中考教育數(shù)學(xué)中的時(shí)鐘問題

科學(xué)探究活動：鐘表里的數(shù)學(xué)

同學(xué)們，我們每天的日常生活都離不開表，但是你們知道表中還隱藏著什么樣的有趣的數(shù)學(xué)知識嗎？讓我們一起研究研究。

不知你是否觀察過鐘表上的時(shí)針和分針，它們總是成一定角度。那么，你是否知道它們什么時(shí)候重合？什么時(shí)候成一條直線？什么時(shí)候成直角？其中有什么規(guī)律？

問題一：

這類問題實(shí)際上是分針追時(shí)針的追擊問題，它的公式是：(1).兩針重合時(shí)的位置:圖一圖二

我們知道兩表針在12:00時(shí)會重合(如圖一),設(shè)下一次重合位置為圖二,時(shí)針走過的路程用黃線表示,分針走過的路程用紅線+棕紅線表示,追及路程S為綠線所示，恰為一周。S解法一：取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則解法二：

取鐘表上的一大格（即一小時(shí)）為單位路程，則結(jié)果相同。根據(jù)以上計(jì)算，每隔分時(shí)針和分針重合一次。在一天中它們重合的次數(shù)是：它們的位置分別是：(2).兩針成一線時(shí)的位置:圖一

我們知道兩表針在6:00時(shí)會成與一線(如圖一),設(shè)下一次成一線的位置為圖二,時(shí)針走過的路程用黃線表示,分針走過的路程用紅線+棕紅線表示,追及路程S為綠線所示，恰好為一周，因此，此問題的解答與(1)完全類似。即每隔分時(shí)針和分針成一線，一天內(nèi)表針將22次成一線。圖二S(3).兩針垂直時(shí)的位置:

兩表針在3:00時(shí)垂直(如圖一),設(shè)下一次垂直的位置為圖二,時(shí)針走過的路程用黃線表示,分針走過的路程用紅線表示,追及路程S為綠線所示。由于藍(lán)角與綠角互補(bǔ)，紅角也與綠角互補(bǔ)，所以，紅角=藍(lán)角，故圖中兩黃線部分相等。因此，追及路程恰好為半周。圖一圖二S解：取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則方法二：S圖一圖二

將時(shí)針看作是不動的，分針以相對時(shí)針的速度（二者的速度差）追及時(shí)針。兩表針在3:00時(shí)垂直(如圖一),下一次垂直的位置為圖二,分針走過的路程用綠線表示，這也就是追及的路程S，恰好為圓周的半圈。解：取鐘表上的一小格（即一分鐘）為單位路程，則當(dāng)兩針再次重合時(shí)，又回到圖一的情況，因此，每隔

分兩針相互垂直

根據(jù)以上計(jì)算，每隔分時(shí)針和分針垂直一次。在一天中它們重合的次數(shù)為它們的位置分別是：

時(shí)針與分針還可以成20度、30度或其它度數(shù)的角，它們在一天中會出現(xiàn)幾次？分別在哪些位置？其實(shí)，分析方法與相互垂直時(shí)完全類似，請你也試一試。推廣：

在分析此問題時(shí)，我們用到了追及問題的知識、數(shù)形結(jié)合法、用字母表示數(shù)、求代數(shù)式的值以及圓和角度的一些知識。小結(jié)：

問題二：

如果一個(gè)工人師傅錯(cuò)把一塊表的時(shí)針和分針安反了，那么這塊表還能正確表示所有時(shí)間嗎？

答案是否定的，除了兩針重合時(shí)能正確表示時(shí)間外，表針在其它位置均無法表示時(shí)間例如：正常裝錯(cuò)3：0012：00？×12：15？×

問題三：

表是用來反映時(shí)間的工具，但如果你的表不準(zhǔn)，你是否可以根據(jù)它來判斷其他人的表準(zhǔn)不準(zhǔn)呢？答案是肯定的。下面由我來告訴你們方法。設(shè)：表A比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一小時(shí)快a，表B比表A每小時(shí)快b。那么，表B是否準(zhǔn)確？

分析：

標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一小時(shí)中B所走的時(shí)間：當(dāng)A走1小時(shí)時(shí)，B走b+1小時(shí)；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)為1小時(shí)時(shí)，A走a+1小時(shí)；設(shè)：B走x小時(shí)。A、B兩表速度成比例，應(yīng)有：這就是判斷B表準(zhǔn)不準(zhǔn)的判據(jù)。下面，讓我們根據(jù)上面的判據(jù)來判斷一下：分析：

例：我的表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每小時(shí)快1