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2022年吉林省通化市成考專升本高等數(shù)學(xué)一學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________
一、單選題(20題)1.設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù),則等于()。A.2B.1/2C.1D.-2
2.下列命題中正確的有().A.A.
B.
C.
D.
3.A.A.Ax
B.
C.
D.
4.
5.
6.等于()。A.-1B.-1/2C.1/2D.1
7.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)可導(dǎo),f'(x)>0,f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A.3B.2C.1D.0
8.
9.
10.設(shè)∫0xf(t)dt=xsinx,則f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)11.A.沒(méi)有漸近線B.僅有水平漸近線C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近線,又有鉛直漸近線
12.
13.函數(shù)y=sinx在區(qū)間[0,π]上滿足羅爾定理的ξ等于().A.A.0B.π/4C.π/2D.π14.極限等于().A.A.e1/2B.eC.e2D.1
15.
A.1
B.2
C.x2+y2
D.TL
16.設(shè)f'(x0)=1,則等于().A.A.3B.2C.1D.1/217.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則下面命題正確的是()A.A.
B.
C.
D.
18.A.-3-xln3
B.-3-x/ln3
C.3-x/ln3
D.3-xln3
19.當(dāng)x→0時(shí),sinx是sinx的等價(jià)無(wú)窮小量,則k=()A.0B.1C.2D.3
20.
二、填空題(20題)21.方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解為_(kāi)__________.22.設(shè)區(qū)域D:0≤x≤1,1≤y≤2,則23.過(guò)點(diǎn)(1,-1,0)且與直線平行的直線方程為_(kāi)_____。24.空間直角坐標(biāo)系中方程x2+y2=9表示的曲線是________。25.
26.
27.
28.
29.設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在點(diǎn)x0處取得極小值,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為_(kāi)_______。
30.
31.
32.33.設(shè)y=1nx,則y'=__________.
34.
35.
36.
20.
37.
38.
39.
40.設(shè)f(x)=1+cos2x,則f'(1)=__________。
三、計(jì)算題(20題)41.42.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.43.將f(x)=e-2X展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù).
44.
45.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
46.證明:
47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
48.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.49.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量,則50.求微分方程的通解.51.
52.
53.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.
54.
55.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為
S(x).
(1)寫(xiě)出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
56.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.57.58.59.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).60.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.四、解答題(10題)61.求∫xsin(x2+1)dx。
62.用洛必達(dá)法則求極限:63.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),且
64.
65.函數(shù)y=y(x)由方程ey=sin(x+y)確定,求dy.
66.
67.
68.(本題滿分8分)
69.
70.五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.已知∫f(ex)dx=e2x,則f(x)=________。
六、解答題(0題)72.
參考答案
1.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)連續(xù)性的概念。由于f(x)在點(diǎn)x=0連續(xù),因此,故a=1,應(yīng)選C。
2.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為級(jí)數(shù)的性質(zhì).
可知應(yīng)選B.通??梢詫⑵渥鳛榕卸?jí)數(shù)發(fā)散的充分條件使用.
3.D
4.C
5.A
6.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的運(yùn)算。
故應(yīng)選C。
7.C本題考查了零點(diǎn)存在定理的知識(shí)點(diǎn)。由零點(diǎn)存在定理可知,f(x)在(a,b)上必有零點(diǎn),且函數(shù)是單調(diào)函數(shù),故其在(a,b)上只有一個(gè)零點(diǎn)。
8.C解析:
9.D
10.A
11.D本題考查了曲線的漸近線的知識(shí)點(diǎn),
12.B
13.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為羅爾定理的條件與結(jié)論.
由于y=sinx在[0,π]上連續(xù),在(0,π)內(nèi)可導(dǎo),且y|x=0=0=y|x=π,可知y=sinx在[0,π]上滿足羅爾定理,因此必定存在ξ∈(0,π),使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0,從而應(yīng)有.
故知應(yīng)選C.
14.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式.
由于,可知應(yīng)選C.
15.A
16.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的定義.
由題設(shè)知f'(x0)=1,又由題設(shè)條件知
可知應(yīng)選B.
17.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè):連續(xù)性與極限的關(guān)系;連續(xù)性與可導(dǎo)的關(guān)系.
連續(xù)性的定義包含三個(gè)要素:若f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則
(1)f(x)在點(diǎn)x0處必定有定義;
(2)必定存在;
(3)
由此可知所給命題C正確,A,B不正確.
注意連續(xù)性與可導(dǎo)的關(guān)系:可導(dǎo)必定連續(xù);連續(xù)不一定可導(dǎo),可知命題D不正確.故知,應(yīng)選C.
本題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是選D.這是由于考生沒(méi)有正確理解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.
若f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則f(x)在點(diǎn)x0處必定連續(xù).
但是其逆命題不成立.
18.A由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t可知,因此選A.
19.B由等價(jià)無(wú)窮小量的概念,可知=1,從而k=1,故選B。也可以利用等價(jià)無(wú)窮小量的另一種表述形式,由于當(dāng)x→0時(shí),有sinx~x,由題設(shè)知當(dāng)x→0時(shí),kx~sinx,從而kx~x,可知k=1。
20.B
21.sinx·siny=Csinx·siny=C本題考查了可分離變量微分方程的通解的知識(shí)點(diǎn).
由cosxsinydx+sinxcosydy=0,知sinydsinx+sinxdsiny=-0,即d(sinx·siny)=0,兩邊積分得sinx·siny=C,這就是方程的通解.22.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二重積分的計(jì)算。
如果利用二重積分的幾何意義,可知的值等于區(qū)域D的面積.由于D是長(zhǎng)、寬都為1的正形,可知其面積為1。因此23.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為直線的方程和直線與直線的關(guān)系。由于兩條直線平行的充分必要條件為它們的方向向量平行,因此可取所求直線的方向向量為(2,1,-1).由直線的點(diǎn)向式方程可知所求直線方程為
24.以O(shè)z為軸的圓柱面方程。F(x,y)=0表示母線平行于Oz軸的柱面,稱之為柱面方程,方程x2+y2=32=0表示母線平行Oz軸的圓柱面方程。
25.
26.2x-4y+8z-7=0
27.
解析:
28.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為微分的四則運(yùn)算.
注意若u,v可微,則
29.y=f(x0)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且y=f(x)有極小值f(x0),這意味著x0為f(x)的極小值點(diǎn)。由極值的必要條件可知,必有f"(x0)=0,因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0,即y=f(x0)為所求切線方程。
30.(-∞2)(-∞,2)解析:
31.
32.
33.
34.(01)(0,1)解析:
35.y=2x+1
36.
37.2
38.eyey
解析:
39.xex(Asin2x+Bcos2x)由特征方程為r2-2r+5=0,得特征根為1±2i,而非齊次項(xiàng)為exsin2x,因此其特解應(yīng)設(shè)為y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x).
40.-2sin2
41.
42.
43.
44.
45.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%
46.
47.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
48.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
49.由等價(jià)無(wú)窮小量的定義可知
50.51.由一階線性微分方程通解公式有
52.
則
53.由二重積分物理意義知
54.
55.
56.
57.
58.
59.
列表:
說(shuō)明
60.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
61.
62.63.設(shè),則f(x)=x3+3Ax.將上式兩端在[0,1]上積分,得
因此
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為兩個(gè):定積分表示一個(gè)確定的數(shù)值;計(jì)算定積分.
由于定積分存在,因此它表示一個(gè)確定的數(shù)值,設(shè),則
f(x)=x3+3Ax.
這是解題的關(guān)鍵!為了能求出A,可考慮將左端也轉(zhuǎn)化為A的表達(dá)式,為此將上式兩端在[0,1]上取定積分,可得
得出A的方程,可解出A,從而求得f(x).
本題是考生感到困難的題目,普遍感到無(wú)從下手,這是因?yàn)椴粫?huì)利用“定積分表示一個(gè)數(shù)值”的性質(zhì).
這種
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