二次函數(shù)與二元一次方程

二次函數(shù)與二元一次方程n教學(xué)目標(biāo).體會二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，并感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值..能夠分析和表示實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出實(shí)際問題的最大（?。┲?，發(fā)展解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn).待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（三種方法）.能夠分析和表示實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出實(shí)際問題中的最大（?。┲担l(fā)展解決問題的能力.教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題.教學(xué)準(zhǔn)備：.如果拋物線產(chǎn)一2x2+mx-3的頂點(diǎn)在x軸正半軸上，則m=..二次函數(shù)尸一2x2+x—L當(dāng)x=時，y有最值，為.它的圖^2象與x軸交點(diǎn)（填“有”或“沒有”）..已知二次函數(shù)尸ax2+bx+c的圖象如圖1所示.①這個二次函數(shù)的表達(dá)式是尸；②當(dāng)x=時，尸3；③根據(jù)圖象回答:當(dāng)x時，y>0.圖1 圖2一、相關(guān)知識回顧：1.Y=x+1你們把我叫一次函數(shù)，我也是二元一次方程??！這是怎么回事，你知道嗎?2、函數(shù)y=x+1上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足方程x-y=-1?以方程x-y=-1的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在不在函數(shù)y=x+1的圖象上？方程x-y=-1與函數(shù)y=x+1有何關(guān)系？.以方程x-y=-1的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在函數(shù)y=x+1的圖象上嗎？函數(shù)y=x+1和方程x-y=-1到底有何關(guān)系呢？.在同一坐標(biāo)系下，化出y=x+1與y=4x-2的圖象，他們的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？方程組y=x+1的解是什么？二者有何關(guān)系？ f總結(jié)：因?yàn)楹瘮?shù)和方程有以上關(guān)系，所以我們就可以用圖象O法解決方程問題，也可以用方程的方法解決圖象問題。

二、教材補(bǔ)充 探究根與系數(shù)的關(guān)系定理.求解一元二次方程ax2+bx+c=0的根。顯然ax2+bx+c=0可以寫成a(x—x1)(x—x2)=0的形式，其中x1= x2= 故y=ax2+bx+c可以寫成y=a(x—x1)(x—xj的形式，其中x1=x2=然后再求出\+x2和Yx2的值，觀察有什么特點(diǎn)。.已知是x1和x2方程ax2+bx+c=0的兩根，寫出下列已知方程的￡+x之和”x2(1)x2—5x+6=0 (2)2x2—3x-1=0 (3)4x2+5x+1=03、已知方程2x2+6x-3=0的兩根是x『x2,利用根與系數(shù)的關(guān)系求下列各式的值。(3)x2x(3)x2x+xx2(4)x2+xx+x2(1)一+— (2)x2+x2xx1 22(5)x1-(5)x1-+x2 (6)(x-x)2xx 1221(7)(x1-2)(x2-2) (8)x1-x2.已知關(guān)于x的方程x2-(m-3)x+8=0的兩個實(shí)數(shù)根的平方根的和等于13,求m的值及方程的兩根。.已知兩根是±1,求作一個以這兩數(shù)為根的一元二次方程。, … ,1.已知兩根是±1,求作一個以這兩數(shù)為根的一元二次方程，使所作的方程的二次項(xiàng)系數(shù)為

例1、已知方程2x2-4x-1=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是已知是已知方程的兩根的平方。判斷下列各式分別表示什么？(1)y=x2-4x+3 (2)2x2-x+4=0 (3)y=x2-4x+4(4)x(x-2)=gx-3(5)y=問1、你知道這兩種表達(dá)式之間有什么關(guān)系嗎？二次函數(shù)能轉(zhuǎn)化為一元二次方程嗎？問題2、請你們畫出三個二次函數(shù)圖像，并求出當(dāng)y=0時的x的值，觀測圖像與x軸交點(diǎn)與X的值有什么關(guān)系？(1)y=x2-4x+3 (2)y=x2-4x+4 (3)y=x2-4x+5小結(jié)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交點(diǎn)有三種情況：有兩個交點(diǎn)、一個交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)。二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)一元二次方程ax2+bx+c=0的根之間的關(guān)系。懂得了二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)=0時的一元二次方程的根。于是我們在不解方程的情況下,只要知道二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.但是，在圖像上我們很難準(zhǔn)確地求出方程的解，所以要進(jìn)行估算.例1利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根(1).用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象；(2)作直線y=3；.觀察估計(jì)拋物線y=x2+2x-10和直線y=3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).確定方程x2+2x-10=3的解；由圖象可知，它們有兩個交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個在-5與-4之間，另一個在2與3之間,分別約為-4.7和2.7(可將單位長再十等分，借助計(jì)算器確定其近似值).由此可知，方程x2+2x-10=3的近似根為： \j..L-sl-4-5 -1I>L2JjxTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x尸-4.7,x2^2.7 \ ； /解法二： /\o"CurrentDocument"(1).原方程可變形為x2+2x-13=0； \ \⑵.用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=x2+2x-13的圖象(3).觀察估計(jì)拋物線y=x2+2x-13和x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；由圖象可知，它們有兩個交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個在-5與-4之間,另一個在2與3之間,分別約為-4.7和2.7(可將單位長再十等分，借助計(jì)算器確定其近似值)(3).確定方程x2+2x-10=3的解；由此可知，方程x2+2x-10=3的近似根為：x1^-4.7,x2^2.7隨堂練習(xí)：用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根..二次函數(shù)解析式常用的有三種形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a=0)；(2)頂點(diǎn)式：y=a(x—h)2+k(a/0)；(3)兩根式：y=a(x—x)(x—x)(a=0).當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時2,通常設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c形式.當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時，通常設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x—h)2+k形式.當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時，通常設(shè)為兩根式y(tǒng)=a(x-xi)(x-x2).又知AAOP的面積為9，求a的值;.已知，如圖，直線l經(jīng)過44,0)和B(0,4)兩點(diǎn)，它與拋物線y又知AAOP的面積為9，求a的值;.已知拋物線y=x2+(2n-1)x+n2-1(n為常數(shù)).(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;⑵設(shè)A是⑴所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個動點(diǎn)，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D,再作AB，x軸于B,DC，x軸于C.①當(dāng)BC=1時，求矩形ABCD的周長;②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.4、探究拓展與應(yīng)用(共20分)21.已知拋物線尸ax2(a>0)上有兩點(diǎn)A、B，其橫坐標(biāo)分別為一1,2,請?zhí)角箨P(guān)于a的取值情況，AABO可能是直角三角形嗎？不能，說明理由；能是直角三角形，寫出探求過程，并與同伴交流.5、探究拓展與應(yīng)用(共12分)21.如圖3,直線AB過x軸上的點(diǎn)A(2,0),且與拋物線產(chǎn)狽2相交于B、C兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1). (1)求直線和拋物線所表示的函數(shù)表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得S。==S°”，若不存在，說明理由；若存△OAD△OBC在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，與同伴交流.y*.有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位時AB寬20米，水位上升3米就達(dá)到警戒線CD，這時水面寬度為10米；(1)在如圖2的坐標(biāo)系中，求拋物線的表達(dá)式.⑵若洪水到來時，再持續(xù)多少