高中數(shù)學(xué)不等式選修題型全歸納

-.z.6.不等式選講6.1均值不等式在證明中的應(yīng)用〔1〕，求證：；〔2〕實(shí)數(shù)滿足：，試?yán)谩?〕求的最小值?！?〕證：〔當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號〕；〔2〕解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是?？键c(diǎn)：均值不等式在證明中的應(yīng)用、綜合法證明不等式6.2絕對值不等式單絕對值不等式函數(shù)假設(shè)函數(shù)恰有個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.答案：解析：分別作出函數(shù)與的圖像，由圖知，時，函數(shù)與無交點(diǎn)，時，函數(shù)與有三個交點(diǎn)，故當(dāng)，時，函數(shù)與有一個交點(diǎn)，當(dāng)，時，函數(shù)與有兩個交點(diǎn)，當(dāng)時，假設(shè)與相切，則由得：或〔舍〕，因此當(dāng)，時，函數(shù)與有兩個交點(diǎn)，當(dāng)，時，函數(shù)與有三個交點(diǎn)，當(dāng)，時，函數(shù)與有四個交點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)與恰有個交點(diǎn).考點(diǎn)：單絕對值不等式存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________答案：解析：不等式，即，令的圖象是關(guān)于對稱的一個字形圖形，其象位于第一、二象限；，是一個開口向下，關(guān)于軸對稱，最大值為的拋物線；要存在，使不等式成立，則的圖象應(yīng)該在第二象限和的圖象有交點(diǎn)，兩種臨界情況，①當(dāng)時，的右半局部和在第二象限相切：的右半局部即，聯(lián)列方程，只有一個解；即，即，，得：；此時恒大于等于，所以取不到；所以；②當(dāng)時，要使和在第二象限有交點(diǎn)，即的左半局部和的交點(diǎn)的位于第二象限；無需聯(lián)列方程，只要與軸的交點(diǎn)小于即可；與軸的交點(diǎn)為，所以，又因?yàn)?，所以；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是：；故答案為：．考點(diǎn)：單絕對值不等式同系數(shù)絕對值相加型不等式函數(shù)，.〔1〕當(dāng)時，求不等式的解集；〔2〕設(shè)，且當(dāng)時，，求的取值范圍?！?〕當(dāng)時，令，作出函數(shù)圖像可知，當(dāng)時，，故原不等式的解集為；〔2〕依題意，原不等式化為，故對都成立，故，故，故的取值范圍是.考點(diǎn)：同系數(shù)絕對值相加型不等式同系數(shù)絕對值相減型不等式函數(shù)〔1〕證明：〔2〕求不等式的解集?！?〕當(dāng)時，，所以，〔2〕由〔1〕可知當(dāng)時，的解集為空集；當(dāng)時，的解集為當(dāng)時，的解集為綜上：不等式的解集：考點(diǎn)：同系數(shù)絕對值相減型不等式不同系數(shù)絕對值相加減型不等式設(shè)函數(shù)〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設(shè)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〔1〕由題意得當(dāng)時，不等式化為，解得，當(dāng)時，不等式化為，解得，當(dāng)時，不等式化為，解得，綜上，不等式的解集為．〔2〕由〔1〕得，假設(shè)，恒成立，則只需，解得，綜上，的取值范圍為考點(diǎn)：不同系數(shù)絕對值相加減型不等式6.3絕對值不等式解求參數(shù)設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集為，求的值?！?〕當(dāng)時，可化為。由此可得或。故不等式的解集為或。

(2)由得此不等式化為不等式組或即或因?yàn)?，所以不等式組的解集為由題設(shè)可得，故考點(diǎn)：絕對值不等式解求參數(shù)6.4絕對值不等式解的范圍求參數(shù)范圍函數(shù).〔1〕當(dāng)時，求不等式的解集；〔2〕假設(shè)的解集包含，求的取值范圍.

答案：〔1〕當(dāng)時，所以不等式可化為，或，或解得或因此不等式的解集為或〔2〕由即為，也即假設(shè)的解集包含，則，，也就是，，所以，，從而，解得因此的取值范圍為.考點(diǎn)：絕對值不等式解的范圍求參數(shù)范圍、同系數(shù)絕對值不等式相加減6.5含絕對值不等式的恒成立問題函數(shù)，〔1〕假設(shè)對任意的有成立，求的取值范圍；〔2〕假設(shè)不等式，對于任意的都成立，求的取值范圍?！?〕根據(jù)題意,小于等于的最小值由可得所以〔2〕當(dāng)即時，恒成立，當(dāng)時，由絕對值不等式得性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取，恒成立，，，考點(diǎn)：含絕對值不等式的恒成立問題、同系數(shù)絕對值相加型不等式6.6含絕對值不等式的能成立問題函數(shù).(1)求的取值范圍,使為常數(shù)函數(shù).(2)假設(shè)關(guān)于的不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)則當(dāng)時,為常數(shù)函數(shù).(2)方法一:如圖,結(jié)合(1)知函數(shù)的最小值為,實(shí)數(shù)的取值范圍為.方法二:;,等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.得函數(shù)的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)：含絕對值不等式的能成立問題6.7利用絕對值的三角不等式放縮求最值實(shí)數(shù)滿足：求證：．證明：，由題設(shè)..考點(diǎn)：絕對值的三角不等式6.8數(shù)形結(jié)合在含參絕對值不等式中的應(yīng)用函數(shù)．〔1〕求的解集；〔2〕設(shè)函數(shù)，，假設(shè)對任意的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〔1〕，，即,①或②或③解得不等式①：；②：無解；③：，所以的解集為或．〔2〕即的圖象恒在圖象的上方，可以作出的圖象，而圖象為恒過定點(diǎn)，且斜率變化的一條直線，作出函數(shù)圖象，其中，，由圖可知，要使得的圖象恒在圖象的上方，實(shí)數(shù)的取值范圍應(yīng)該為．考點(diǎn)：同系數(shù)絕對值不等式相加型、數(shù)形結(jié)合在含參絕對值不等式中的應(yīng)用7.證明不等式的根本方法7.1比擬法證明不等式設(shè)不等式的解集是，．〔1〕試比擬與的大小；〔2〕設(shè)表示數(shù)集的最大數(shù)．求證：答案：〔1〕〔2〕見解析解析：〔1〕先解出.問題得證.〔2〕可知,所以根據(jù)不等式的性質(zhì)，同向正向不等式具有可乘性，從而可證出.故.考點(diǎn)：比擬法證明不等式7.2綜合法證明不等式7.3分析法證明不等式,不等式的解集為.〔1〕求；〔2〕當(dāng)時,證明:.〔1〕解不等式：；或或或或，.

〔2〕需證明：，只需證明，即需證明，所以原不等式成立.

考點(diǎn)：分析法證明不等式7.4反證法證明不等式設(shè)且證明：〔1〕；〔2〕與不可能同時成立.由，得〔1〕由根本不等式及，有，即；〔2〕假設(shè)與同時成立，則由及得，同理，從而，這與矛盾，故與不可能同時成立.考點(diǎn)：反證法證明不等式、均值不等式在證明中的應(yīng)用8.5放縮法證明不等式(多為數(shù)列的題)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)，記數(shù)列的前和為，證明：．【答案】〔1〕；〔2〕詳見解析.【解析】試題分析：〔1〕考慮到，因此可以利用條件中的式子得到數(shù)列的一個遞推公式，從而即可求解；〔2〕由〔1〕可知，，從而可證，進(jìn)一步放縮可得，求和即可得證.試題解析：〔1〕∵，當(dāng)時，，又∵，與兩邊分別相減得，得，又∵，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，得；∵，∴，，得，又∵，∴，∴.9.