2022-2023學(xué)年江蘇省南通市西亭高一年級下冊學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市西亭高一下學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知i是虛數(shù)單位，若，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡，進而即可求出答案.【詳解】因為，所以．故選：C.2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式求得正確答案.【詳解】由，得，所以.故選：C3．記的內(nèi)角的對邊分別為，則邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)面積公式列式可求出結(jié)果.【詳解】由，得.設(shè)邊上的高為，因為，所以，即邊上的高為.故選：D4．利用公式：，，可得：．則化簡的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目所給公式計算化簡即可求值.【詳解】由可得，，，所以，故選:A.5．如圖在中，．，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由及，將．由三點共線可求的值，再用、表示，進而求即可.【分析】，，即，，因為、、共線，設(shè)，即，所以，，所以，，故，所以，，而，由平面向量數(shù)量積的定義可得，.故選：C.6．設(shè)，，，則有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡，利用倍角公式化簡，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，，.因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以.故選：C.7．的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若三角形中，，且，則（

）A．3 B． C．2 D．4【答案】D【分析】易知，利用兩角差的正弦公式化簡原等式，可推出，從而知和的值，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式，求得的值，然后由正弦定理，知，最后由，得解．【詳解】，且，，，，即，，，，，，，由正弦定理知，，，即，，．故選：D8．中，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)恒等變換進行化簡，可得，利用基本不等式得，利用兩角和的正切公式表示，結(jié)合以上條件即可求解的取值范圍．【詳解】∵，∴，∵，即，∴，兩邊同時除以，得，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，即，，∵，∴，∴，∴，即的取值范圍是．故選：A．二、多選題9．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的模長為1B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限C．復(fù)數(shù)是方程的解D．復(fù)數(shù)滿足【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則化簡復(fù)數(shù)得，進而可判斷AB,將代入方程中即可驗證C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷D.【詳解】由得，則對于A,，故A正確，對于B,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，故該點位于第四象限，故B錯誤，對于C,,故是的復(fù)數(shù)根，故C正確，對于D，設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為到,復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為,由得的距離為1，故復(fù)數(shù)對應(yīng)點的在以為圓心，半徑為1的圓上，故的最大值為，故D錯誤，故選：AC10．在中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，，則（

）A． B．向量，夾角的最小值為C．內(nèi)角A的最大值為 D．面積的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)向量的運算法則結(jié)合余弦定理得到，根據(jù)均值不等式得到，計算，得到AC正確，B錯誤，利用面積公式得到，得到答案.【詳解】，，故A對；，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，，，即，故B錯，C對；，故D錯.故選：AC11．向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【答案】BC【分析】利用向量的模長公式以及題中條件即可判斷A,C,由夾角公式可判斷B，根據(jù)投影向量的求法即可判斷D.【詳解】，,,解得,故A錯誤,，由于，與的夾角為，故B正確,,故C正確在上的投影向量為，故D錯誤,故選：BC三、單選題12．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式（e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被普為“數(shù)學(xué)中的天橋”.下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運算法則，逐項計算后可得正確的選項.【詳解】對于A，當(dāng)時，因為，所以，故不一定成立，選項A錯誤；對于B，，所以B錯誤；對于C，由，，所以,得出,選項C正確；對于D，由C選項的分析得，得出，選項D錯誤.故選：C.四、填空題13．復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點分別是，則tan∠AOB＝______．【答案】1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則可得兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)兩角和的正切公式即可算出.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則可得，所以與對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，如下圖所示：易知；則.故答案為：114．已知，，，，則________．【答案】【分析】通過構(gòu)角，再利用正弦的兩角差的公式得，利用已知條件，通過進一步縮小和的范圍，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式求出，，的值，進而可求出【詳解】因為，由正弦的兩角差的公式得．又因為，，又，所以，又因為，，，所以，．又，，又，所以，，故答案為：．15．設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，已知，，要使為鈍角三角形，則的大小可取__________(取整數(shù)值，答案不唯一)．【答案】（填也對，答案不唯一）【分析】利用三角形兩邊和與差點關(guān)系，求出，再分別討論和為鈍角時，邊的取值范圍，根據(jù)題意即可得到答案.【詳解】首先由，，構(gòu)成三角形有，若為鈍角所對邊，有，，若為鈍角所對邊，有，，由，不可能為鈍角所對邊，綜上，的取值范圍是,由題意，取整數(shù)值，故的大小可取或.故答案為：（填也對，答案不唯一）.16．如圖，為矩形邊中點，，分別在線段、上，其中，，，若，則的最小值為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出，由可得，代入中求其模，利用基本不等式可求出其最小值.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可知，，分別在線段、上，設(shè)（），則，所以，所以，，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為．故答案為：五、解答題17．已知，(1)求和的值(2)若，，求的大?。敬鸢浮?1)，；(2)【分析】（1）結(jié)合二倍角公式，商數(shù)關(guān)系即可化簡求得，以及求值；（2）條件等式由誘導(dǎo)公式可得，即可由和差公式求得，結(jié)合范圍即可.【詳解】（1），；（2），，∵，∴.18．已知復(fù)平面內(nèi)的點A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，（），設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.（1）當(dāng)實數(shù)m取何值時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出，z是純虛數(shù)，虛部不為0，實部為0，即可求解；（2）根據(jù)的值，求出對應(yīng)點到坐標(biāo)，根據(jù)已知列出不等式，即可求出結(jié)論.【詳解】點A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，，（1）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，，解得，；（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點坐標(biāo)為，位于第四象限，，即，.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法、幾何意義、復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.19．某地棚戶區(qū)改造建筑平面示意圖如圖所示，經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓面，該圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶區(qū)建筑用地，測量可知邊界萬米，萬米，萬米.（1）請計算原棚戶區(qū)建筑用地的面積及的長；（2）因地理條件的限制，邊界不能更改，而邊界可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)建筑用地的利用率，請在圓弧上設(shè)計一點，使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地的面積最大，并求出最大值.

【答案】(1)萬米.萬平方米.(2)所求面積的最大值為萬平方米，此時點為弧ABC的中點.【詳解】試題分析：(1)利用圓內(nèi)接四邊形得到對角互補，再利用余弦定理求出相關(guān)邊長，再利用三角形的面積公式和分割法進行求解；(2)利用余弦定理和基本不等式進行求解．試題解析：(1)根據(jù)題意知，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.又cos∠ABC＝－cos∠ADC，∴cos∠ABC＝，AC2＝28，即AC＝2萬米，又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin＝8(平方萬米)．(2)由題意知，S四邊形APCD＝S△ADC＋S△APC，且S△ADC＝AD·CD·sin＝2(平方萬米)．設(shè)AP＝x，CP＝y(tǒng)，則S△APC＝xysin＝xy.在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號，∴xy≤28.∴S四邊形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9(平方萬米)，故所求面積的最大值為9平方萬米，此時點P為弧ABC的中點．20．在中，角A，，所對的邊分別為，，，且．(1)若，，求角(2)設(shè)的角平分線交于點，若面積為，求長的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）從正弦定理出發(fā)進行角換邊，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度.（2）利用角平分線性質(zhì)及面積公式得到，再利用基本不等式得出最值.【詳解】（1）解：因為，依據(jù)正弦定理，所以，即，由余弦定理變形知，因為，所以．因為，，則在中，由正弦定理得：又，因為，所以．（2）法一：因為，是的角平分線，而，所以，即，所以，因為，，，且，故AD當(dāng)且僅當(dāng)取等，所以最大值為．答：當(dāng)時，最大值為．法二：因為,設(shè)，，在，中由正弦定理知：①，②，因為，所以①②得，，令，，由于，所以，易得此函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，最大值為．【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解決范圍與最值問題，涉及求余弦定理的值域或最值，利用單調(diào)性求最值，屬于較難題．21．的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.①；②；③.（1）在上述三個條件中任選一個，求B；（2）在（1）所選定的條件下，若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）.【分析】（1）選①，由誘導(dǎo)公式變形，再由正弦定理化邊為角，然后由二倍角公式變形后可得；選②，由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理得角；選③，先由余弦定理化角為邊，然后再由余弦定理求得角；（2）求出三角形面積，由正弦定理化為角的表達式，然后然后由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式，同角關(guān)系式化為的代數(shù)式，再由角范圍得結(jié)論．【詳解】（1）選①由正弦定理得：在三角形中得，選②.由正弦定理得：在三角形中，選③.在三角形中，（2）由正弦定理，由銳角三角形，，，所以.．22．由兩角和差公式我們得到倍角公式，實際上也可以表示為的三次多項式．(1)試用表示．(2)求的值；(3)已知方程在上有三個根，記為，，，求的值．【答案】(1)