2022-2023學(xué)年湖北省武漢市5G聯(lián)合體高二年級下冊學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市5G聯(lián)合體高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將已知拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，從而可求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由可得，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選:D.2．已知函數(shù)f（x）在處的導(dǎo)數(shù)為12，則（

）A．-4 B．4 C．-36 D．36【答案】B【分析】由極限的性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義計算即可.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，則，故選：B3．從1，2，3，0這四個數(shù)中取三個組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．24 B．48 C．18 D．36【答案】C【分析】利用分步計數(shù)原理和排列數(shù)即可求解.【詳解】先排末位則有種，再從剩下的三個選兩個進(jìn)行排列則，根據(jù)分步計數(shù)原理可得種，故選：C.4．已知上可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)圖象得出和的解，然后用分類討論思想求得結(jié)論．【詳解】由圖象知的解集為，的解集為，或，所以或，解集即為．故選：C5．在數(shù)列中，已知，則的前10項的和為（

）A．1023 B．1024 C．2046 D．2047【答案】C【分析】利用，表示出的前10項的和，通過等比數(shù)列前n項和公式求解即可.【詳解】，，，，，則的前10項的和為.故選：C.6．已知函數(shù)，下列說法中錯誤的是（

）A．函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程是B．是函數(shù)的極大值點(diǎn)C．函數(shù)在上有個極值點(diǎn)D．函數(shù)在上有個零點(diǎn)【答案】D【分析】通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷選項A，通過導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性和極值，判斷選項B，進(jìn)一步通過的圖象與圖象的交點(diǎn)個數(shù)，判斷選項D，構(gòu)造函數(shù)，通過多次求導(dǎo)，判斷的單調(diào)區(qū)間和極值判斷選項C.【詳解】∵，∴定義域為，∴，對于A，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在原點(diǎn)處的切線的斜率，∴函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程為，即，故選項A說法正確；對于B，令，解得或，當(dāng)時，，在區(qū)間和單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，∴在時取得極大值，在時取得極小值，∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故選項B說法正確；對于C，∵，∴，令，則，令，則當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，且，，∴，使，當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，∵，∴，，∴，又∵，∴，使，，使，∴當(dāng)時，，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，∴函數(shù)在上有個極值點(diǎn)，故選項C說法正確；對于D，由選項B的判斷知，的極大值為，極小值為，又∵，∴與在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如下圖：如圖可知，與在同一平面直角坐標(biāo)系下有個交點(diǎn)，即方程有三個實(shí)數(shù)解，即函數(shù)有個零點(diǎn)，故選項D說法錯誤.綜上所述，說法錯誤的選項為D.故選：D.7．已知，為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，，分別為曲線，的離心率，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由題可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合基本不等式得，即可解決.【詳解】由題知，，為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，，分別為曲線，的離心率，假設(shè)，所以由橢圓，雙曲線定義得，解得，所以在中，，由余弦定理得，即，化簡得，因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故選：A8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則不正確的是（

）A． B．C．沒有極小值 D．當(dāng)有兩個根時，【答案】C【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷AB；求函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，判斷C；將方程的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合判斷的取值范圍.【詳解】因為，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，即，故A正確；，即，故B正確；設(shè)，即，，得，所以，，得，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)函數(shù)取得極小值，故C錯誤；有2個根，即函數(shù)的圖象與有2個交點(diǎn)，由以上可知當(dāng)函數(shù)取得極小值，，并且時，，并且時，，時，，并且時，，所以當(dāng)直線與的圖象有2個交點(diǎn)時，，故D正確.故選：C.二、多選題9．記是數(shù)列的前項的和，且，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．當(dāng)時，取得最大值【答案】ACD【分析】由等差數(shù)列的定義可判斷A；由等差數(shù)列的單調(diào)性可判斷C；根據(jù)的表達(dá)式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷BD.【詳解】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；，，∵當(dāng)時，遞增，∴數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯誤；由得，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故C正確；∵，，∴當(dāng)時，取得最大值，故D正確.故選：ACD.10．現(xiàn)有帶有編號1、2、3、4、5的五個球及四個不同的盒子，則下列表述正確的有（

）A．全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B．全部投入2個不同的盒子里，每盒至少一個，共有種放法C．將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有種放法D．全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】ACD【分析】對于A，利用分步乘法計數(shù)原理計算可判斷A正確；對于B，先將5個球分為2組，再全排，計算可判斷B不正確；對于C，利用分步乘法計數(shù)原理計算可判斷C正確；對于D，先將5個球分為4組，再全排，計算可判斷D正確；【詳解】對于A，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，全部投入4個不同的盒子里，共有種放法，故A正確；對于B，帶有編號1、2、3、4、5的五個球全部投入2個不同的盒子里，第一步選2個盒子有種選法，第二步將5個球分為兩組，若兩組球個數(shù)之比為1：4有種分法；若兩組球個數(shù)之比為2：3有種分法，第三步將兩組排給兩個盒子有種排法，因此共有，故B不正確；對于C，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），第一步選4個球有種選法，第二步選一個盒子有種選法，共有種放法，故C正確；對于D，帶有編號1、2、3、4、5的五個球，全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，第一步將5球分成2：1：1：1的四組共有種分法，第二步分給四個盒子有種排法，故共有種放法，故D正確；故選：ACD.11．已知函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．曲線在處的切線方程為B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．的極大值為D．方程有兩個不同的解【答案】AB【分析】利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線、單調(diào)區(qū)間、極值、方程的解等知識確定正確答案.【詳解】的定義域為，.A選項，，所以曲線在處的切線方程為，A選項正確.B選項，令解得，所以在區(qū)間，單調(diào)遞減，B選項正確.C選項，在區(qū)間，單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值，C選項錯誤.D選項，的極小值為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，方程有一個解，D選項錯誤.故選：AB12．阿基米德的“平衡法”體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，他用平衡法求得拋物線弓形（拋物線與其弦所在直線圍成的圖形）面積等于此弓形的內(nèi)接三角形（內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)C在拋物線上，且在過弦的中點(diǎn)與拋物線對稱軸平行或重合的直線上）面積的.現(xiàn)已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且A為第一象限的點(diǎn)，E在A處的切線為l，線段的中點(diǎn)為D，直線軸所在的直線交E于點(diǎn)C，下列說法正確的是（

）A．若拋物線弓形面積為8，則其內(nèi)接三角形的面積為6B．切線l的方程為C．若，則弦對應(yīng)的拋物線弓形面積大于D．若分別取的中點(diǎn)，，過，且垂直y軸的直線分別交E于，，則【答案】ABD【分析】A選項直接通過題目中給出的條件進(jìn)行判斷；B選項聯(lián)立直線拋物線求出A點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)確定斜率，寫出切線方程進(jìn)行判斷；C選項令，進(jìn)行判斷；D選項根據(jù)條件依次求出各點(diǎn)坐標(biāo)，分別計算三角形的面積進(jìn)行判斷.【詳解】A選項：內(nèi)接三角形的面積，正確；B選項：，解得，又A為第一象限的點(diǎn)，，，，故切線方程為，即，正確；C選項：由，得，令，，弓形面積為，所以不等式不成立，錯誤；D選項：由知，軸，，又的中點(diǎn)，，易求，，，，因此成立，正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題需要依次判斷四個選項，A選項直接利用定義判斷，B選項關(guān)鍵在于按照切線方程的通用求法進(jìn)行求解，C選項通過特殊值進(jìn)行排除即可，D選項關(guān)鍵在于求出各點(diǎn)坐標(biāo)，再求三角形面積進(jìn)行判斷.三、填空題13．已知直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍為______.【答案】【分析】聯(lián)立方程得到，討論，兩種情況，計算得到答案.【詳解】直線方程與雙曲線方程聯(lián)立：得：,當(dāng)時，即時，直線與漸近線平行，有一個公共點(diǎn)，舍去；當(dāng)時，<0，即或，無公共點(diǎn).綜上所述：或.故答案為：14．七巧板是古代勞動人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形?一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有______種.【答案】【分析】畫圖分析其中四板塊必涂上不同顏色，再根據(jù)分類分步計數(shù)原理計算剩下的部分即可.【詳解】由題意，一共4種顏色，板塊需單獨(dú)一色，剩下6個板塊中每2個區(qū)域涂同一種顏色.又板塊兩兩有公共邊不能同色，故板塊必定涂不同顏色.①當(dāng)板塊與板塊同色時，則板塊與板塊或板塊分別同色，共2種情況；②當(dāng)板塊與板塊同色時，則板塊只能與同色，板塊只能與同色，共1種情況.又板塊顏色可排列，故共種.故答案為：15．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化規(guī)律，根據(jù)零點(diǎn)定義可得函數(shù)的零點(diǎn)為方程和方程的解，結(jié)合函數(shù)的圖象即可得出答案.【詳解】當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，與一次函數(shù)相比，函數(shù)呈爆炸性增長，從而，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，與對數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)呈爆炸性增長，從而，，當(dāng)，且時，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象如下：函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)與方程的解的個數(shù)一致，方程，可化為，所以或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個數(shù)與方程解的個數(shù)相等，而方程的解的個數(shù)與函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)相等，由圖可知：當(dāng)時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn).故答案為：.16．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”，若“黃金橢圓”兩個焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)，則______.【答案】/【分析】根據(jù)三角形面積公式、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義、離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，連接，，設(shè)到軸距離為，到軸距離為，則設(shè)△內(nèi)切圓的半徑為，則，∴不妨設(shè)，則，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義是解題的關(guān)鍵.四、解答題17．某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、英語共6節(jié)課(1)如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，則不同的排法有多少種？(2)原定的6節(jié)課已排好，學(xué)校臨時通知要增加生物化學(xué)地理3節(jié)課，若將這3節(jié)課插入原課表中且原來的6節(jié)課相對順序不變，則有多少種不同的排法？【答案】(1)種(2)種【分析】（1）根據(jù)數(shù)學(xué)必須比語文先上，屬于定序問題，采用除法處理即倍縮法，即可求解.（2）根據(jù)九科中六科的順序一定，屬于定序問題，采用除法處理即倍縮法，即可求解.【詳解】（1）如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，則不同的排法有種.（2）若將這3節(jié)課插入原課表中且原來的6節(jié)課相對順序不變，則有種.18．已知數(shù)列的前項和為，從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作為已知，解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，若對任意正整數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.條件①，且；條件②為等比數(shù)列，且滿足.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選①：由與的關(guān)系求；選②：求得后得到公比，寫出通項公式即可.（2）由裂項求和法求得，并求得的取值范圍，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】（1）選①：且，則，兩式相減，得，所以為公比的等比數(shù)列，又，，解得，所以；選②：因為為等比數(shù)列，且滿足，所以，，所以，所以.（2）因為，所以，顯然數(shù)列是關(guān)于的增函數(shù)，∵，∴，∴由恒成立得，，解得或故的取值范圍為.19．已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則：(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)討論方程的解的個數(shù)【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，由題意可得，即可得解，要注意檢驗；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，由此作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】（1）,因為是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，即，解得或，當(dāng)時，，令，則或，令，則，所以函數(shù)在上遞增，在上遞增，所以的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，符合題意，當(dāng)時，，所以在上遞增，所以無極值點(diǎn)，綜上所述；（2）由（1）可得，函數(shù)在上遞增，在上遞增，則，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，當(dāng)或時，方程有個解，當(dāng)或時，方程有個解，當(dāng)時，方程有個解.20．某地地方政府為了促進(jìn)農(nóng)業(yè)生態(tài)發(fā)展，鼓勵農(nóng)民建設(shè)生態(tài)采摘園.2022年該地生態(tài)采摘園的沃柑產(chǎn)量為6500公斤，計劃不超過24天內(nèi)完成銷售.采摘園種植的農(nóng)產(chǎn)品一般有批發(fā)銷售和游客采摘零售兩大銷售渠道.根據(jù)往年數(shù)據(jù)統(tǒng)計，游客從開園第1天到閉園，游客采摘量（公斤）和開園的第天滿足以下關(guān)系：.批發(fā)銷售每天的銷售量為200公斤，每公斤5元，采摘零售的價格是批發(fā)銷售價格的4倍.(1)取何值時，采摘零售當(dāng)天的收入不低于批發(fā)銷售當(dāng)天的收入？(2)采摘零售的總采摘量是多少？農(nóng)戶能否24天內(nèi)完成銷售計劃？【答案】(1)(2)1327公斤，不能完成銷售計劃【分析】（1）分段討論計算采摘零售當(dāng)天的收入:，批發(fā)銷售當(dāng)天的收入，列不等式求解即可；（2）當(dāng)時，采摘零售量為數(shù)列的和，當(dāng)時，采摘零售量為數(shù)列的和，兩者之和為采摘零售的總采摘量，再加上批發(fā)銷售的銷售總量后判斷是否超過6500公斤.【詳解】（1）由條件，當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得，所以，采摘零售當(dāng)天的收入不低于批發(fā)銷售的收入.（2）不能.當(dāng)時，為等差數(shù)列，記這些項的和為，.當(dāng)時，記數(shù)列這些項的和為，，即采摘零售的總采摘量是1327公斤.批發(fā)銷售的銷售總量為公斤，24天一共銷售公斤，故不能完成銷售計劃.21．以橢圓的中心O為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓C及其“伴隨”的方程；（2）過點(diǎn)作“伴隨”的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，記為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．【答案】（1）,；（2），，的最大值為1．【分析】（1）由橢圓C的離心率，結(jié)合的關(guān)系，得到，設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)，即可得到橢圓方程和“伴隨”的方程；（2）設(shè)切線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，即可得到AB的長，由l與圓相切，得到的關(guān)系式，求出的面積，運(yùn)用基本不等式，即可得到最大值．【詳解】（1）橢圓的離心率為，可得，即又由，可得，設(shè)橢圓C的方程為，因為橢圓C過點(diǎn)，代入可得，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又由，即“伴隨圓”是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，所以橢圓C的“伴隨”方程為．（2）由題意知，，易知切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，由得，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則，．又由l與圓x2+y2=1相切，所