的形式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。⑶應(yīng)用剛體虛功原理求位移d－即前例的結(jié)論。3、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式一根桿件各個微段變形引起的位移總和：如果結(jié)構(gòu)由多個桿件組成，則整個結(jié)構(gòu)變形引起某點(diǎn)的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為：或適用范圍與特點(diǎn)：⑵形式上是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：⑴變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。⑵變形原因：荷載與非荷載。⑶結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。⑷材料種類：各種變形固體材料。⑴適于小變形，可用疊加原理。

變形體虛功原理：設(shè)變形體系在力系作用下處于平衡（力狀態(tài)），而該變形體系由于其他原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形（位移狀態(tài)），則力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上所作的虛功W

，恒等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)的變形上所作的虛功，即內(nèi)力虛功，簡寫為外力虛功等于內(nèi)力虛功4、結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟:⑴建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位力；⑵求虛力狀態(tài)下的內(nèi)力及反力表達(dá)式;⑶用位移公式計算所求位移，注意正負(fù)號問題。5、廣義位移的計算

作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)的因素，稱為

廣義力

F

。與位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移Δ。

⑴廣義力是一個力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角β。mβ⑵若廣義力是等值、反向的一對力

F

，F(xiàn)FttABΔBΔA與廣義力相應(yīng)的廣義位移Δ為AB

兩點(diǎn)間距的改變，即AB

兩點(diǎn)的相對位移。⑶若廣義力是一對等值、反向的力偶m，與廣義力相應(yīng)的廣義位移Δ為AB

兩截面的相對轉(zhuǎn)角。ABΔmmAB§13-5靜定結(jié)構(gòu)由于荷載作用下引起的位移計算

在荷載作用下建立的方程，可經(jīng)由荷載內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變過程推導(dǎo)應(yīng)變表達(dá)式。由上面的內(nèi)力計算應(yīng)變，其表達(dá)式由《材料力學(xué)》可知式中：k為截面形狀系數(shù)1.21荷載作用下的位移計算公式：重點(diǎn)在于解決荷載作用下微段的變形的表達(dá)式。⑵桁架⑶拱2、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式⑴梁與剛架

在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計算公式為：在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對位移的影響不容忽略。對于深梁，即h/l較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。⑶組合結(jié)構(gòu)用于彎曲桿用于二力桿拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略。qAB(a)實際狀態(tài)1(b)虛設(shè)狀態(tài)例13-4：試求圖示懸臂梁A點(diǎn)的豎向位移Δ，并比較彎曲變形與剪切變形對位移的影響。設(shè)梁的截面為矩形。解：⑴列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程荷載作用下的位移計算舉例1、梁的位移計算AB⑵將上面各式代入位移公式積分計算Δ彎曲變形引起的位移為剪切變形引起的位移為（矩形截面k=

1.2）懸臂梁A點(diǎn)的豎向位移Δ為⑶比較剪切變形與彎曲變形對位移的影響代入上式設(shè)材料的泊松比，由《材料力學(xué)》可知。設(shè)矩形截面的寬度為b、高度為h，則有。(a)實際狀態(tài)(b)虛設(shè)狀態(tài)例13-5、試計算懸臂柱B

點(diǎn)的水平位移。解：⑴列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程：qAB1⑵將上面各式代入位移公式分段積分計算ABEI1EI2例13-6：試求圖示彎曲剛度為EI的等直梁中點(diǎn)C的豎向位移和B截面轉(zhuǎn)角。CqBAlABCBA1解：⑴列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程⑵將各式代入位移公式計算位移

求：根據(jù)對稱性可知，兩段的積分值相等，故BA1Pl/2l/2EIABx1x2例13-7：求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。解：虛擬單位荷載m=1MP須分段寫x1ADCEFGB0.25l0.25l0.25l0.25l1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5例13-8、計算屋架頂點(diǎn)的豎向位移。2、桁架的位移計算10.50.5-1.58-1.58001.51.51111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0ADDCDE材料桿件lA鋼筋砼鋼CEAEEG§13-6用圖乘法計算梁及剛架的位移

1、圖乘法及其的應(yīng)用條件梁與剛架的位移計算公式（積分法）為：⑴等截面直桿，EI

=常數(shù)；⑵兩個彎矩圖至少有一個是直線。

圖乘法是一種求積分的簡化計算方法，它把求積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積與豎標(biāo)的乘積的運(yùn)算。MiMi=xtgαxy0x0Ay0=x0

tgαyxodA

=

Mkdx位移計算公式（圖乘法）

Mk圖Mi圖dxMkC應(yīng)用圖乘法計算的注意點(diǎn)：⑴y0與A的取值：y0一定取自直線圖形，對應(yīng)取A圖形的形心處。

A則取自另一個圖形，且取A的圖形的形心位置是已知的。⑵若y0與A

在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積A

y0

取正號；若y0

與A

不在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積Ay0取負(fù)號。2、幾種常見圖形的面積和形心的位置二次拋物線A

=

2hl/3二次拋物線A

=

hl/3二次拋物線A

=

2hl/3h三角形A=hl/2頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)hhl/2l/2h2l/3l/33l/4l/45l/83l/8例13-9：試求圖示剛度為EI的簡支梁

B端截面的角位移。qBAlCBA解：⑴畫出兩種狀態(tài)的彎矩圖。⑵圖乘計算：11AB1ABqlAB例13-10：試求圖示剛度為EI的懸臂梁

A端的豎向位移。解：⑴畫出兩種狀態(tài)的彎矩圖。⑵圖乘計算：ABABcdABCD⑴如果兩個圖形都是直線圖形，則y0可取自其中任一圖形。3、應(yīng)用圖乘法時的幾個具體問題⑵如果EI分段為常數(shù)或取y0的圖形為折線時，應(yīng)分段圖乘再疊加。⑶如果圖形比較復(fù)雜，則可將其分解為幾個簡單圖形，分項圖乘計算后再進(jìn)行疊加。ABCDl/3l/3l/3y2y1abA1A2A1A2A3y1y2y3A1A2y2y1非標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形FaFa？例13-11：試求圖示剛度為EI的簡支梁中點(diǎn)C的豎向位移。aaaFFCBACBA1FF例13-12：求圖示懸臂梁C點(diǎn)的撓度。1？FCABABC11ly1y2y3A1A2A3例13-13：求圖示剛度均為EI的剛架結(jié)點(diǎn)B的水平位移。只考慮彎曲變形影響。qllABCl例13-14：預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土墻板單點(diǎn)起吊的計算簡圖。已知：q

=

625N/m,EI=3.6465×104Nm2。求C點(diǎn)的撓度。解：20010.8A1y1A3y3A2y2378q=625N/m2.2m0.8mABC（N

m）（m）41例13-15：試求圖示簡支梁B端截面的角位移。14

kN

m4

kN12

kN

m4m4mEIAB2

kN/m5

kN（kN

m）（m）y1A2y2A1A3y3A4y4128481244（kN

m）y2A2y1A3y311（m）16A1

互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。1、功的互等定理功的互等本質(zhì)上是虛功互等。下圖給出狀態(tài)I和狀態(tài)II。狀態(tài)II狀態(tài)I§13-8互等定理令狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：12abAB12abAB同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：所以即定理：在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。即2、位移互等定理定理：在任一線性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ12。即δ12=δ21狀態(tài)I12abAB狀態(tài)II12abAB由功的互等定理可得：在線性變形體系中，位移Δij與力FPj的比值是一個常數(shù)，記作δij，即：或于是所以狀態(tài)II狀態(tài)I12ABAB12說明：

⑵FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應(yīng)的δ12和δ21就是線位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱上仍然保持相等。

⑴δij也稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。i產(chǎn)生位移的方位；j

產(chǎn)生位移的原因。M1例13-16：驗證位移互等定理。解：FP1=FΔ21Fa/41a/4a/2a/21EI2EIa/2a/212FP2=MM/21所以Δ121/23、反力互等定理

反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu)，因為靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力均等于零。狀態(tài)IC112C2狀態(tài)II12根據(jù)功的互等定理：

在線性變形體系中，反力FRij與Cj的比值為一常數(shù),記作rij，即或所以得FR11FR21FR22FR1