大學(xué)物理剛體的定軸轉(zhuǎn)動知識題及答案解析

第4章剛體的定軸轉(zhuǎn)動習(xí)題及答案1．剛體繞一定軸作勻變速轉(zhuǎn)動，剛體上任一點是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否隨時間變化？答：當(dāng)剛體作勻變速轉(zhuǎn)動時，角加速度0不變。剛體上任一點都作勻變速圓周運動，因此該點速率在均勻變化，v-1?，所以一定有切向加速度a=/0，其大小不變。又因該點速度的方向變化，t所以一定有法向加速度a二I?2，由于角速度變化，所以法向加速度的大小也在變化。n2.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律和質(zhì)點系的動量矩定理是什么關(guān)系？答：剛體是一個特殊的質(zhì)點系，它應(yīng)遵守質(zhì)點系的動量矩定理，當(dāng)剛體繞定軸Z轉(zhuǎn)動時，動量矩定理的形式為M=牛，M表示剛體對Z軸的合外力矩，L表示剛體對Z軸的動量矩。TOC\o"1-5"\h\zzdtz zL=（Sml2）?=I?，其中I工ml2丿，代表剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量，所以z ii iidLd d?M=—^={I?）=I =10。既M=邛。\o"CurrentDocument"zdtdt dt z所以剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律是質(zhì)點系的動量矩定理在剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時的具體表現(xiàn)形式，及質(zhì)點系的動量矩定理用于剛體時在剛體轉(zhuǎn)軸方向的分量表達(dá)式。3．兩個半徑相同的輪子，質(zhì)量相同，但一個輪子的質(zhì)量聚集在邊緣附近，另一個輪子的質(zhì)量分布比較均勻，試問：（1）如果它們的角動量相同，哪個輪子轉(zhuǎn)得快？（2）如果它們的角速度相同，哪個輪子的角動量大？答:（1）由于L=I?，而轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布有關(guān)，半徑、質(zhì)量均相同的輪子，質(zhì)量聚集在邊緣附近的輪子的轉(zhuǎn)動慣量大，故角速度小，轉(zhuǎn)得慢，質(zhì)量分布比較均勻的輪子轉(zhuǎn)得快；（2）如果它們的角速度相同，則質(zhì)量聚集在邊緣附近的輪子角動量大。4．一圓形臺面可繞中心軸無摩擦地轉(zhuǎn)動，有一玩具車相對臺面由靜止啟動，繞軸作圓周運動，問平臺如何運動？如小汽車突然剎車，此過程角動量是否守恒？動量是否守恒？能量是否守恒？答：玩具車相對臺面由靜止啟動，繞軸作圓周運動時，平臺將沿相反方向轉(zhuǎn)動；小汽車突然剎車過程滿足角動量守恒，而能量和動量均不守恒。5?一轉(zhuǎn)速為1200ymin的飛輪，因制動而均勻地減速，經(jīng)10秒后停止轉(zhuǎn)動，求：飛輪的角加速度和從開始制動到停止轉(zhuǎn)動，飛輪所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；開始制動后5秒時飛輪的角速度。解：(1)由題意飛輪的初角速度為①=2兀n=40兀(rads)飛輪作均減速轉(zhuǎn)動，其角加速度為TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"①一①0-40k ” …p=o= =—4兀rad/s2At 10故從開始制動到停止轉(zhuǎn)動，飛輪轉(zhuǎn)過的角位移為A0=①At+BAt2=200krad0 2因此，飛輪轉(zhuǎn)過圈數(shù)為A0/2k=100圈。(2)開始制動后5秒時飛輪的角速度為o=o+PAt=40k-4kx5=20k(rads)6?如圖所示，一飛輪由一直徑為d(m),厚度為a(m)的圓盤和兩個直徑為d(m),長為L(m)的21共軸圓柱體組成，設(shè)飛輪的密度為p(kg/m3),求飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量。||La||La解：如圖所示，根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的可加性，飛輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量可視為圓盤與兩圓柱體對同軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。由此可得I=I+1121 d 1d=2x—m(—)2+m(t)2\o"CurrentDocument"2i2 222\o"CurrentDocument"1 d d 1 d d=2X—xp兀(T)2Lx(-1)2+xp兀(一2)2ax(—2)2\o"CurrentDocument"2 2 2 2 2 2=Kp(L-4+a-4)(kg-m2)\o"CurrentDocument"16 i2 27.如圖所示，一半徑為r，質(zhì)量為m］的勻質(zhì)圓盤作為定滑輪，繞有輕繩，掛一質(zhì)量為m2的重物，求重物下落的加速度。解：設(shè)繩中張力為T對于重物按牛頓第二定律有繩上mg-T=ma22(1)對于滑輪按轉(zhuǎn)動定律有Tr=2mr邙(2)由角量線量關(guān)系有3)聯(lián)立以上三式解得8.如圖所示，兩個勻質(zhì)圓盤同軸地焊在一起，它們的半徑分別為r1Sr2，質(zhì)量為m和m?，可繞過(1)(2)(1)(2)盤心且與盤面垂直的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，兩輪上繞有輕繩，各掛有質(zhì)量為m和m的重物，求輪的角3解：設(shè)連接m3的繩子中的張力為T1，連接m4的繩子中的張力為T2。對重物m按牛頓第二定律有mg-T=ma3 3 1 33對重物m按牛頓第二定律有T-mg=ma4 2 4 44對兩個園盤，作為一個整體，按轉(zhuǎn)動定律有(3)由角量線量之間的關(guān)系有(4)(5)a=rp(4)(5)31a=rp42聯(lián)立以上五式解得mr一mrp= 131 4^ mr2+mr2+mr2+mr22 11 2 22 31 42如圖所示，一半徑為R,質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤，以角速度3繞其中心軸轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將它平放在一水平板上，盤與板表面的摩擦因數(shù)為P。（1） 求圓盤所受的摩擦力矩；（2） 問經(jīng)過多少時間后，圓盤轉(zhuǎn)動才能停止？解：分析：圓盤各部分的摩擦力的力臂不同，為此，可將圓盤分割成許多同心圓環(huán)，對環(huán)的摩擦力矩積分即可得總力矩。另由于摩擦力矩是恒力矩，由角動量定理可求得圓盤停止前所經(jīng)歷的時間。（1）圓盤上半徑為r、寬度為d啲同心圓環(huán)所受的摩擦力矩為mdM=一卩( -2兀rdr)g-r=-2r2^mgdr/R2兀R2負(fù)號表示摩擦力矩為阻力矩。對上式沿徑向積分得圓盤所受的總摩擦力矩大小為M丿dM十十=2“mgR

(2)由于摩擦力矩是一恒力矩，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量I=—mr2，由角動量定理可得圓盤停止的^2時間為At=U=3^RM 4卩g飛輪的質(zhì)量m二60kg，半徑R二0.25m，繞其水平中心軸O轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為900rev?min-1.現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力F，可使飛輪減速?已知閘桿的尺寸如題4-10圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)卩=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計算?試求:(1)設(shè)F二100N,問可使飛輪在多長時間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動?在這段時間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)?(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力F?解:⑴先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b))?圖中N、N'是正壓力，F(xiàn)、F'是摩擦力，F(xiàn)和Fy是桿在A點轉(zhuǎn)軸處所受支承力，R是輪的重力，p是輪在0軸處所受支承力.桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對A點的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計，則有l(wèi)+l12F(l+1)—N7二0N二—F-i l121對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有0-FR/1對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有0-FR/1，式中負(fù)號表示0與r角速度?方向相反.N二N'又???二pN'二pl1+12Fl1I=mR2,2FR—2p(l+1)卩

—r= 12FI mRl1以F=100N等代入上式，得P=-2X°.40X(0-50+°75)X100=—40rad?s—260x0.25x0.50 3由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動的時間為t一字二900X2KX3二7.06sP60x40這段時間內(nèi)飛輪的角位移為型竺X9一1X40X(9兀)260 4 2 3 4=53.1x2兀rad可知在這段時間里，飛輪轉(zhuǎn)了53.—轉(zhuǎn)．2兀⑵①0=900X麗rad-s一1，要求飛輪轉(zhuǎn)速在在=2s內(nèi)減少一半，可知——①2 0 ① 15兀 」P= =一一0=— rad-s—2t 2t 2用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動力為mRlPF=— — 2卩(1+1)

—260x0.25x0.50x15兀_2x0.40x(0.50+0.75)x2=177N如圖所示，主動輪A半徑為q，轉(zhuǎn)動慣量為￡，繞定軸O—轉(zhuǎn)動；從動輪B半徑為r2，轉(zhuǎn)動慣量為佇，繞定軸O2轉(zhuǎn)動；兩輪之間無相對滑動。若知主動輪受到的驅(qū)動力矩為M，求兩個輪的角對從動輪按轉(zhuǎn)動定律有

(2)(2)由于兩個輪邊沿速率相同，有r1B1=r2B2 (3)聯(lián)立以上三式解得Mr2cIr2+Mr2cIr2+1r21221B= 1^——iIr2+1r21221固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸OOo轉(zhuǎn)動?設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R和r，質(zhì)量分別為M和m?繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體m和m相連，m和m則掛1212在圓柱體的兩側(cè)，如題4-12(a)圖所示.設(shè)R二0.20m,r二0.10m,m二4kg,M二10kg,m二1m二2kg,且開始時m,m離地均為h二2m.求：212(1)柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；(2)兩側(cè)細(xì)繩的張力.解：設(shè)腫2和b解：設(shè)腫2和b分別為mm2和柱體的加速度及角加速度方向題4-i2(b)圖.⑴mim2和柱體的運動方程如下:1「HIT-mg=ma2222TR-Tr=IB12

式中T=T,T'=T,a=rp,a=Rp112221I=MR2+mr222由上式求得Rm-rmp= + 2g+mR2+mr2120.2x2-0.1x2=T 1 x9.8x10x0.202+x4x0.102+2x0.202+2x0.1022=6.13rad-s-2(2)由①式T=mrP+mg=2x0.10x6.13+2x9.8=20.8N222由②式T=mg-mRp=2x9.8-2x0.2.x6.13=17.1N111一質(zhì)量為m、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動?另一質(zhì)量為m0的子彈以速度v0射入輪緣(如題2-31圖所示方向).(1)開始時輪是靜止的，在質(zhì)點打入后的角速度為何值?解:(1)射入的過程對o軸的角動量守恒(2)用m?m0解:(1)射入的過程對o軸的角動量守恒Rsin0mv=(m+m)R2①000mvsin0①=—^-9(m+m)R0(2)E kE(2)E kEk0[(m+m)R2][2 0mvsin0^-0 ]2(m+m)Rmv2200msin20=—0 m+m0如圖所示，長為I的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎12直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為31和-1.輕桿原來靜止在豎直位置.今有一質(zhì)量為m的小球，以水平速度f與桿下端小球m作對心碰撞，碰后以1f的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速020度.解：碰撞過程滿足角動量守恒：所以21230 2032 1 2I=m(1)2+2m(—1)2=ml2\o"CurrentDocument"3 3 30mv1=解：碰撞過程滿足角動量守恒：所以21230 2032 1 2I=m(1)2+2m(—1)2=ml2\o"CurrentDocument"3 3 30mv1=0—ml2?由此得到：3v?=—0212m11321315.如圖所示人和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上設(shè)兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為JA二10kg?m2和JB二20kgm2?開始時，A輪轉(zhuǎn)速為600rev/min,B輪靜止.C為摩擦嚙合器，其轉(zhuǎn)動慣量可忽略不計.A、B分別與C的左、右兩個組件相連，當(dāng)C的左右組件嚙合時，B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速相等為止.設(shè)軸光滑，求：兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速n;兩輪各自所受的沖量矩.AB解：(1)兩輪嚙合過程滿足角動量守恒：所以I??=——A_A—I+IAB因為In 10x600 .n=aA= =200r/mmI+1 10+20AB(2)兩輪各自所受的沖量矩：2兀x20020k ,/末角速度：?=2nK= = rad/s60A輪各所受的沖量矩:AL=AL=I①一I①AA0600、 400k)=-—60 3=-4.19x1。2(N-m-s)B輪各所受的沖量矩:20k 400kAL=I①一I①=20x( -0)= =-4.19x102(N-m-s)BB0 3 316.有一半徑為R的均勻球體，繞通過其一直徑的光滑固定軸勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動周期為T.如它的半0徑由R自動收縮為-R，求球體收縮后的轉(zhuǎn)動周期?(球體對于通過直徑的軸的轉(zhuǎn)動慣量為J二2mR22/5，式中m和R分別為球體的質(zhì)量和