2022-2023學(xué)年吉林省通化市梅河口市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年吉林省通化市梅河口市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則（

）A．3 B． C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，所以，所以．故選：B.2．設(shè)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值直接構(gòu)造方程求解即可.【詳解】，，解得：.故選：A.3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．150 B．160 C．170 D．與和公差有關(guān)【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，所以，所以.故選：B4．圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖中的直角三角形繼續(xù)作下去，記，，，的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可推出，且，從而說明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】由題意知，，，，，，都是直角三角形，，且，故，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，．又，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，故選：C．5．已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先將函數(shù)化簡(jiǎn)為，再求得，判斷為奇函數(shù)，排除B，D；再分析選項(xiàng)A，C圖像的區(qū)別，取特殊值即可判斷出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B，D錯(cuò)誤；將代入得：，故C錯(cuò)誤．故選：A．6．已知數(shù)列滿足，且，則的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】由題意可得，所以構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出答案.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，且由，得，所以構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故選：B.7．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，（且），則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)與的關(guān)系求得，進(jìn)而求出，利用裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】由題意知①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，①-②，得，若，，符合題意，所以，則，所以，則.故選：D.8．設(shè)，，若，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】不等式等價(jià)于，令，則∴不等式等價(jià)于，∵，∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴若，則，由有；若，則，由，有.綜上所述，設(shè)，，若，則有.故選：B.二、多選題9．已知首項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合前項(xiàng)和的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，，所以，解得，故A正確.B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：由，，得，故C正確.D選項(xiàng)：因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．已知函數(shù)，則（

）A．的單調(diào)遞減區(qū)間是 B．有4個(gè)零點(diǎn)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．曲線與軸不相切【答案】CD【分析】對(duì)A直接求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)小于0，解出即可，對(duì)B，通過求出極大值和極小值，結(jié)合其單調(diào)性即可判斷，對(duì)C選項(xiàng)利用函數(shù)奇偶性和函數(shù)平移的原則即可判斷，對(duì)D，利用函數(shù)極大值、極小值的符號(hào)即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：易知的定義域?yàn)?，，?，解得或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：令，解得或，所以在，和上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以在上沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因?yàn)?，所以在上至多有兩個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，將的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)榈臉O小值，極大值，所以曲線與軸不相切，D正確.故選：CD.11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，滿足，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，則（

）A． B．C．在處取得極小值 D．無最大值【答案】AD【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得新函數(shù)的單調(diào)性，解得函數(shù)的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】解：設(shè)，則，可設(shè)，則，解得，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，∴，即，則，A正確；∵，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，在處取得極小值，無最大值，B、C均錯(cuò)誤，D正確．故選：AD.12．如圖，是一塊半徑為1的半圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個(gè)更小半圓（其直徑為前一個(gè)剪掉半圓的半徑）得圖形，記紙板的周長(zhǎng)為，面積為，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，紙板相較于紙板剪掉了半徑為的半圓，故可得，用累加法可求得通項(xiàng)公式，代入選項(xiàng)可判斷AC選項(xiàng)，同理可求得，即可判斷BD選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可得紙板相較于紙板剪掉了半徑為的半圓，故，即，故，，，，…，，累加可得，所以，故A正確，C正確；又，故，即，又，，，…，，累加可得，故，故B，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題13．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式，則_____________．【答案】【分析】對(duì)函數(shù)兩邊求導(dǎo)，然后賦值，解得代入即可求解.【詳解】由，函數(shù)兩邊求導(dǎo)得：，令，則，所以代入函數(shù)得：．故答案為：14．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________.【答案】【分析】問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，分離參數(shù)后求最大值即可求解.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增,只需在恒成立，故在恒成立,而在遞減,所以，故,即實(shí)數(shù)t的取值范圍是.故答案為：15．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，若某個(gè)二階等差數(shù)列的前項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的第項(xiàng)為__________.【答案】【分析】根據(jù)已知中的定義可確定，利用累加法可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)前項(xiàng)為的高階等差數(shù)列為，令，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，即，又，，即該高階等差數(shù)列的第項(xiàng)為.故答案為：.16．若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是_____________．【答案】##【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求的最大值，得a的最小值.【詳解】由，可得，，可得，令，可得，令，有，令，可得；令，可得；可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，故，即a的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題.四、解答題17．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且在處取得極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【答案】(1)；(2)，．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)在曲線上，結(jié)合函數(shù)極值的定義即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由題意可知，，，，所以，解得，，，所以函數(shù)的解析式為，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以；（2）由（1）知，令，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取的極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，又，，所以，．18．如圖，在半徑為的半圓形（為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料，其中點(diǎn)、在直徑上，點(diǎn)、在圓周上，設(shè)，矩形的面積為.（1）寫出矩形的面積關(guān)于的函數(shù)，問怎樣截取才能使截得的矩形的面積最大？求出最大面積；（2）若將所截得的矩形鋁皮卷成一個(gè)以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），應(yīng)怎樣截取，才能使做出的圓柱形罐子體積最大？并求最大體積.【答案】（1），（其中），當(dāng)時(shí)，面積最大，最大值為；（2）取時(shí)，體積最大，最大值為.【分析】（1）連結(jié)，得出矩形的面積關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）設(shè)圓柱底面半徑為，高為，求得體積，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.【詳解】（1）連結(jié)，可得，其中.所以矩形的面積關(guān)于的函數(shù)：（其中），因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值為.所以取時(shí)，矩形的面積最大，最大值為.（2）設(shè)圓柱底面半徑為，高為，體積為，由，解得，所以，其中.由，可得，因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.取為時(shí)，做出的圓柱形罐子體積最大，最大值為.19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)n，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.條件①，且；條件②為等比數(shù)列，且滿足；注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選擇①得到，得到等比數(shù)列公比為，計(jì)算得到，若選擇②，計(jì)算，得到公比，計(jì)算得到通項(xiàng)公式.（2）確定，，利用裂項(xiàng)相消法得到，得到取值范圍.【詳解】（1）若選擇條件①：且，則，兩式相減，，為公比的等比數(shù)列，，，解得，；若選擇條件②：為等比數(shù)列，且滿足，，，，.（2），，，，，故，不等式恒成立，，即.20．已知正項(xiàng)數(shù)列中，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)計(jì)算即可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，由當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，又，所以，又適合上式，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以；（2），則，，兩式相減得，所以.21．某林場(chǎng)去年底森林木材儲(chǔ)存量為100萬，若樹木以每年20%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，計(jì)劃從今年起，每年底要砍伐x萬木材，記為第n年年底的木材儲(chǔ)存量.(1)寫出；寫出數(shù)列的遞推公式；(2)為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)過10年木材儲(chǔ)存量翻兩番（原來的4倍）的目標(biāo)，每年砍伐的木材量x的最大值是多少?（精確到0.1萬）參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)，，；(2)萬.【分析】（1）根據(jù)給定的信息求出，數(shù)列的遞推公式作答.（2）由（1）的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再列出不等式求解作答.【詳解】（1）依題意，，，，所以數(shù)列的遞推公式是.（2）由（1）知，，，則，若，則，有，即，若，則，于是數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有，即，當(dāng)時(shí)，上式也成立，因此，，因?yàn)?0年木材量翻兩番，即，則，而，從而，解得，所以每年砍伐的木材量x的最大值是萬.22．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分類討論并利用導(dǎo)數(shù)去判定函數(shù)的單調(diào)性即可解決；（2）構(gòu)造新函數(shù)并利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系去證明轉(zhuǎn)化后的不等式即可解決.【詳解】（1）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以又，所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，故在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)；因?yàn)椋栽趨^(qū)間上存在零點(diǎn)，又因?yàn)?/p>