從大學(xué)數(shù)學(xué)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)-高兵龍

從大學(xué)數(shù)學(xué)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)西安交通大學(xué)城市學(xué)院

高兵龍簡介

高兵龍，會計902班學(xué)生，中共黨員，曾擔(dān)任篤學(xué)書院團總支副書記、應(yīng)用經(jīng)濟系團工委組織部部長、管理系學(xué)生會主席、數(shù)學(xué)建模協(xié)會會長等職，現(xiàn)任西安交通大學(xué)城市學(xué)院團委副書記，2010年10月創(chuàng)建數(shù)學(xué)建模協(xié)會。

個人學(xué)習(xí)工作獲得榮譽情況：

2010年學(xué)生軍事訓(xùn)練中榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”;

2010-2011學(xué)年五四表彰中被評為“優(yōu)秀學(xué)生會干部”;

2009-2010\2011-2012學(xué)年五四表彰中被評為“優(yōu)秀共青團干部”;

2009-2010\2010-2011學(xué)年被學(xué)院評為“優(yōu)秀學(xué)生干部”;

2009-2010\2010-2011學(xué)年榮獲“國家勵志獎學(xué)金”;

2011年9月在第三屆數(shù)學(xué)競賽中榮獲“二等獎”；

2011年在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中榮獲“二等獎”.

2010年9月發(fā)表論文《獨立學(xué)院文科生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的探索與研究》榮獲中國教育教學(xué)研究會教科論文“一等獎”；

2012年5月發(fā)表論文《新時期保持大學(xué)生黨員先進性有效載體問題研究》榮獲2012年“科教杯”學(xué)術(shù)論文大賽國家級“一等獎”；數(shù)學(xué)——科學(xué)殿堂的鑰匙強者翱翔的翅膀——國家級教學(xué)名師馬知恩教授0一、數(shù)學(xué)的發(fā)展的主要階段二、為什么要學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)三、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容四、如何才能學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)五、從大學(xué)數(shù)學(xué)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要內(nèi)容一數(shù)學(xué)的發(fā)展的主要階段

數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個主要階段

常量數(shù)學(xué)時期,即“初等數(shù)學(xué)”時期，在這個時期里，數(shù)學(xué)已由具體的階段過渡到抽象的階段，并逐漸形成一門獨立的、演繹的科學(xué)。算術(shù)、初等幾何、初等代數(shù)、三角學(xué)等都已成為獨立的分支。這個時期的基本成果就構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)課程的主要內(nèi)容。

數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個主要階段

變量數(shù)學(xué)時期,即“高等數(shù)學(xué)”時期。這個時期以17世紀中葉笛卡兒的解析幾何的誕生為起點,在這一時期用運動和變化的觀點來探究事物變化和發(fā)展的規(guī)律。變量與函數(shù)的概念進入了數(shù)學(xué)，隨后產(chǎn)生了微積分。這個時期基本成果是解析幾何、微積分、線性代數(shù)、微分方程等。這就是現(xiàn)在高等院校中的基礎(chǔ)課程。

數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個主要階段

現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期，這個時期始于19世紀中葉直到現(xiàn)在。在這個階段，數(shù)學(xué)研究的對象被推廣，這相應(yīng)地引起了量的關(guān)系和空間形式在概念本身的重大突破。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅研究各種變化著的量的關(guān)系，而且研究各種量之間的可能關(guān)系和形式。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科之間、數(shù)學(xué)和物理等其他學(xué)科之間相互交叉和滲透，形成了許多邊緣學(xué)科和綜合性學(xué)科。集合論、計算數(shù)學(xué)、電子計算機等的出現(xiàn)和發(fā)展構(gòu)成了現(xiàn)在豐富多彩、滲透到各個科學(xué)技術(shù)部門的現(xiàn)代數(shù)學(xué)。二為什么要學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)

大學(xué)數(shù)學(xué)是高等院校許多專業(yè)學(xué)生必修的重要基礎(chǔ)理論課程。數(shù)學(xué)主要是研究現(xiàn)實世界中的“數(shù)量關(guān)系”與“空間形式”。

世界上任何客觀存在都有其“數(shù)”與“形”的屬性特征，并且一切事物都發(fā)生變化，遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律。

凡是研究量的大小、量的變化、量與量之間關(guān)系以及這些關(guān)系的變化，就少不了數(shù)學(xué)。

同樣，客觀世界存在有各種不同的空間形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，實事之繁，……無處不用數(shù)學(xué)。馬克思說：“一門科學(xué),只有當它成功地運用數(shù)學(xué)時,才能達到真正完善的地步”

.恩格斯說：“要辨證而又唯物地了解自然,就必須掌握數(shù)學(xué)”.

數(shù)學(xué)如今已經(jīng)越來越被人們認為是在科學(xué)發(fā)展中被高度重視的課程。它不僅是各專業(yè)的后繼課程所必需，而且它本身就是科學(xué)思維、邏輯分析的素質(zhì)訓(xùn)練。通俗地說數(shù)學(xué)是思維方法的體操。

自然科學(xué)各學(xué)科數(shù)學(xué)化的趨勢，社會科學(xué)各部門定量化的要求，使許多學(xué)科都在直接間接地，或先或后地經(jīng)歷著一場數(shù)學(xué)化的進程。

聯(lián)合國教科文組織在一份調(diào)查報告中強調(diào)指出：“目前科學(xué)研究工作的特點之一是各門學(xué)科的數(shù)學(xué)化”?！胺催^來科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，又成為數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的源泉與動力?！?/p>

數(shù)學(xué)有一個特殊的位置，它是一個專門的領(lǐng)域，但又為其他科學(xué)領(lǐng)域提供思維的工具。三大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容

大學(xué)數(shù)學(xué)主要分為：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計。

高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容為兩部分，即微積分學(xué)和空間解析幾何。但主要是微積分學(xué)。

微積分學(xué)研究的對象是函數(shù)，而極限則是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，也是最主要的推理方法。與微積分創(chuàng)立密切相關(guān)的科學(xué)技術(shù)問題，從數(shù)學(xué)角度歸納起來有四類：第一類是，在已知變速運動的路程為時間的函數(shù)時，求瞬時速度和加速度；

第二類是，求已知曲線的切線；第三類是，求給定函數(shù)的最大值與最小值；第四類是，求給定曲線長；求已知平面曲線圍成的面積；求已知曲面圍成的體積；求物體的重心；已知變速運動物體的速度、加速度，求物體運動的路程與時間的關(guān)系等。

第一類、第二類問題為微分學(xué)的基本內(nèi)容，屬于求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題。第三類問題為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也是微分學(xué)的主要內(nèi)容。第四類問題屬于積分學(xué)的中心問題。

這條曲線在點處的切線方程是②圖中陰影部分的面積是怎樣計算的？③OB弧的長度是如何求出的？怎樣得到的？問題:(如圖)(用極限、導(dǎo)數(shù))

(用極限、不定積分、定積分)(用定積分的應(yīng)用)

④圖中陰影部分的圖形繞軸(或軸)旋轉(zhuǎn)一周的立體的體積有計算公式嗎？⑤圖中陰影部分的圖形繞軸(或軸)旋轉(zhuǎn)一周的立體的表面積是多少？⑥無窮多個數(shù)相加的和仍然是一個數(shù)嗎？⑦兩電線桿之間的電線的長度是多少？(用定積分的應(yīng)用、二重積分)(用級數(shù))

(用定積分的應(yīng)用、微分方程)(用二重積分的應(yīng)用)

數(shù)學(xué)考研基本情況數(shù)學(xué)一（力學(xué)、機械、電氣、信息、計算機等）

（1）高等數(shù)學(xué)（56%）

（2）線性代數(shù)（22%）

（3）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（22%）數(shù)學(xué)二（紡織、輕工、農(nóng)業(yè)、林業(yè)、食品等）

（1）高等數(shù)學(xué)（78%）

（2）線性代數(shù)（22%）數(shù)學(xué)三（經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)門類等）

（1）微積分（56%）

（2）線性代數(shù)（22%）

（3）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（22%）

高等數(shù)學(xué)考研主要內(nèi)容數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）

1.函數(shù)、極限、連續(xù)；2.一元函數(shù)微分學(xué)；

3.一元函數(shù)積分學(xué)；4.向量代數(shù)與空間解析幾何；

5.多元函數(shù)微分學(xué)；6.多元函數(shù)積分學(xué)；

7.無窮級數(shù)；8.常微分方程.數(shù)學(xué)二（高等數(shù)學(xué)）

1.函數(shù)、極限、連續(xù)；2.一元函數(shù)微分學(xué)；

3.一元函數(shù)積分學(xué)；4.多元函數(shù)微分學(xué).5.常微分方程；數(shù)學(xué)三（微積分）

1.函數(shù)、極限、連續(xù)；2.一元函數(shù)微分學(xué)；

3.一元函數(shù)積分學(xué)；4.多元函數(shù)微分學(xué)；

5.無窮級數(shù)；6.常微分方程與差分方程.四如何才能學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)

要學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué),必須了解大學(xué)數(shù)學(xué)的特點，大學(xué)數(shù)學(xué)具有三個顯著的特點：1、高度的抽象性2、嚴謹?shù)倪壿嬓?、廣泛的應(yīng)用性

1.高度的抽象性.數(shù)學(xué)的抽象性在簡單的計算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來，我們運用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它同具體的對象聯(lián)系起來。

2.嚴謹?shù)倪壿嬓?數(shù)學(xué)的每一個定理，只有當它已經(jīng)從邏輯的推論上嚴格地被證明了的時候，才能在數(shù)學(xué)中成立。

3.廣泛的應(yīng)用性.大學(xué)數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性是很明顯的．學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)之“六部曲”(一).堅持預(yù)習(xí)，理清思路。(二).認真聽課，學(xué)會思考。(三).勤記筆記，防止回生。(四).及時復(fù)習(xí)，溫故知新。(五).完成作業(yè)，鞏固知識。(六).及時答疑，不留后患。五從大學(xué)數(shù)學(xué)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)根據(jù)中華人民共和國個人所得稅法規(guī)定：個人工資、薪金所得應(yīng)納個人所得稅.應(yīng)納所得稅額的計算為：工資、薪金所得，以每月收入額減除費用2000元后的余額，為應(yīng)納稅所得額.最后列出下面的稅率表：

我國工薪人員應(yīng)納多少稅個人所得稅稅率表（工資、薪金所得適用）級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額（元）稅率（%）1不足50052500～20001032000～50001545000～2000020520000～4000025640000～6000030760000～8000035880000～100000409100000以上45

我國工薪人員應(yīng)納多少稅若某人的月工資、薪金所得為元，請列出他應(yīng)繳納的稅款與其工資、薪金所得之間的關(guān)系.解:按稅法規(guī)定當元時，不必納稅，這時當元時，納稅部分是稅率為所以當元時，其中元不納稅，元應(yīng)納的稅，即（元）.再多的部分，即按納稅.所以他應(yīng)納稅款為

我國工薪人員應(yīng)納多少稅依次可列出下面的函數(shù)關(guān)系式:

產(chǎn)品利潤中的極限問題已知生產(chǎn)對汽車擋泥板的成本是（美元），每對的售價為5美元.于是售價對的收入為（1）出售對比出售對所產(chǎn)生的利潤增長額為

當生產(chǎn)穩(wěn)定、產(chǎn)量很大時，這個增長額為試求這個極限值；（2）生產(chǎn)了對擋泥板時，每對的平均成本為

同樣當產(chǎn)品產(chǎn)量很大時，每對的成本大致是試求這個極限值.

產(chǎn)品利潤中的極限問題解:求實質(zhì)上是求

拉船靠岸問題如圖所示，在離水面高度為的岸上，有人用繩子拉船靠岸.假定繩長為船位于離岸壁處，試問：當收繩速度為時，船的速度、加速度各是多少？解:三者構(gòu)成了直角三角形，由勾股定理得兩端對時間求導(dǎo)，得

拉船靠岸問題

為繩長，按速度定義，即為收繩速度船只能沿線在水平面上行駛逐漸靠近岸壁，因而應(yīng)為船速將它們帶入得船速利用（1）式消去得（4）中均為常數(shù)，只有是變量.按加速度定義將（4）式代入上式，得

工人上班何時效率最高對某廠的上班工人的工作效率的研究表明，一個中等水平的工人早上8：00開始工作，在小時之后，生產(chǎn)出個晶體管收音機.問：在早上幾點鐘這個工人工作效率最高？解:

求這個工人幾點鐘工作效率最高，就是問早上幾點鐘這個工人的生產(chǎn)率取得最大值.我們知道，一般地，對于函數(shù)若自變量在點有一個增量必然引起因變量的一個增量則比值就是當變動一數(shù)量時，關(guān)于的平均變化率.

工人上班何時效率最高在此題中就是一個中等水平的工人的產(chǎn)量關(guān)于的平均生產(chǎn)率.當趨向于時，這個比值的極限值就稱為在所給值時的變化率.在此題中就是一個中等水平的工人的產(chǎn)量關(guān)于的變化率，即在時刻的生產(chǎn)率.也就是說這個工人的生產(chǎn)率就是導(dǎo)函數(shù)

工人上班何時效率最高假定上午班是從早上至中午則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.的導(dǎo)函數(shù)是當時，上式等于由求函數(shù)最大值的方法知，當時，即在上午這個工人的工作效率最高.比較

高速公路出口處車輛平均行駛速度某公路管理處在城市高速公路出口處，記錄了幾個星期內(nèi)平均車輛行駛速度.數(shù)據(jù)統(tǒng)計表明，一個普通工作日的下午1：00至6：00之間，此口在時刻的平均車輛行駛速度為左右，試計算下午1：00至6：00內(nèi)的平均車輛行駛速度？解:一般地，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值，等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分除以區(qū)間的長度（積分中值定理）

高速公路出口處車輛平均行駛速度此題目的是球函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均值.平均車輛行駛速度解：依題意，總收益函數(shù)為因而總利潤函數(shù)為

最大利潤問題某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，需求函數(shù)分別為其中分別為兩種產(chǎn)品的價格，分別為兩種產(chǎn)品的需求量。如果生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為試求兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各是多少時可獲得最大利潤？由極值存在的必要條件解得因為所以是極大值點，又因為實際問題有最大值，因此當兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為時，可獲得最大利潤。此時的最大利潤為

最大利潤問題

如何確定商品價格浮動的規(guī)律設(shè)某種商品的供給量與需求量是只依賴于價格的線性函數(shù)，并假定在時間時價格的變化率與這時的過剩需求量成正比.試確定這種商品的價格隨時間的變化規(guī)律.解：設(shè)其中都是已知的正常數(shù).（1）式表明供給量是價格的遞增函數(shù)；（2）式表明需求量是價格的遞減函數(shù).

如何確定商品價格浮動的規(guī)律當供給量與需求量相等時，由（1）與（2）求出平衡價格為容易看出，當供給量小于需求量時，即價格將上漲.這樣市場價格就隨時間的變化而圍繞平衡價格上下波動.因而，我們可以設(shè)想價格是時間的函數(shù)由假定知道，的變化率與成正比，即有

如何確定商品價格浮動的規(guī)律其中是正的常數(shù)，將（1）與（2）代入上式得其中都是正的常數(shù).（3）式是一個一階線性微分方程.求通解如下：如果已知初始價格則（3）式的特解為：即為商品價格隨時間的變化規(guī)律.

如何計劃家庭教育基金從1994年開始，我國逐步實行了大學(xué)收費制度.為了保障子女將來的教育經(jīng)費，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入元作為家庭教育基金.若銀行的年復(fù)利率為試寫出第年后教育基金總額的表達式.預(yù)計當子女18歲進入大學(xué)時所需費用為30000元，按年復(fù)利率10%計算，小張每年應(yīng)向銀行存入多少元？解：設(shè)年后教育基金總額為每年向銀行存入元，依據(jù)復(fù)利計算公式有如下遞推關(guān)系：

如何計劃家庭教育基金由（1）遞推可得由初始條件（2）可得將（3）對求和

如何計劃家庭教育基金所以，年后的教育基金總額為預(yù)試將代入（4）因此，小張每年應(yīng)向銀行存入586.40元.

已知，求的值.解：由解得

極限與定積分的綜合應(yīng)用計算二重積分其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域．解:區(qū)域所以

直角坐標系下二重積分的計算.求二重積分其中是由圓直線及軸所圍成的第一象限部分．解:區(qū)域所以

極坐標系下二重積分的計算行列式的計算計算行列式解：有唯一解、無解、有無窮多組解？并在有無窮多解的情況下，求出其通解。解:將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣：

線性方程組的基本問題當取何值時，非齊次線性方程組

⑴當且時，，此時線性方程組有唯一解．

⑵當時，，此時線性方程組無解．⑶當時，，此時線性方程組有無窮多組解．此時，原線性方程組化為

因此，原線性方程組的通解為所以，