第四章空間點(diǎn)模式方法

第四章空間點(diǎn)模式方法第1頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四提綱4.1空間點(diǎn)模式的概念與空間分析技術(shù)4.2基于密度的方法—樣方計(jì)數(shù)法與核函數(shù)法4.3基于距離的方法4.4G函數(shù)與F函數(shù)4.5K函數(shù)與L函數(shù)4.6K函數(shù)的擴(kuò)展—二元模式與空間-時(shí)間模式第2頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.1空間點(diǎn)模式的概念與空間分析技術(shù)第3頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四空間點(diǎn)模式的概念在地圖上，居民點(diǎn)、商店、旅游景點(diǎn)、流行病、犯罪現(xiàn)場(chǎng)等都表現(xiàn)為點(diǎn)的特征，有些是具體的地理實(shí)體對(duì)象，有些則是曾經(jīng)發(fā)生的事件的地點(diǎn)。離散地理對(duì)象或事件(點(diǎn))的空間分布模式對(duì)于城市規(guī)劃、服務(wù)設(shè)施布局、商業(yè)選址、流行病的控制等具有重要的作用。根據(jù)地理實(shí)體或事件的空間位置研究其分布模式的方法稱為空間點(diǎn)模式，這是一類重要的空間分析方法。第4頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四空間點(diǎn)模式的概念點(diǎn)模式是研究區(qū)域R內(nèi)的一系列點(diǎn)[S1=(X1,Y1),S2=(X2,Y2),…,Sn=(xn,yn)]的組合，其中Si是第i個(gè)觀測(cè)事件的空間位置。研究區(qū)域R的形狀可以是矩形，也可以是復(fù)雜的多邊形區(qū)域。圖4.1是點(diǎn)在研究區(qū)域中的各種分布模式。第5頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四空間點(diǎn)模式的概念在研究區(qū)域中，雖然點(diǎn)在空間上的分布千變?nèi)f化，但是不會(huì)超出從均勻到集中的模式。因此一般將點(diǎn)模式區(qū)分為3種基本類型：聚集分布隨機(jī)分布均勻分布對(duì)于區(qū)域內(nèi)分布的點(diǎn)集對(duì)象或事件，分布模式的基本問(wèn)題是：這些對(duì)象或事件的分布是隨機(jī)的、均勻的，還是聚集的？研究分布的模式對(duì)于探索導(dǎo)致這一分布模式形成的原因非常重要。如果這些點(diǎn)對(duì)象存在類型之分，或者隨時(shí)間產(chǎn)生變化，那么還需要深入研究的問(wèn)題是一類點(diǎn)對(duì)象的分布模式是否依賴于另外一類點(diǎn)對(duì)象的分布模式，或者前期的點(diǎn)模式是否對(duì)后期的點(diǎn)模式產(chǎn)生影響。第6頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四空間點(diǎn)模式的概念從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度，地理現(xiàn)象或事件出現(xiàn)在空間任意位置都是有可能的。如果沒有某種力量或者機(jī)制來(lái)“安排”事件的出現(xiàn)，那么分布模式可能是隨機(jī)分布的，否則將以規(guī)則或者聚集的模式出現(xiàn)。若點(diǎn)模式為規(guī)則或聚集模式，則說(shuō)明地理世界中的事物可能存在某種聯(lián)系。一種現(xiàn)象的分布模式是否對(duì)另一種現(xiàn)象的分布模式產(chǎn)生影響也是點(diǎn)模式需要解決的重要問(wèn)題。第7頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)模式空間分析方法空間點(diǎn)模式的研究一般是基于所有觀測(cè)點(diǎn)事件在地圖上的分布，也可以是樣本點(diǎn)的模式。由于點(diǎn)模式關(guān)心的是空間點(diǎn)分布的聚集性和分散性問(wèn)題，所以形成了兩類點(diǎn)模式的分析方法：第一類是以聚集性為基礎(chǔ)的基于密度的方法，它用點(diǎn)的密度或頻率分布的各種特征研究點(diǎn)分布的空間模式；第二類是以分散性為基礎(chǔ)的基于距離的技術(shù)，它通過(guò)測(cè)度最近鄰點(diǎn)的距離分析占的空間分布模式。第一類分析方法主要有樣方計(jì)數(shù)法和核函數(shù)方法兩種；第二類方法主要有最近鄰距離法，包括最近鄰指數(shù)(NNI)、G-函數(shù)、F-函數(shù)、K-函數(shù)方法等。第8頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)模式空間分析方法對(duì)點(diǎn)模式的空間分析，應(yīng)注意空間依賴性對(duì)分布模式真實(shí)特征的影響。空間依賴性所產(chǎn)生的空間效應(yīng)可能是大尺度的趨勢(shì)，也可能是局部效應(yīng)。大尺度趨勢(shì)稱為一階效應(yīng)，它描述某個(gè)參數(shù)均值的總體變化性；局部效應(yīng)也稱為二階效應(yīng)，它是由空間依賴性所產(chǎn)生的，表達(dá)的是近鄰的值相互趨同的傾向，通過(guò)其對(duì)于均值的偏差計(jì)算獲得。第9頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)模式空間分析方法一階效應(yīng)一般用點(diǎn)過(guò)程密度λ(S)描述，指在點(diǎn)S處單位面積內(nèi)事件的平均數(shù)目(P.J.Diggle,1983)。用數(shù)學(xué)極限公式可定義為：

ds是指在點(diǎn)S周圍一個(gè)足夠小的鄰域；E表示數(shù)學(xué)期望；Y(ds)是ds內(nèi)事件的數(shù)目。第10頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)模式空間分析方法點(diǎn)模式的一階效應(yīng)有兩種分析方法：樣方計(jì)數(shù)法核密度方法樣方計(jì)數(shù)法首先將研究區(qū)域劃分為面積相等的子區(qū)域，即樣方，并根據(jù)每一個(gè)樣方中的事件數(shù)量來(lái)計(jì)算和概括統(tǒng)計(jì)量，然后將計(jì)數(shù)值除樣方的面積得到點(diǎn)分布的密度。樣方計(jì)數(shù)方法給出的是空間點(diǎn)的密度變化，缺點(diǎn)是將信息聚集到面積單元中，引起信息的損失。核密度估計(jì)是使用原始的點(diǎn)位置產(chǎn)生光滑的密度直方圖的方法。第11頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)模式空間分析方法二階效應(yīng)通過(guò)研究區(qū)域中兩個(gè)足夠小的子區(qū)域內(nèi)事件數(shù)目之間的相互關(guān)系來(lái)描述。用數(shù)學(xué)極限公式可表示為

dsi和dsj分別表示si和sj周圍足夠小的鄰；E表示數(shù)學(xué)期望;Y(dsi)、Y(dsj)分別指dsi和dsj兩個(gè)小區(qū)域內(nèi)的事件個(gè)數(shù)。第12頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)模式空間分析方法點(diǎn)模式的二階性質(zhì)通過(guò)點(diǎn)之間的距離進(jìn)行研究，如最近鄰距離。最近鄰距離的估計(jì)有兩種技術(shù)，即隨機(jī)選擇的事件與其最近鄰之間的距離，或隨機(jī)選擇的空間上的位置與最近鄰的事件之間的距離?？臻g依賴性可通過(guò)可視的方式檢查近鄰事件距離的概率分布。聚集事件通常在低值端表現(xiàn)出陡峭的部分，而規(guī)則分布則在高值區(qū)域具有陡峭的曲線形式。K-函數(shù)允許考慮的不僅是最近鄰的事件，還依賴于過(guò)程是各向同性的基本假設(shè)。第13頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)模式的可視化與探索性分析表示空間點(diǎn)模式的最常用的方法是點(diǎn)狀地圖?？臻g點(diǎn)模式的探索性空間數(shù)據(jù)分析的目的在于導(dǎo)出概括的統(tǒng)計(jì)量或畫出觀測(cè)分布以研究特定的假設(shè)，所使用的檢測(cè)方法是一階或二階效應(yīng)。第14頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四完全隨機(jī)模式與點(diǎn)模式建?？臻g點(diǎn)模式分析技術(shù)的目的是解釋觀測(cè)的點(diǎn)模式，分析過(guò)程包括：基于一階或二階性質(zhì)的計(jì)算分析建立完全隨機(jī)模式（CSR）比較或顯著性檢驗(yàn)CSR是建模中的一個(gè)關(guān)鍵過(guò)程，用來(lái)檢驗(yàn)過(guò)程是否是CSR的方法有很多，包括χ2

檢驗(yàn)、K-S檢驗(yàn)，以及蒙特卡羅檢驗(yàn)等方法。第15頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.2

基于密度的方法

—樣方計(jì)數(shù)法與核函數(shù)法第16頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法1.樣方分析的思想樣方分析（Quadratanalysis,QA）是研究空間點(diǎn)模式的最常用的直觀方法?；舅枷胧峭ㄟ^(guò)點(diǎn)分布密度的變化來(lái)探索空間分布模式：一般用隨機(jī)分布模式作為理論上的標(biāo)準(zhǔn)分布；將QA計(jì)算的點(diǎn)密度和理論分布作比較，判斷點(diǎn)模式屬于聚集分布、均勻分布，還是隨機(jī)分布。QA的計(jì)算過(guò)程：首先，將研究的區(qū)域劃分為規(guī)則的正方形網(wǎng)格區(qū)域。其次，統(tǒng)計(jì)落入每一個(gè)網(wǎng)格中點(diǎn)的數(shù)量。由于點(diǎn)在空間上分布的疏密性，有的網(wǎng)格中點(diǎn)的數(shù)量多，有的網(wǎng)格中點(diǎn)的數(shù)量少，還有的網(wǎng)格中點(diǎn)的數(shù)量為零。再次，統(tǒng)計(jì)出包含不同數(shù)量的點(diǎn)的網(wǎng)格數(shù)量的頻率分布。最后，將觀測(cè)得到的頻率分布和已知的頻率分布或理論上的隨機(jī)分布（如泊松分布）作比較，判斷點(diǎn)模式的類型。第17頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法2.樣方分析的方法QA中對(duì)分布模式的判別產(chǎn)生影響的因素有：樣方的形狀，采樣的方式，樣方的起點(diǎn)、方向、大小等，這些因素會(huì)影響到點(diǎn)的觀測(cè)頻次和分布。QA分析中樣方的形狀一般采用正方形的網(wǎng)格覆蓋，但也可定義其它樣方形狀，如圓形、正六邊形等。不管采用何種形狀的樣方，形狀和大小必須一致，以避免在空間上的采樣不均勻。由于QA估計(jì)的點(diǎn)密度隨著空間而變化，保持采樣間隔的一致性非常重要。除規(guī)則網(wǎng)格外，采用固定尺寸的隨機(jī)網(wǎng)格也能夠得到同樣的效果。第18頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法第19頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法樣方方法分析空間點(diǎn)模式時(shí)，樣方的尺寸選擇對(duì)計(jì)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生很大的影響。根據(jù)Greig-Smith于1962年的試驗(yàn)以及Tylor和Griffith、Amrhein的研究，最優(yōu)的樣方尺寸可根據(jù)區(qū)域的面積和分布于其中的點(diǎn)的數(shù)量確定：其中Q是樣方的尺寸(面積)；A為研究區(qū)域的面積；n是研究區(qū)域中點(diǎn)的數(shù)量。這就是說(shuō)最優(yōu)樣方的邊長(zhǎng)取

。第20頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法當(dāng)樣方的尺寸確定后，利用這一尺寸建立樣方網(wǎng)格覆蓋研究區(qū)域，統(tǒng)計(jì)落入每一個(gè)樣方中的點(diǎn)的數(shù)量，統(tǒng)計(jì)包含0，1，2，3，…,個(gè)點(diǎn)的樣方的數(shù)量，建立其頻率分布。根據(jù)觀測(cè)得到的頻率分布和已知點(diǎn)模式的頻率分布的比較，判斷點(diǎn)分布的空間模式。觀測(cè)的頻率分布與己知頻率分布之間差異的顯著性是推斷空間模式的基礎(chǔ)，通常采用Kolmogorov-Simirnov檢驗(yàn)(簡(jiǎn)寫為K-S檢驗(yàn))。第21頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法如用80個(gè)樣方計(jì)算美國(guó)俄亥俄州的164個(gè)城市的分布模式。城市作為點(diǎn)實(shí)體。第22頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法QA計(jì)算的各種模式下不同數(shù)量城市的樣方的頻率分布第23頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法3.樣方分析中點(diǎn)模式的顯著性檢驗(yàn)常用的檢驗(yàn)方法包括：根據(jù)頻率分布比較的K-S檢驗(yàn)，根據(jù)方差均值比的χ2

檢驗(yàn)。1)K-S檢驗(yàn)K-S檢驗(yàn)的基本原理是通過(guò)比較觀測(cè)頻率分布和某一“標(biāo)準(zhǔn)”的頻率分布，確定觀測(cè)分布模式的顯著性。首先假設(shè)兩個(gè)頻率分布十分相似。如果兩個(gè)頻率分布的差異非常小，那么這種差異的出現(xiàn)存在偶然性；而如果差異大，偶然發(fā)生的可能性就小。第24頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法(1)假設(shè)兩個(gè)頻率分布之間不存在顯著性的差異。(2)給定一個(gè)顯著性水平α，例如100次試驗(yàn)中只有5次出現(xiàn)的機(jī)會(huì)，則α=0.05。(3)計(jì)算兩個(gè)頻率分布的累積頻率分布。(4)計(jì)算K-S檢驗(yàn)的D統(tǒng)計(jì)量，即(5)計(jì)算作為比較基礎(chǔ)的門限值，即如果是兩個(gè)樣本模式比較，則(6)如果計(jì)算得出的D值大于Dα=0.05這一閾值，可得出兩個(gè)分布的差異在統(tǒng)計(jì)意義上是顯著的。檢驗(yàn)的基本過(guò)程如下：第25頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法在排除了均勻分布模式的基礎(chǔ)上，還需要進(jìn)一步分析模式是否來(lái)自于隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的點(diǎn)模式。隨機(jī)分布的點(diǎn)模式通過(guò)泊松過(guò)程產(chǎn)生。泊松分布的數(shù)學(xué)公式是:泊松分布的含義為，當(dāng)事件x取值k時(shí)的概率分布。在樣方分析中含義為，當(dāng)研究區(qū)域中有n個(gè)隨機(jī)分布的點(diǎn)時(shí)，恰好有1，2,…,k,…，n個(gè)點(diǎn)落入一個(gè)樣方中的概率。λ=n/m，指平均每個(gè)樣方中包含的點(diǎn)的數(shù)量。第26頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法為簡(jiǎn)化泊松分布的概率計(jì)算，先給出x=0時(shí)的概率，然后給出概率計(jì)算的遞推表達(dá)式：到x=k時(shí)的遞推公式:第27頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法2)方差均值比的X2檢驗(yàn)在比較一個(gè)空間點(diǎn)模式是否與隨機(jī)分布模式相似時(shí)，除了使用K-S檢驗(yàn)外，還可以根據(jù)泊松方程的參數(shù)λ進(jìn)行比較。泊松分布的一個(gè)重要特性是：均值=方差=λ。這就啟示我們可以使用均值和方差的比值作為點(diǎn)模式是否相似于隨機(jī)分布的判斷準(zhǔn)則。定義方差均值比為，這里，如果空間點(diǎn)模式接近于：泊松分布，則R1。第28頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法2)方差均值比的X2檢驗(yàn)為了通過(guò)R推斷點(diǎn)模式是否來(lái)自于泊松過(guò)程，首先假設(shè)m個(gè)樣方中分別有(n1,n2,…nm)個(gè)事件的計(jì)數(shù)，然后用均值和方差比定義一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量I(也稱分散性指數(shù))：對(duì)于CSR，I服從X2m-1分布，根據(jù)樣方計(jì)數(shù)可以方便地計(jì)算I，然后將I和顯著性水平為α的值進(jìn)行比較，推斷點(diǎn)模式是否來(lái)自于CSR。如果I顯著地大于X2m-1，表示聚集分布；如果I顯著地小于X2m-1，表示均勻分布。第29頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法2)方差均值比的X2檢驗(yàn)還可以利用方差均值比定義一個(gè)聚集性指數(shù)ICS(indexofclustersize)判斷點(diǎn)模式的類型。ICS定義為：在CSR中，ICS的期望E(ICS)＝0；如果E(ICS)>0，表示聚集分布模式；如果E(ICS)<O，表示規(guī)則分布模式。第30頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法4.樣方計(jì)數(shù)方法的問(wèn)題理論上可以將觀測(cè)點(diǎn)模式和任何已知特征的點(diǎn)模式作比較。通常先采用視覺觀察的方法，假設(shè)點(diǎn)的分布模式和哪一種特征分布相似，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算和檢驗(yàn)。然而樣方技術(shù)存在一定的限制，樣方方法只能獲得點(diǎn)在樣方內(nèi)的信息，不能獲取關(guān)于樣方內(nèi)點(diǎn)之間的信息，其結(jié)果是樣方分析不能充分區(qū)分點(diǎn)分布模式。第31頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——樣方計(jì)數(shù)法上圖所示的兩個(gè)分布模式，圖中(a)、(b)分別是8個(gè)點(diǎn)在4個(gè)樣方中的分布。在視覺上是兩個(gè)不同的模式，(a)更加分散，(b)非常聚集。使用樣方技術(shù)將產(chǎn)生相同的結(jié)果。原因是樣方技術(shù)不能計(jì)算樣方內(nèi)點(diǎn)之間的空間關(guān)系信息；當(dāng)樣方格網(wǎng)劃定后，人為地割裂了點(diǎn)之間的空間關(guān)系。用點(diǎn)分布的空間關(guān)系信息識(shí)別空間模式的方法是最近鄰方法。第32頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)1.

核密度的概念與方法核密度估計(jì)法(kerneldensityestimation,KDE)認(rèn)為地理事件可以發(fā)生在空間的任何位置上，但是在不同的位置上事件發(fā)生的概率不一樣。點(diǎn)密集的區(qū)域事件發(fā)生的概率高，點(diǎn)稀疏的地方事件發(fā)生的概率低。KDE和樣方計(jì)數(shù)法相比較，KDE更加適合于用可視化方法表示分布模式。第33頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)1.

核密度的概念與方法空間模式在點(diǎn)S上的密度或強(qiáng)度是可測(cè)度的，是通過(guò)測(cè)量在研究區(qū)域中單位面積上的事件數(shù)量來(lái)估計(jì)的。有多種事件密度估計(jì)的方法。最簡(jiǎn)單的方法是在研究區(qū)域中用滑動(dòng)的圓來(lái)統(tǒng)計(jì)落在圓域內(nèi)的事件數(shù)量，再除以圓的面積，就得到估計(jì)點(diǎn)S處的事件密度。設(shè)S處的事件密度為L(zhǎng)(s)，其估計(jì)為^L(s)，則式中，C(s,r)是以點(diǎn)s為圓心、r為半徑的圓域；#表示事件S落在圓域C中的數(shù)量。第34頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)1.

核密度的概念與方法根據(jù)概率理論，核密度估計(jì)的定義為：設(shè)Xl，…，Xn是當(dāng)作從分布密度函數(shù)為f的總體中抽取的樣本，估計(jì)f在某點(diǎn)x處的值f(x)。通常用Rosenblatt-Parzen核估計(jì):k()稱為核函數(shù)；h>0，為帶寬；(x-Xi)表示估值點(diǎn)x到事件Xi處的距離。第35頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)影響KDE的主要因素是k()函數(shù)的數(shù)學(xué)形式和帶寬τ。Scott等1992年的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)研究表明，當(dāng)帶寬τ確定后，不同的核函數(shù)對(duì)密度估計(jì)的影響很小。在實(shí)際工作中，只需要選擇滿足一定條件的核函數(shù)即可。實(shí)踐中常用的核函數(shù)主要為四次多項(xiàng)式函數(shù)和正態(tài)函數(shù)（圖4.6），分別為四次多項(xiàng)式函數(shù)：正態(tài)函數(shù)：τ是核函數(shù)的帶寬；dij是點(diǎn)i至點(diǎn)j之間的距離。1.核密度的概念與方法第36頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)圖4.6兩種常用的核函數(shù)第37頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)根據(jù)上述討論，不難發(fā)現(xiàn)：(1)核函數(shù)k()的值在dij=0時(shí)最大，隨著距離dij的增加，k()值減小。(2)點(diǎn)s處的密度估計(jì)值是已知事件對(duì)于該點(diǎn)的綜合影響。距離大的事件影響??；距離近的事件影響大。(3)核函數(shù)中的帶寬τ確定了事件的影響范圍。1.核密度的概念與方法第38頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)2.關(guān)于KDE中的帶寬τKDE估計(jì)中，帶寬τ的確定或選擇對(duì)于計(jì)算結(jié)果影響很大，

對(duì)τ敏感。一般而言，隨著τ的增加，空間上點(diǎn)密度的變化更為光滑；當(dāng)τ減小時(shí)，估計(jì)點(diǎn)密度變化突兀不平。第39頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)下圖清楚地展示了不同的帶寬選擇對(duì)于點(diǎn)密度分布的影響：第40頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)那么應(yīng)當(dāng)如何選擇τ呢？在具體的應(yīng)用實(shí)踐中，τ的取值是有彈性的，需要根據(jù)不同的τ值進(jìn)行試驗(yàn)，探索估計(jì)的點(diǎn)密度曲面的光滑程度，以檢驗(yàn)τ的尺度變化對(duì)于的影響。τ值還可以自動(dòng)確定。當(dāng)給定事件位置的觀測(cè)模式時(shí)，這一方法能夠在估計(jì)的可靠性和保持空間詳細(xì)程度兩個(gè)方面達(dá)到最佳平衡(Diggle，1983)

。τ很關(guān)鍵第41頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)KDE中的帶寬τ的自適應(yīng)確定前面所考慮的帶寬τ在研究區(qū)域R中是不變的。為了改善估計(jì)的效果，還可以根據(jù)R中點(diǎn)的位置調(diào)整帶寬τ的值，這種τ值的局部調(diào)節(jié)是自適應(yīng)的。自適應(yīng)方法，就是根據(jù)點(diǎn)的密集程度自動(dòng)調(diào)節(jié)τ值的大小。在事件密集的子區(qū)域區(qū)，具有更加詳細(xì)的密度變化信息，τ值應(yīng)小一點(diǎn)；在事件稀疏的子區(qū)域，τ值應(yīng)大一些。自適應(yīng)的KDE可表達(dá)為下面的形式：式中，τ(si)是si鄰域中事件數(shù)量的函數(shù)。第42頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)3.KDE中的邊緣效應(yīng)在KDE中，需要密切注意的是靠近研究區(qū)域R邊界的地地方會(huì)產(chǎn)生扭曲核估計(jì)的邊緣效應(yīng)，因?yàn)樵诳拷吔绲牡胤?，可能位于邊界外的事件?duì)于密度估計(jì)的貢獻(xiàn)被割斷了。避免這一問(wèn)題的方法是在區(qū)域R的周界上建立一個(gè)警戒區(qū)。Kernel估計(jì)只計(jì)算區(qū)域R不落在警戒區(qū)內(nèi)的點(diǎn)，但在警戒區(qū)內(nèi)的事件要參與不在警戒區(qū)內(nèi)的點(diǎn)的Kernel估計(jì)。第43頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)另外，還可以用具有邊緣校正的核估計(jì)方法。第44頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)4.應(yīng)用實(shí)例對(duì)于具有一階密度或平穩(wěn)性的分布模式，KDE是有效的且實(shí)用的檢驗(yàn)方法，并且能夠消除樣方計(jì)數(shù)法中由于樣方的尺寸和形狀等對(duì)局部密度的影響。KDE估計(jì)是測(cè)度局部密度變化、探索事件分布熱點(diǎn)區(qū)域(hotspot)的有效技術(shù)。自Rosenblatt和Parsen分別于1956年和1962年提出核密度估計(jì)方法以來(lái)，這一方法得到了廣泛應(yīng)用。下面的實(shí)例是KDE方法在熱帶氣旋源地分析中的應(yīng)用。第45頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于密度的方法——核函數(shù)1949~2002年臺(tái)風(fēng)源地分布的核密度估計(jì)樣方計(jì)數(shù)法得到的臺(tái)風(fēng)源地年分布第46頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.3基于距離的方法第47頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于距離的方法1.最鄰近距離法最鄰近距離法（也稱為最鄰近指數(shù)法）使用最鄰近的點(diǎn)對(duì)之間的距離描述分布模式，形式上相當(dāng)于密度的倒數(shù)（每個(gè)點(diǎn)代表的面積），表示點(diǎn)間距，可以看作是與點(diǎn)密度相反的概念。最鄰近距離法首先計(jì)算最鄰近的點(diǎn)對(duì)之間的平均距離，然后比較觀測(cè)模式和已知模式之間的相似性。一般將隨機(jī)模式作為比較的標(biāo)準(zhǔn)，如果觀測(cè)模式的最鄰近距離大于隨機(jī)分布的最鄰近距離，則觀測(cè)模式趨向于均勻，如果觀測(cè)模式的最鄰近距離小于隨機(jī)分布模式的最鄰近距離，則趨向于聚集分布。第48頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于距離的方法1.1最鄰近距離最鄰近距離是指任意一個(gè)點(diǎn)到其最鄰近的點(diǎn)之間的距離。利用歐氏距離公式，可容易地得到研究區(qū)域中每個(gè)事件的最鄰近點(diǎn)及其距離，將事件點(diǎn)si的最鄰近距離記為。圖中分布有12個(gè)點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)最鄰近點(diǎn)，例如編號(hào)為1的點(diǎn)的最鄰近點(diǎn)是2，最鄰近距離為3.67。第49頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于距離的方法點(diǎn)對(duì)之間的最鄰近距離不是相互的，即j點(diǎn)是第i個(gè)點(diǎn)的最鄰近點(diǎn)，但i不一定是j的最鄰近點(diǎn)。在點(diǎn)分布模式中必定存在很多的點(diǎn)，其最鄰近點(diǎn)具有相互的最鄰近性。根據(jù)Cox于1981年的研究，在CSR模式中超過(guò)60%的最鄰近是相互的鄰近。第50頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于距離的方法2.最鄰近指數(shù)測(cè)度方法為了使用最鄰近距離測(cè)度空間點(diǎn)模式，1954年Clark和Evans提出了最鄰近指數(shù)法(NNI)。NNI方法:首先對(duì)研究區(qū)內(nèi)的任意一點(diǎn)都計(jì)算最鄰近距離；然后取這些最鄰近距離的均值作為評(píng)價(jià)模式分布的指標(biāo)。對(duì)于同一組數(shù)據(jù)，在不同的分布模式下得到的NNI是不同的，根據(jù)觀測(cè)模式的NNI計(jì)算結(jié)果與CSR模式的NNI比較，就可判斷分布模式的類型。在聚集模式中，由于點(diǎn)在空間上多聚集于某些區(qū)域，因此點(diǎn)之間的距離小，計(jì)算得到的NNI應(yīng)當(dāng)小于CSR的NNI；而均勻分布模式下，點(diǎn)之間的距離比較平均，因此平均的最鄰近距離大，且大于CSR下的NNI。因此通過(guò)最鄰近距離的計(jì)算和比較就可以評(píng)價(jià)和判斷分布模式。第51頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于距離的方法2.最鄰近指數(shù)測(cè)度方法NNI的一般計(jì)算過(guò)程如下:(1)計(jì)算任意一點(diǎn)到其最鄰近點(diǎn)的距離(dmin)。(2)對(duì)所有的dmin按照模式中點(diǎn)的數(shù)量n，求平均距離，即dmin表示每一個(gè)事件到其最鄰近的距離；si為研究區(qū)域中的事件；n是事件的數(shù)量。(3)在CSR模式中同樣可以得到平均的最鄰近距離，其期望為E(dmin)，于是定義最鄰近指數(shù)R為或第52頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于距離的方法

根據(jù)觀測(cè)模式和CSR模式的最鄰近距離或最鄰近指數(shù)，可以對(duì)觀測(cè)模式進(jìn)行推斷，依據(jù)如下:(1)如果robs=rexp,或者R=l，說(shuō)明觀測(cè)事件過(guò)程來(lái)自于完全隨機(jī)模式CSR，屬于隨機(jī)分布。(2)如果robs<rexp,或者R<1，說(shuō)明觀測(cè)事件過(guò)程不是來(lái)自于完全隨機(jī)模式CSR，這種情況表明大量事件點(diǎn)在空間上相互接近，屬于空間聚集模式。(3)robs>rexp,或R>1，同樣說(shuō)明事件的過(guò)程不是來(lái)自于CSR，由于點(diǎn)之間的最鄰近距離大于CSR過(guò)程的最鄰近距離，事件模式中的空間點(diǎn)是相互排斥地—趨向于均勻分布。第53頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于距離的方法3.顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)最鄰近指數(shù)顯著性的一種方法是首先計(jì)算觀測(cè)的平均最鄰近距離和CSR的期望平均距離的差異，并用這一差異和其標(biāo)準(zhǔn)差：作比較。標(biāo)準(zhǔn)差描述了差異完全是偶然發(fā)生的可能性。如果計(jì)算的差異與其標(biāo)準(zhǔn)差比較相對(duì)較小，那么這種差異在統(tǒng)計(jì)上不顯著，即點(diǎn)模式屬于CSR；如果計(jì)算的差異與其標(biāo)準(zhǔn)差比較相對(duì)較大，那么差異在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，即點(diǎn)模式不屬于CSR。理論上得到的標(biāo)準(zhǔn)差SEr為第54頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于距離的方法4.實(shí)例研究第55頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四基于距離的方法4.實(shí)例研究上圖為烏干達(dá)的火山彈坑分布。根據(jù)點(diǎn)的空間位置，得到平均最鄰近距離為對(duì)應(yīng)的CSR模式下的最鄰近距離為計(jì)算最鄰近指數(shù)為由于R大于1，因此火山彈坑的分布屬于均勻分布類型。第56頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.4G函數(shù)與F函數(shù)第57頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四G函數(shù)與F函數(shù)NNI通過(guò)距離概念揭示了分布模式的特征，但是只用一個(gè)距離的平均值概括所有鄰近距離是有問(wèn)題的。在點(diǎn)的空間分布中，簡(jiǎn)單的平均最鄰近距離概念忽略了最鄰近距離的分布信息在揭示模式特征中的作用。G函數(shù)和F函數(shù)就是用最鄰近距離的分布特征揭示空間點(diǎn)模式的方法。這兩個(gè)函數(shù)是一階鄰近分析方法，這兩個(gè)函數(shù)是關(guān)于最鄰近距離分布的函數(shù)。第58頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四G函數(shù)G函數(shù)

G函數(shù)記為G(d)，其使用所有的最鄰近事件的距離構(gòu)造出一個(gè)最鄰近距離的累積頻率函數(shù)：

式中，si是研究區(qū)域中的一個(gè)事件；n是事件的數(shù)量；d是距離；#(dmin(si)≤d)表示距離小于d的最鄰近點(diǎn)的計(jì)數(shù)。第59頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四G函數(shù)G函數(shù)

計(jì)算G(d)的一般過(guò)程如下：(1)計(jì)算任意一點(diǎn)到其最鄰近點(diǎn)的距離(dmin);(2)將所有的最鄰近距離列表，并按照大小排序；(3)計(jì)算最近鄰距離的變程R和組距D，其R=max(dmin)-min(dmin);(4)根據(jù)組距上限值，累積計(jì)數(shù)點(diǎn)的數(shù)量，并計(jì)算累積頻率數(shù)G(d);(5)畫出G(d)關(guān)于d的曲線圖。第60頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四用G函數(shù)分析空間點(diǎn)模式依據(jù)是G(d)曲線的形狀。如果點(diǎn)事件的空間分布趨向聚集，具有較小的最鄰近距離的點(diǎn)的數(shù)量就多，那么G函數(shù)會(huì)在較短的距離內(nèi)快速上升；如果點(diǎn)模式中事件趨向均勻分布，具有較大的最鄰近距離的點(diǎn)的數(shù)量多，那么G函數(shù)值的增加就比較緩慢。即如果G(d)在短距離內(nèi)迅速增長(zhǎng)，表明點(diǎn)空間分布屬于聚集模式；如果G（d）先緩慢增長(zhǎng)后迅速增長(zhǎng)，表明點(diǎn)的空間分布屬于均勻模式。G函數(shù)第61頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四G函數(shù)第62頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四F函數(shù)F函數(shù).F函數(shù)是一種使用最鄰近距離的累積頻率分布描述空間點(diǎn)模式類型的一階鄰近測(cè)度方法，記為F(d)。.F函數(shù)首先在被研究的區(qū)域中產(chǎn)生一新的隨機(jī)點(diǎn)集P(p1,p2,…pi)，其中pi是第i個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的位置。然后計(jì)算隨機(jī)點(diǎn)到事件點(diǎn)S之間的最鄰近距離，再沿用G函數(shù)的思想，計(jì)算不同最鄰近距離上的累積點(diǎn)數(shù)和累積頻率。其計(jì)算公式可表示為：式中，dmin(pi,S)表示從隨機(jī)選擇的pi點(diǎn)到事件點(diǎn)S的最鄰近距離，即計(jì)算任意一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)到其最鄰近的事件點(diǎn)的距離。第63頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四F函數(shù)G函數(shù)與F函數(shù)的差別G函數(shù)主要通過(guò)事件之間的接近性描述分布模式，而F函數(shù)則主要通過(guò)選擇的隨機(jī)點(diǎn)和事件之間的分散程度來(lái)描述分布模式。F函數(shù)曲線和G函數(shù)曲線呈相反的關(guān)系。在F函數(shù)中，若F函數(shù)曲線緩慢增加到最大表明是聚集模式，若F函數(shù)快速增加到最大則表明是均勻分布模式。第64頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四F函數(shù)3.G函數(shù)和F函數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷3.1

CSR過(guò)程中的G和F研究表明，對(duì)于遵循完全隨機(jī)過(guò)程的泊松點(diǎn)過(guò)程，在最鄰近距離變化范圍內(nèi)的某個(gè)距離d內(nèi)，點(diǎn)的數(shù)量均值等于，在最鄰近距離小于等于d時(shí)的累積概率分布為：根據(jù)觀測(cè)模式的函數(shù)曲線與CSR過(guò)程的函數(shù)曲線比較，得到：

(1)當(dāng)G(d)>CSR(G(d))或F(d)<CSR(F(d))時(shí)，聚集分布；

(2)當(dāng)G(d)<CSR(G(d))或F(d)>CSR(F(d))時(shí)，均勻分布。第65頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四F函數(shù)第66頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）當(dāng)G-F曲線位于對(duì)角線的上方時(shí)，點(diǎn)模式是聚集分布。（2）當(dāng)G-F曲線位于對(duì)角線的下方時(shí)，點(diǎn)模式是均勻分布。（3）當(dāng)G-F曲線位于接近于對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)模式是隨機(jī)分布。F函數(shù)第67頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四F函數(shù)3.2顯著性檢驗(yàn)的隨機(jī)模擬方法CSR下的G函數(shù)和F函數(shù)給出了點(diǎn)模式的判據(jù)，其顯著性需要通過(guò)檢驗(yàn)來(lái)推斷。G函數(shù)和F函數(shù)的顯著性檢驗(yàn)一般使用蒙特卡羅隨機(jī)模擬方法。首先在研究區(qū)域R上利用蒙特卡羅隨機(jī)模擬的方法產(chǎn)生m次的CSR點(diǎn)模式，并估計(jì)理論分布，即

式中，(i＝1,2,…,m)是在R區(qū)域上模擬的n個(gè)CSR事件的m次獨(dú)立隨機(jī)模擬，且沒有經(jīng)過(guò)邊緣校正的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的估計(jì)。第68頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四F函數(shù)3.2顯著性檢驗(yàn)的隨機(jī)模擬方法為了評(píng)價(jià)觀測(cè)模式和CSR模式差異的顯著性，需要計(jì)算m次隨機(jī)模擬中分布函數(shù)G的上界U(d)和下界L(d)：計(jì)算得到的模擬m次CSR經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的上界和下界提供了與CSR差異顯著性的方法，得到的概率公式為第69頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四若G(d)函數(shù)曲線位于U(d)的上方，則可推斷觀測(cè)模式顯著聚集；若G(d)函數(shù)曲線位于L(d)曲線的下方，則可推斷觀測(cè)模式為顯著均勻；如果G(d)函數(shù)位于U(d)和L(d)曲線之間，可推斷觀測(cè)模式與CSR無(wú)顯著差別。F函數(shù)第70頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.5K函數(shù)與L函數(shù)第71頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四K函數(shù)與L函數(shù)一階測(cè)度的最鄰近方法僅使用了最鄰近距離測(cè)度點(diǎn)模式，只考慮了空間點(diǎn)在最短尺度上的關(guān)系。實(shí)際的地理事件可能存在多種不同尺度的作用，為了在更加寬泛的尺度上研究地理事件空間依賴性與尺度的關(guān)系，Ripley提出了基于二階性質(zhì)的K函數(shù)方法，隨后，Besage又將K函數(shù)變換為L(zhǎng)函數(shù)。K函數(shù)和L函數(shù)是描述在各向同性或均質(zhì)條件下點(diǎn)過(guò)程空間結(jié)構(gòu)的良好指標(biāo)。第72頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四K函數(shù)1.定義與K函數(shù)估計(jì)點(diǎn)Si的近鄰是距離小于等于給定距離d的所有的點(diǎn)，即表示以點(diǎn)Si為中心，d為半徑的圓域內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量。近鄰點(diǎn)的數(shù)量的數(shù)學(xué)期望記為E(#S∈C(Si,d))，有

E(#S∈C(si,d))表示以si為中心，距離為d的范圍內(nèi)事件數(shù)量的期望。于是，K函數(shù)定義為或者

—顯然，λK(d)就是以任意點(diǎn)為中心，半徑為d的圓域內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量。因此K(d)定義為任意點(diǎn)為中心，半徑d范圍內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量的期望除以點(diǎn)密度。第73頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四K函數(shù)K函數(shù)的估計(jì)K(d)的估計(jì)記為，則有：用代替(a是研究區(qū)域的面積，n是研究區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量)則有或第74頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四K函數(shù)

一般計(jì)算過(guò)程主要分為以下兩步：1)對(duì)于每一個(gè)事件都計(jì)算：a.對(duì)每一個(gè)事件設(shè)置一個(gè)半徑為d的圓；b.計(jì)數(shù)d距離內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量；c.將所有事件d距離的點(diǎn)的數(shù)量求和，然后用n乘以密度除以面積。2)對(duì)任意的距離d重復(fù)執(zhí)行上述過(guò)程，例如1,2,3…個(gè)單位距離等，為了便于算法設(shè)計(jì)，上面的估計(jì)還可以寫成下述形式：式中，第75頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四K函數(shù)K函數(shù)的邊緣效應(yīng)與校正在K函數(shù)的計(jì)算過(guò)程中同樣存在邊緣效應(yīng)問(wèn)題。當(dāng)dij超出研究區(qū)域的范圍時(shí)，需要對(duì)其進(jìn)行校正以消除邊緣效應(yīng)，常采用下列形式：

式中，wij是校正因子。第76頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四K函數(shù)2.K函數(shù)的點(diǎn)模式判別準(zhǔn)則在均質(zhì)條件下，如果點(diǎn)過(guò)程是相互獨(dú)立的CSR，則對(duì)于所有的ρ，有,且有于是比較和就能建立判別空間點(diǎn)模式的準(zhǔn)則。

，表示在d距離上和來(lái)自于CSR過(guò)程的事件的期望值相同。，表示在d距離上點(diǎn)的數(shù)量比期望的數(shù)量更多，于是d距離上的點(diǎn)是聚集的。，表示在d距離上點(diǎn)的數(shù)量比期望的數(shù)量更少，于是d距離上的點(diǎn)是均勻的。第77頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四用K函數(shù)方法計(jì)算的觀測(cè)K（d）曲線和理論曲線相當(dāng)接近，其中在d較小的情況下，觀測(cè)值小于理論值，在距離d較大的情況下，觀測(cè)值大于理論值。K函數(shù)揭示了在不同的空間尺度上分布模式的差異。K函數(shù)第78頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四L函數(shù)K函數(shù)在使用上不是非常方便，對(duì)估計(jì)值和理論值的比較隱含著更多的計(jì)算量，而且K函數(shù)曲線圖的表示能力有限。Besag提出了以零為比較標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)格化函數(shù)(即L函數(shù))，其形式為：于是L(d)的估計(jì)可寫成L函數(shù)不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算，而且更容易比較觀測(cè)值和CSR模式的理論值之間的差異。在L函數(shù)圖中，正的峰值表示點(diǎn)在這一尺度上的聚集或吸引，負(fù)的峰值表示點(diǎn)的均勻分布或空間上的排斥。第79頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四觀測(cè)模式隨著尺度d的變化而變化。在小尺度上表現(xiàn)出一階方法所揭示的均勻性，在較大尺度上表現(xiàn)出的是聚集性。L函數(shù)第80頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.6K函數(shù)方法的擴(kuò)展

—二元模式與空間-時(shí)間模式第81頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期四K函數(shù)方法的擴(kuò)展1.兩元模式與交叉K函數(shù)首先考慮作為背景的總體的自然變異中的聚集性探測(cè)問(wèn)題。設(shè)關(guān)注的第一種類型的事件為案例事件，第二種類型的事件是表示環(huán)境異質(zhì)性的控制事件，案例事件和控制事件分別有n1和n2個(gè)。當(dāng)將這兩個(gè)事件合并在一起，希望n1個(gè)