線性代數(shù)11第一章

引例用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個(gè)位1232種放法1種放法種放法.共有一、全排列及其逆序數(shù)第二節(jié)n

階行列式的定義(I)問題定義把個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)元素的全排列（或排列）.

個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.由引例同理

在一個(gè)排列中，若數(shù)則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.例如排列32514中，定義

我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序,n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.排列的逆序數(shù)32514逆序逆序逆序定義

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如排列32514中，32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).例

求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)3,故逆序數(shù)為1;計(jì)算排列逆序數(shù)的方法32514于是排列32514的逆序數(shù)為5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個(gè),故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個(gè),故逆序數(shù)為1;二、對(duì)換定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的方法叫做對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換．例如定理2.1

一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．證明設(shè)排列為對(duì)換與除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當(dāng)時(shí)，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對(duì)換后的逆序數(shù)增加1,經(jīng)對(duì)換后的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)減少1.因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為當(dāng)時(shí)，現(xiàn)來對(duì)換與次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).證明

由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立.2

排列具有奇偶性.3計(jì)