數(shù)學(xué)物理方法課件第三章復(fù)變函數(shù)積分

PAGEPAGE30第三章復(fù)變函數(shù)的積分柯西定理與柯西公式(教材第1章4-5節(jié)）§3-1復(fù)變函數(shù)的積分一、復(fù)變函數(shù)積分的定義：設(shè)為復(fù)平面上以為起點(diǎn)、以為終點(diǎn)的一段路徑（即一根自身不相交的曲線），在上取一系列分點(diǎn)把分為段，在每一小段[]上任取一點(diǎn)作和數(shù)：,其中,,如果當(dāng)且每一小段的長(zhǎng)度（）趨于零時(shí)，和式的極限存在，并且其值與及的選取方式無(wú)關(guān)，則稱這一極限為沿路徑由到的積分:，稱為積分路徑，在上取值，即在上變化。圍道積分：若積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，則為閉合曲線，簡(jiǎn)稱圍道（即自身不相交的簡(jiǎn)單閉曲線），則積分記為，稱為圍道積分。二、復(fù)變函數(shù)積分的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)1.復(fù)變函數(shù)的積分不僅與積分端點(diǎn)有關(guān)，還與積分路徑有關(guān)。(與我們以前在高等數(shù)學(xué)中學(xué)過(guò)的實(shí)變函數(shù)的線積分類(lèi)似。)2．因?yàn)椋?，，于是，所以?fù)變函數(shù)的積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的線積分，它們分別是復(fù)變函數(shù)積分的實(shí)部和虛部。3．從復(fù)變函數(shù)積分的定義出發(fā)，可以直接得出復(fù)變函數(shù)的積分具有如下簡(jiǎn)單性質(zhì)：（1），、分別為之起點(diǎn)、終點(diǎn)。（2），、為復(fù)常數(shù)。（3）,其中積分路徑由路徑、連接而成。（4）,表示與方向相反的同一條曲線。4．圍道積分的環(huán)繞方向：若積分路徑的兩端點(diǎn)重合（即為自身不相交的封閉曲線），則計(jì)算積分時(shí)，必須先規(guī)定積分路徑的環(huán)繞方向（因?yàn)椋海Ｒ院蠓灿鰢婪e分，如不加特別說(shuō)明，都假定積分路徑的環(huán)繞方向?yàn)檠啬鏁r(shí)鐘方向。(為逆時(shí)鐘方向，代表順時(shí)鐘方向)例：試證，為以為圓心，為半徑的圓周（積分的環(huán)繞方向?yàn)檠啬鏁r(shí)鐘方向）。證：圓周的參數(shù)方程為，在上，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)為的整數(shù)時(shí)，?！?-2柯西定理及其推廣【劉連壽、王正清編著《數(shù)學(xué)物理方法》P31-36】柯西定理討論的是積分值與積分路徑之間的關(guān)系，與涉及的區(qū)域有關(guān)?！緩?fù)習(xí)：?jiǎn)芜B通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域。單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)沒(méi)有“空洞”，只有一條邊界線。復(fù)連通區(qū)域（多連通區(qū)域）：區(qū)域內(nèi)有“空洞”，至少有兩條或兩條以上的邊界線?！?一)單連通區(qū)域中的柯西定理若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，是內(nèi)的任一圍線（即自身不相交的閉合曲線），則:。證明：由于在上解析，意味著在上各點(diǎn)均存在，實(shí)部、虛部有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（即、、、在上連續(xù)）并滿足C-R條件。，，。由于實(shí)部、虛部滿足C-R條件，，,而由實(shí)變函數(shù)線積分的格林定理，得：，為所圍單連通區(qū)域（C－R條件），為所圍單連通區(qū)域（C－R條件）。單連通區(qū)域中柯西定理的另外一種表述：如果函數(shù)在閉曲線所圍的閉單連通區(qū)域內(nèi)解析，則函數(shù)沿閉曲線的積分等于零。【函數(shù)在閉區(qū)域內(nèi)解析,是指在區(qū)域D內(nèi)以及它的邊界上的每一點(diǎn)都是解析的。一種等價(jià)的說(shuō)法：如果函數(shù)在包括區(qū)域D和它的邊界在內(nèi)的更大一些的區(qū)域內(nèi)解析，就稱它為在閉區(qū)域內(nèi)解析?！繂芜B通區(qū)域中柯西定理的幾個(gè)推論：（1）在解析的單連通區(qū)域內(nèi)，沿任一曲線的積分，只依賴于的起點(diǎn)和終點(diǎn)，而與的具體形狀無(wú)關(guān)。即若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，、是內(nèi)有相同端點(diǎn)的任意兩條曲線，則:。證明：因?yàn)?、的端點(diǎn)相同，所以與組成一圍線。由柯西定理：。（2）當(dāng)積分的端點(diǎn)不動(dòng)，而積分路線在解析的區(qū)域內(nèi)連續(xù)地變形時(shí)，積分之值不變；（3）沿閉合回路的積分，當(dāng)積分回路在解析的區(qū)域內(nèi)連續(xù)地變形時(shí)，積分之值不變。（連續(xù)變形—閉合回路變形時(shí)不能跨過(guò)不解析的區(qū)域。）(二)復(fù)連通區(qū)域中的柯西定理對(duì)于復(fù)連通區(qū)域，可以作一條或多條輔助線（割線）使之變成一個(gè)單連通區(qū)域，然后再應(yīng)用單連通區(qū)域中的柯西定理，就可以得到復(fù)連通區(qū)域中的柯西定理。復(fù)連通區(qū)域中的柯西定理兩種表述：(1)在閉復(fù)連通區(qū)域中解析的函數(shù)，沿所有邊界線正方向積分之和為零：【當(dāng)沿某一方向沿邊界線環(huán)行時(shí)，如果所包圍的區(qū)域始終在邊界線的左邊，則該方向稱為邊界線的正方向；相反的方向則稱為邊界線的逆方向?！?2)在閉復(fù)連通區(qū)域中解析的函數(shù)，按逆時(shí)鐘方向沿外邊界線的積分等于按逆時(shí)鐘方向沿所有內(nèi)邊界線的積分之和：（三）柯西定理應(yīng)用舉例例1：計(jì)算，為不通過(guò)點(diǎn)的圍線。解：是的一個(gè)奇點(diǎn)，(1)若沒(méi)有包圍點(diǎn)，則在所包圍的閉區(qū)域內(nèi)處處都上是解析的,從而（不包圍）。(2)若包圍【是的奇點(diǎn)】，作以為圓心的圓周包圍，則由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理得：。由前面的例子可得:，。例2．設(shè)C為單位圓周，計(jì)算下列積分：（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）奇點(diǎn)在C外，積分=0；（2），奇點(diǎn)在C外，積分=0；（3），奇點(diǎn)在C內(nèi)，積分=；（4）被積函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)：，，一個(gè)奇點(diǎn)在C內(nèi)，另一個(gè)奇點(diǎn)在C外例3：計(jì)算的值，為包含圓周在內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。解：分別以和為圓心、畫(huà)出半徑充分小的兩個(gè)輔助小園，它們完全包含于積分路徑所包含的區(qū)域EMBEDEquation.DSMT4內(nèi).這兩個(gè)小圓記作和.根據(jù)復(fù)連通區(qū)域的柯西定理，有：(三)原函數(shù)的概念若，則稱F(z)是f(z)的原函數(shù)，其中z?B，B是單連通區(qū)域。設(shè)f(z)是單連通區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)，由Cauchy定理知：沿B內(nèi)任一路徑的積分只與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)，而與積分路徑無(wú)關(guān)，因此當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí)，該積分就定義了一個(gè)關(guān)于終點(diǎn)z的單值函數(shù)：.則F(z)就是f(z)的原函數(shù):。若和f(z)是單連通區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)，且，則對(duì)于區(qū)域B內(nèi)任意兩點(diǎn)和及區(qū)域B內(nèi)連接該兩點(diǎn)的一條任意曲線,下列積分公式成立：。因積分值只與積分路徑的兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)有關(guān)，上述公式也可寫(xiě)成：?！窘馕龊瘮?shù)的定積分公式，形式上與牛頓—萊布尼茲公式相似。】§3-1柯西公式【教材第一章第五節(jié)】(一)單連通區(qū)域中的柯西公式柯西公式：設(shè)復(fù)變函數(shù)在閉單連通區(qū)域（）中解析(是區(qū)域的邊界線)，則在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值可由沿邊界線的積分確定（積分路徑沿區(qū)域邊界線的正方向進(jìn)行）:，，柯西公式說(shuō)明：解析函數(shù)在其解析區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值可由函數(shù)在該區(qū)域邊界上的值來(lái)確定！這是解析函數(shù)的重要性質(zhì)之一。證明：對(duì)于任意固定的，由前面的例子知:兩邊乘以，得:,因此只要證明:，即得:，這就證得柯西積分公式。作為的函數(shù)在內(nèi)除點(diǎn)外均解析。以為圓心，很小的為半徑，作圓周。由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理，得:，上式表明右邊的積分是與的半徑無(wú)關(guān)的，所以:而當(dāng)時(shí)，（），由于是連續(xù)的，則:，，而，。從而。，。例1：利用柯西公式證明:，為以為圓心，為半徑的圓周（積分的環(huán)繞方向?yàn)檠啬鏁r(shí)鐘方向）。證明：設(shè),在積分路徑所包圍的閉單連通區(qū)域內(nèi)是解析的，由柯西積分公式可得：例2：計(jì)算(沿圓周正向積分)解：由柯西公式,得:例3:計(jì)算(沿圓周正向積分)解：由柯西積分公式,得：例4:設(shè)，證明積分a.當(dāng)是圓周時(shí)，等于；b.當(dāng)是圓周時(shí)，等于；c.當(dāng)是圓周時(shí)，等于。證明：的奇點(diǎn)為及。a.當(dāng)是圓周時(shí)，及均在圓外，在圓內(nèi)解析。由柯西定理:。b.當(dāng)是圓周時(shí)，僅在圓內(nèi)。由柯西積分公式得:。c.當(dāng)是圓周時(shí)，僅在圓內(nèi)。由柯西積分公式得：。例5:計(jì)算，其中積分路徑是包圍和兩點(diǎn)的任一簡(jiǎn)單閉曲線，積分沿閉曲線的正方向。解：以和為圓心，分別作兩個(gè)充分小的圓和，使他們都位于積分路徑所包圍的區(qū)域內(nèi)。在由閉曲線、、所圍的復(fù)連通區(qū)域內(nèi)，被積分函數(shù)是解析的，由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理，得到：，再由單連通區(qū)域的柯西積分公式，得到：(二)復(fù)連通區(qū)域中的柯西公式設(shè)函數(shù)在閉復(fù)連通區(qū)域中解析，的邊界由外邊界線和內(nèi)邊界線，，，，組成。則函數(shù)在閉復(fù)連通區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的函數(shù)值可以用它在邊界上的值表示出來(lái)：，說(shuō)明：在上述積分公式中積分路徑包括復(fù)連通區(qū)域的全部邊界，，全部積分均沿所有邊界線的正方向進(jìn)行。對(duì)外邊界線，其正方向?yàn)檠啬鏁r(shí)鐘方向；對(duì)內(nèi)邊界線，其正方向?yàn)檠仨槙r(shí)鐘方向，用等表示。復(fù)連通區(qū)域中柯西公式另一種表述：(三)無(wú)界區(qū)域中的柯西公式（選讀，不要求）設(shè)在某一閉合曲線C的外部解析，并且當(dāng)時(shí)f(z)一致地趨于零（即與幅角無(wú)關(guān)，f(z)隨模的增大而趨于零），則對(duì)于閉合曲線C的外部的任意一點(diǎn),有：【幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）要求在閉合曲線C的外部解析；（2）當(dāng)時(shí)一致地趨于零；（3）是閉合曲線C的外部的任意一點(diǎn)；（4）積分應(yīng)沿閉曲線C的順時(shí)鐘方向進(jìn)行。相對(duì)于閉曲線C外部的區(qū)域而言，依然為沿區(qū)域的邊界線的正方向進(jìn)行積分?！俊?-4復(fù)變解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的積分表述——推廣的柯西公式由柯西公式:，，而，，從而被積函數(shù)是處處連續(xù)的。因此可在積分號(hào)下對(duì)求導(dǎo)，得一階導(dǎo)數(shù)為（相對(duì)于來(lái)講）：，()求次導(dǎo)數(shù)，得：，（），，）這就是推廣的柯西積分公式，它表明：在區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)可以求導(dǎo)任意多次，其任意階導(dǎo)數(shù)均可以寫(xiě)成沿區(qū)域邊界線的積分的形式?！編c(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明：（1）解析函數(shù)在其解析的區(qū)域內(nèi)可以求導(dǎo)任意多次（即任意階導(dǎo)數(shù)都存在），這是解析函數(shù)的又一重要特點(diǎn)。（2）對(duì)復(fù)連通區(qū)域，高階導(dǎo)數(shù)公式依然成立（積分沿內(nèi)、外邊界線的正方向進(jìn)行）。（3）高階導(dǎo)數(shù)公式的作用，不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo)，而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分。（求導(dǎo)運(yùn)算比積分運(yùn)算要簡(jiǎn)單的多）?！坷?：設(shè)代表圓周：.計(jì)算積分。解：設(shè),在積分路徑所包圍的閉單連通區(qū)域內(nèi)是解析的，由推廣的柯西積分公式可得：，令：，,得到：例2：計(jì)算積分，其中為包圍（為任意復(fù)數(shù)）的任意簡(jiǎn)單閉曲線。解：根據(jù)推廣的柯西積分公式:，令,,得:例3:計(jì)算其中為正向圓周:解:由公式：,令,,得:第三章習(xí)題1、不用計(jì)算，證明下列積分之值均為零，其中均為圓心在原點(diǎn)，半徑為的單位圓周:（1）；（2）。2、計(jì)算：（1）；（2）。3、計(jì)算下列積分，其中積分路徑C為正向圓周:。（1）；（2）4、設(shè)C為正向園周，計(jì)算下列積分之值：（1）；（2）第三章習(xí)題解答1、不用計(jì)算，證明下列積分之值均為零，其中均為圓心在原點(diǎn)，半徑為的單位圓周。(1)；(2)。證明：(1)的奇點(diǎn)為，由于，所以它們均不在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)，處處解析。由柯西定理:。(2)的奇點(diǎn)為，，它們均不在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)處處解析。由柯西定理:。2、計(jì)算:(1)；(2)。解:(1)在所圍區(qū)域內(nèi)解析，且在所圍區(qū)域內(nèi)。由柯西積分公式得。(2)在所圍區(qū)域內(nèi)解析，且在所圍區(qū)域內(nèi)。由推廣的柯西積分公式得。3.計(jì)算下列積分，其中積分路徑C為正向圓周:。（1）；（2）解：（1）（2）有兩個(gè)奇點(diǎn)，分別位于，這兩個(gè)奇點(diǎn)都位于積分路徑