第十九章 勒讓德多項式 球函數(shù)

第十九章勒讓德多項式球函數(shù)第1頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三第十九章勒讓德多項式球函數(shù)19.1勒讓德方程及其解的表示19.1.1勒讓德方程勒讓德多項式在分離變量法一章中，我們已經(jīng)知道拉普拉斯方程第2頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三

（19.1.1）在球坐標(biāo)系下分離變量后得到歐拉型常微分方程和球諧函數(shù)方程（19.１.2）(19.1.2)式的解與半徑無關(guān)，故稱為球諧函數(shù)，或簡稱為球函數(shù)．第3頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三球諧函數(shù)方程進(jìn)一步分離變量，令得到關(guān)于的常微分方程

（19.1.3）

稱為階連帶勒讓德方程.令

和

把自變數(shù)從換為，則方程（19.1.3）可以化為下列階連帶勒讓德方程

形式的第4頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三

（19.1.4）

若所討論的問題具有旋轉(zhuǎn)軸對稱性，即定解問題的解與無關(guān)，則，即有

（19.1.5）

稱為階勒讓德（legendre）方程．

第5頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三同樣若記，，則上述方程也可寫為下列形式的階勒讓德方程

(19.1.6)

第6頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三19．1．2勒讓德多項式的表示1.勒讓德多項式的級數(shù)表示我們知道：在自然邊界條件下，勒讓德方程的解為

（19.1.7）式中

上式具有多項式的形式，故稱為階勒讓德多項式．勒讓德多項式也稱為第一類勒讓德函數(shù)．第7頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三式（19.1.7）即為勒讓德多項式的級數(shù)表示．注意到,故可方便地得出前幾個勒讓德多項式:

第8頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三勒讓德多項式的圖形可通過計算機(jī)仿真(如MATLAB仿真)得到第9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三計算，這應(yīng)當(dāng)?shù)扔诙囗検降某?shù)項．

如為（即為奇數(shù)）時，

則只含奇

數(shù)次冪，不含常數(shù)項，所以

（19.１.8）

（即為偶數(shù)）時，

則含有常數(shù)項，即

（19.１.7）中

的那一項，所以

（19.１.9）

式中記號

而因此，．第10頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三2勒讓德多項式的微分表示

（19.1.10）

上式通常又稱為勒讓德多項式的羅德里格斯（Rodrigues）表示式．下面證明表達(dá)式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的．【證明】

用二項式定理把展開第11頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三把上式對x求導(dǎo)次．凡是冪次的項在次求導(dǎo)過程中成為零，所以只需保留冪次的項，即的項，應(yīng)取，并且注意到

因此有第12頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三3.勒讓德多項式的積分表示根據(jù)柯西積分公式的高階導(dǎo)數(shù)，并取正方向積分有容易證明微分表示（19.1.10）也可表示為環(huán)路積分形式

（19.1.11）為平面上圍繞并取正方向．這叫作勒讓德多項式的施列夫利積分表示式．點(diǎn)的任一閉合回路，第13頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三式（19.1.11）還可以進(jìn)一步表為下述拉普拉斯積分．

(19.1.12)【證明】

取為圓周，圓心在，半徑為．在上有：并注意到第14頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三代入（19.1.12）得到這即為勒讓德多項式的拉普拉斯積分表示．從該積分還很容易看出

（19.1.13）

第15頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三利用拉普拉斯積分表示（19.1.12），還可以證明

，

（19.1.14）【證明】回到原來的變量，，則如從

第16頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三19.2勒讓德多項式的性質(zhì)19.2.1勒讓德多項式的性質(zhì)

1.勒讓德多項式的零點(diǎn)對于勒讓德多項式的零點(diǎn)，有如下結(jié)論：（i）的個零點(diǎn)都是實(shí)的，且在內(nèi)；（ii）的零點(diǎn)與的零點(diǎn)互相分離．

2.奇偶性根據(jù)勒讓德多項式的定義式，作代換容易得到

（19.2.1）

即當(dāng)為偶數(shù)時，勒讓德多項式為偶函數(shù)，為奇數(shù)時為奇函數(shù)

第17頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三3.勒讓德多項式的正交性及其模不同階的勒讓德多項式在區(qū)間上滿足(19.2.2)其中當(dāng)時滿足，(19.2.3)稱為正交性．相等時可求出其模

(19.2.4)第18頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三下面給出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的證明

【證明】（1）正交性

勒讓德多項式必然滿足勒讓德方程，故有兩式相減，并在[-1,1]區(qū)間上對x積分，得第19頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三因?yàn)樯厦娴仁阶筮叺姆e分值為所以當(dāng)時，必然有

根據(jù)

成立．（2）模（利用分部積分法證明）為了分部積分的方便，把上式的用微分表示給出，則有第20頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三注意到以為級零點(diǎn)，

故其階導(dǎo)數(shù)

必然以為一級零點(diǎn)，從而上式已積出部分的值為零

再進(jìn)行次分部積分，即得

第21頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三是次多項式，其階導(dǎo)數(shù)也就是最高冪項的階導(dǎo)數(shù)為．故

再對上式分部積分一次容易看出已積出部分以為零點(diǎn)．

至此，分部積分的結(jié)果是使的冪次降低一次，的冪次升高一次，且積分乘上一個相應(yīng)的常數(shù)因子．第22頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三繼續(xù)分部積分（計次），即得

故勒讓德多項式的模為

且有

第23頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三4.廣義傅里葉級數(shù)定理19.2.1在區(qū)間[-1,1]上的任一連續(xù)函數(shù),可展開為勒讓德多項式的級數(shù)

（19.2.5）

其中系數(shù)

(19.2.6)在實(shí)際應(yīng)用中,經(jīng)常要作代換,此時勒讓德方程的解為，這時有

(19.2.7)

第24頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三其中系數(shù)為

（19.2.8）19.2.2.勒讓德多項式的應(yīng)用（廣義傅氏級數(shù)展開）

例19.2.1

將函數(shù)按勒讓德多項式形式展開.【解】根據(jù)（19.2.5）設(shè)考慮到

，由(19.2.6)顯然有第25頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三所以例19.2.2

將函數(shù)展開為勒讓德多項式形式

【解】用直接展開法令

，則由

我們知道：第26頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三可設(shè)

考慮到勒讓德函數(shù)的奇偶性，顯然由項的系數(shù)，顯然得出故有

第27頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三下面我們給出一般性結(jié)論：結(jié)論1：設(shè)為正整數(shù)，可以證明：結(jié)論2：根據(jù)勒讓德函數(shù)的奇偶性，若需展開的函數(shù)為奇函數(shù)，則展開式（19.2.5）系數(shù)若需展開的函數(shù)為偶函數(shù)，則展開式（19.2.5）系數(shù)

第28頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三例19.2.3

以勒讓德多項式為基，在[-1,1]區(qū)間上把展開為廣義傅里葉級數(shù)．【解】本例不必應(yīng)用一般公式，事實(shí)上，是三次多項式（注意既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)），設(shè)它表示為第29頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三比較同次冪即得到由此得到例19.2.4(p354-355)第30頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三19.3勒讓德多項式的生成函數(shù)（母函數(shù)）

19.3.1勒讓德多項式的生成函數(shù)的定義

如圖19.2所示，設(shè)在一個單位球的北極放置一帶電量為的正電荷，則在球內(nèi)任一點(diǎn)（其球坐標(biāo)記作）的靜電勢為

（19.3.1）

靜電勢遵從拉普拉斯方程，且以球坐標(biāo)系的極軸為對稱軸，

因此，應(yīng)具有軸對稱情況下拉普拉斯方程一般解(19.2.14)的形式，第31頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三第32頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三即

（19.3.2）

首先不妨研究單位球內(nèi)的靜電勢分布．在球心，電勢應(yīng)該是有限的，故必須取

（19.3.3）

為確定系數(shù)，在上式中令，并注意到則得到

（19.3.4）

第33頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三將上式左邊在的鄰領(lǐng)域上展為泰勒級數(shù)

（19.3.5）

比較（19.3.4）和（19.3.5）即知

于是（19.3.3）成為

(19.3.6)若考慮單位球內(nèi)、球外的靜電勢分布，則有

（19.3.7）

第34頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三

于（19.3.6）中代入，即為

（19.3.8）

因此或叫作勒讓德多項式的生成函數(shù)（或母函數(shù)）

第35頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三19.3.2勒讓德多項式的遞推公式根據(jù)勒讓德多項式的母函數(shù)可以導(dǎo)出勒讓德多項式的遞推公式．

先把（19.3.6）寫成

（19.3.9）

對求導(dǎo)

對上式兩邊同乘以，得

（19.3.10）

第36頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三相反，若對（19.3.8）兩邊對求導(dǎo)上式兩邊同乘以，得將（19.3.8）式代入上式左邊得到

比較上式兩邊項的系數(shù)，得另一含導(dǎo)數(shù)的遞推公式第37頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三將（19.3.9）代入上式左邊對上式，比較兩邊的項的系數(shù)，得即

（19.3.11）上式即為勒讓德多項式的一個遞推公式

第38頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三例19.3.1求

【解】

第39頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三例19.3.2

求積分

【解】利用遞推公式（19.3.11）

．

故有第40頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三19.4連帶勒讓德函數(shù)第41頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三19.5球函數(shù)19.5.1球函數(shù)的方程及其解1.球函數(shù)方程根據(jù)分離變量法，在球坐標(biāo)系中將下列亥姆霍茲方程實(shí)施分離變量

(19.5.1)

式中

第42頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三令

，

則得到由亥姆霍茲方程實(shí)施分離變量所滿足的方程

(19.5.2)與拉普拉斯方程分離變量導(dǎo)出的方程歐拉方程（19.1.1）

(19.5.3)已經(jīng)有所區(qū)別．關(guān)于(19.5.3)的解在貝塞爾函數(shù)部分討論第43頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三而角度部分的解，滿足下列方程

(19.5.4)上式由亥姆霍茲方程實(shí)施分離變量所得的方程（19.5.4）與拉普拉斯方程導(dǎo)出的（19.1.2）球函數(shù)方程具有相同的形式，仍為球函數(shù)（或球諧函數(shù)）．球函數(shù)方程（19.5.4）再分離變量，令得到兩組本征值問題（i）

（19.5.5）本征值為

本征函數(shù)為

第44頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三(ii)

(19.5.6)本征值

本征函數(shù)

在

區(qū)域中求解，

得到與本征值相應(yīng)的本征函數(shù)

實(shí)際上應(yīng)由下列兩個本征函數(shù)之積組成，即為

（19.5.7）其中是變量相應(yīng)于本征值的本征函數(shù)；

是變量相應(yīng)于本征值（對于確定的）的本征函數(shù)

第45頁，共51頁，2023年，2月20日，星期三2.球函數(shù)表達(dá)式（1）復(fù)數(shù)形式的球函數(shù)表達(dá)式為了使得(19.5.7)所表示的函數(shù)系構(gòu)成正交歸一系，必須添加適當(dāng)常系數(shù)，于是定義

(19.5.8)

為球諧函數(shù)的本征函數(shù)（相應(yīng)于本征值，并稱它為球函數(shù)（球諧函數(shù)）表達(dá)式