等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式

等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式第1頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三數(shù)學(xué)課堂復(fù)習(xí)回顧問(wèn)題呈現(xiàn)例題講解小結(jié)與作業(yè)第2頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三復(fù)習(xí)回顧(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:

已知首項(xiàng)a1和公差d,則有:

an=a1+(n-1)d

已知第m項(xiàng)am和公差d,則有:

an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）

(2)等差數(shù)列的性質(zhì):

在等差數(shù)列﹛an﹜中,如果m+n=p+q

(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq返回第3頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛(ài)妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見(jiàn)左圖），奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題1下一頁(yè)第4頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問(wèn)題，不能簡(jiǎn)單模仿偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求和的辦法，需要把中間項(xiàng)11看成首、尾兩項(xiàng)1和21的等差中項(xiàng)。通過(guò)前后比較得出認(rèn)識(shí)：高斯“首尾配對(duì)”的算法還得分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況求和。有無(wú)簡(jiǎn)單的方法？

下一頁(yè)第5頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。下一頁(yè)第6頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191獲得算法：下一頁(yè)第7頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問(wèn)題2一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？

問(wèn)題就是求“1+2+3+4+…+100=？”下一頁(yè)第8頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

問(wèn)題2：對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時(shí)曾很快求出它的結(jié)果。（你知道應(yīng)如何算嗎？）

這個(gè)問(wèn)題，可看成是求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…的前100項(xiàng)的和。假設(shè)1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100個(gè)101所以x=5050.高斯下一頁(yè)第9頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問(wèn)題3:求:1+2+3+4+…+n=?記:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1下一頁(yè)第10頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…它的前n項(xiàng)和是

Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序顛倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

Sn=n(a1+an)/2

下面將對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行推導(dǎo)下一頁(yè)第11頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三即前n項(xiàng)的和與首項(xiàng)末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)有關(guān)若已知a1，n，d，則如何表示Sn呢？因?yàn)?/p>

an=a1+（n-1）d所以

Sn=na1+n(n-1)d/2下一頁(yè)下一頁(yè)第12頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由此得到等差數(shù)列的{an}前n項(xiàng)和的公式即：等差數(shù)列前n項(xiàng)的和等于首末項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫(xiě)成由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。正所謂：知三求二下一頁(yè)第13頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【說(shuō)明】①推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的方法叫

；②{an}為等差數(shù)列

，這是一個(gè)關(guān)于

的

沒(méi)有

的“

”

倒序相加法Sn=an2+bnn常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)（注意a還可以是0）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式補(bǔ)充知識(shí)下一頁(yè)第14頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【公式記憶】用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，這里對(duì)圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式類同于

；梯形的面積公式n返回第15頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1．某長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員7天里每天的訓(xùn)練量（單位：m）是：

,8000,8500,9000,9500,10000,10500這位運(yùn)動(dòng)員7天共跑了多少米？解：這位長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員每天的訓(xùn)練量成等差數(shù)列，記為｛an},其中a1=7500,a7=10500.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得答：這位長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員7天共跑了63000m.下一頁(yè)第16頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2等差數(shù)列-10，-6，-2，

2，…前多少項(xiàng)的和是54？

本題實(shí)質(zhì)是反用公式，解一個(gè)關(guān)于n的一元二次函數(shù)，注意得到的項(xiàng)數(shù)n必須是正整數(shù).下一頁(yè)第17頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：將題中的等差數(shù)列記為｛an｝，sn代表該數(shù)列的前n項(xiàng)和，則有a1=－10,d=－6－(－10)=4根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差數(shù)列－10,－6,－2,2，．．．前9項(xiàng)的和是54.設(shè)該數(shù)列前n項(xiàng)和為54

下一頁(yè)第18頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3

求集合M={m|m=7n,n是正整數(shù),且m<100}的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和.解:由7n<100得n<100／7,由于滿足它的正整數(shù)n共有14個(gè),∴集合M中的元素共有14個(gè).即7,14,21,…,91,98.這是一個(gè)等差數(shù)列,各項(xiàng)的和是答:

集合M中的元素共有14個(gè),它們的和為735.=735返回第19頁(yè)，共21頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

1.推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法小結(jié)：2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想.