2020年上海卷數(shù)學高考真題

2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學卷

（上海卷）

一、填空題（本題共12小題，滿分54分，其中1-6題每題4分，7T2題每

題5分）

1.已知集合A1,2,4,B2,3,4,求AB________【分值】4分

2,4【答案】

八1

2.lim________

八3八1

【分值】4分

1

3【答案】

3.已知復數(shù)z滿足zI2i（i為虛數(shù)單位），則z【分值】4分

5【答案】lacac4.已知行列式2加6,則行列式

db

300【分值】4分

【答案】2

5.已知Fxx,則fx3?【分值】4分

I【答案】3

XXR6.已知a、b、1、2的中位數(shù)為3,平均數(shù)為4,則ab=【分值】

4分

【答案】36xg2

7.已知y0,則zg2x的最大值為

X2g30【分值】5分

【答案】Taai29

8,已知a是公差不為零的等差數(shù)列，且aa。，則

nl109^10

【分值】5分

27【答案】8

9.從6人中挑選4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第

三天需要2人，則有種排法。

【分值】5分

【答案】180

22

xylO.橢圓1,過右焦點F作直線/交橢圓于P、Q兩點，P在第二象限已43知

Qx,y,Q'X',y'都在橢圓上，且gy10,FQPQ,則直線/的方QQQQQQ

程為【分值】5分

【答案】xy10

11、設aR,若存在定義域尺的函數(shù)fX既滿足“對于任意xR,fX的

002

值為X或X”又滿足“關(guān)于X的方程fX。無實數(shù)解”，則的取值范圍為

。。【分值】5分

【答案】,00,11,

【解析】題目轉(zhuǎn)換為是否為實數(shù)使得存在函數(shù)fX

2滿足“對于任意xR,fX的值為x或x”，

加又滿足“關(guān)于的方程fxn無實數(shù)解”構(gòu)造函數(shù)；x,xafX,則

方程fxa

2X,xa只有0,1兩個實數(shù)解。

d，a】tb、＞b、tbj（斤€）

12、已知是平面內(nèi)兩兩互不平等的向量，滿足

%一生|=1⑷,且（其中，I2j1,2,...,k）,則K的最大值為

【分值】5分

【答案】6

【解析】根據(jù)向量減法的運算規(guī)律，

lq-耳但跖｝.和對可轉(zhuǎn)化為以向量

終點為圓心，作半徑r。和「2的原

圓，兩圓交點即為滿足題意的，由圖

知,k的最大值為6.

二、選擇題（本題共有4小題，每題5分，共計20分）

13、下列不等式恒成立的是（）

2ZA、ab2ab

22B、ab-lab

Cyah2ab

D、ab2ab

【分值】5分

【答案】B【解析】無

14、已知直線/的解析式為次4g1（）,則下列各式是/的參數(shù)方程的是（）

X43優(yōu)、

g34tx43怵、

g34t

X14tc、

y13tx14tD,

y13t【分值】5分

【答案】D【解析】無

15、在棱長為10的正方體.ABCDABCD中，P為左側(cè)面ADDA上一點，已”””

知點P到AP的距離為3,點P到AA的距離為2,則過點P且與AC平行的直線

皿交正方體于P、Q兩點，則Q點所在的平面是（）

A.AABB

BBCC

nC.CCDD

nD.ABCD

【分值】5分

【答案】D【解析】

延長BC至M點，使得CM=2

延長CC至N點，使得CN3,

?以C、M、N為頂點作矩形，記矩形的另外一個頂點為H,

連接AP、PH、HC,則易得四邊形APHC為平行四邊形,

11因為點P在平iSADDA內(nèi)，點H在平面BCCB內(nèi)，

1111且點P在平面ABCD的上方，點H在平面ABCD下方,

所以線段PH必定會在和平面ABCD相交，

即點Q在平面ABCD內(nèi)

16.、若存在aR且a0,對任意的xR,均有

fXa<fxfa恒成立，則稱函數(shù)fX具有性質(zhì)P,已知：

q：fx單調(diào)

?遞減，且fx〉0恒成立；q：fx單調(diào)遞增，存在x<o使得fx0,

則是

200fx具有性質(zhì)P的充分條件是（）

A、只有q

iB、只有q

2C、q和q

加、q和q都不是

12【分值】5分

【答案】C

【解析】本題要看清楚一個函數(shù)具有性質(zhì)P的條件是，存在aR且a0,

則對于q,a〉O時，易得函數(shù)fX具有性質(zhì)P；

?對于q,只需取ax,則xaxx<x,fafx0,

2000所以fxafxx<fx=fxfa,所以此時函數(shù)

fx具有性質(zhì)P.o

三、解答題(本題共5小題，共計76分)

綜合題分割

17、已知邊長為1的正方形ABCD,沿BC旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱體。

(1)求圓柱體的表面積；

(2)正方形ABCD繞BC逆時針旋轉(zhuǎn)到ABCD,求AD與平面ABCD所成的角。

m2

【分值】【答案】(1)4JI;3

(2)arcsin3

綜合題分割

18、已知f(x)=sinX(0).1

(1)若f(x)的周期是4n,求，并求此時f(X)的解集；2

2(2)已知=1,g(X)f(X)3f(X)f(X),x0,,求g(x)的值域.

24

【分值】15

【答案】⑴=,xx|x=4k或x4k,kZ;233

1

⑵-,0

2

綜合題分割3。

lq100-135(),x(0,40)

*19、已知：=,x(0,8()],且=(k0),

3

xk(X40)85,x[40,80]

(1)若v>95,求x的取值范圍；

(2)已知x=80時，v=50,求x為多少時，q可以取得最大值，并求出該最大值。

【分值】80

【答案】(1)x(0,);3

48028800

(2)X時，q=max77

綜合題分割22

xy22220,雙曲線C：1,圓c：xy4b(b0)在第一象限交點為A,

12224k

xgl,xX2AA(x,g),曲線。

4(?AA222Xy4b,xXA⑴若X6,求b;

A(2)若b5,C與X軸交點記為F、RP212是曲線上一點，且在第一象限，并滿足

,求NFPF;

PF81122

bb(3)過點S(0,2)且斜率為的直線/交

■,■,?'I'?

22。1人〃\OHQV曲線于此N兩點，用b的代數(shù)式表示，并求出的取值范圍。

【分值】

【答案】(1)2;11

(2);16

(3)(625,)；

【解析】(1)若X6,因為點A為曲線C與曲線C的交點,

A1222

xg1Ay2

2V,解得，

4bb2222xy4bA.".b2

(2)方法一：由題意易得F、F為曲線的兩焦點，

口由雙曲線定義知：PFPF2a,

21PF8,2。4,/.PF4

口又入5,AFF6

口在PFF中由余弦定理可得：

12222

cosFPFPFPFFFlI1212

122PFPF16

1222

xg1方法二：???b5,可得，解得P(4,15),

4522(x3)y64

/.PR=(-7.-vi5).pQ=(-it-Vi5),

PF,PF.II

16

ibb4

(3)設直線l：yx

222b4必422可得原點0到直線/的距離Wb4

22bb4

14

所以直線/是圓的切線，切點為M,224222222所以k,并設/：gx,與圓xy4b

聯(lián)立可得XK4b,

oMo^bbb

所以得X她2,即M（b,2）,

注意到直線I與雙曲線得斜率為負得漸近線平行，

所以只有當g2時，直線/才能與曲線有兩個交點，

A22

xg出22

由，得g,

4bA2

ab222

xg4bA4

Az所以有4,解得S225,或b225（舍）2

4bO'iON6；+4O.VO.VOS在?！庇忠驗橛缮系耐队翱芍?/p>

如?麗=/+4>6+2石所以砌6飛（6,2、5.，|

21.有限數(shù)列｛4｝,若滿足a\\aa\...\aa\,M是項數(shù)，則稱｛n｝滿n⑵3.八足

性質(zhì)p.

(1)判斷數(shù)列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性質(zhì)p,請說明理由.

(2)若n1,公比為q的等比數(shù)列，項數(shù)為10,具有性質(zhì)p,求q的取值范圍.

(3)若a是1,2,…網(wǎng)的一個排列(儂4)&a(k1),｛。｝,｛旬都具

泌k2有性質(zhì)？，求所有滿足條件的｛a｝.?【分值】

【答案】(1)對于第一個數(shù)列有|23|1,153|2,|13|2,

滿足題意，該數(shù)列滿足性質(zhì)p

對于第二個數(shù)列有［34|1,|24|2,|54|1不滿足題意，該數(shù)列不滿足性質(zhì)p.

1(2)由題意可得，q1,八2,3,...,9M2八-2八/兩邊平方得：

q2q1%2q+\

整理得:(ql)qqq12NO

ni當價工時，得q(q1)220,此時關(guān)于八恒成立，

所以等價于八2時1)220,所以(q2)(q1)20,

所以qW-2或者q2l,所以取qNL

八工當0<qWl時，得q(q1)2<0,此時關(guān)于八恒成立，

所以等價于八2時q(qI)2W0,所以?2)(ql)W0,所以2WqWl,所以取0

<qWl。

八In1

當lWq<0時，得qq(q1)2WO。

八?當八為奇數(shù)的時候，得或q1)2W0,很明顯成立，

當八為偶數(shù)的時候，得q(q1)220,很明顯不成立,

故當lWq<0時，矛盾，舍去。

GM?當1時，得qq(q1)2WO。

八?當八為奇數(shù)的時候，得1)2W0,很明顯成立，

?1當八為偶數(shù)的時候，要使q?1)220恒成立，

所以等價于八2時q(q1)2N0,所以q2q120,

所以qW-2或者所以取qW-2。

綜上可得，q,20,。

(3)設a=pp3,4,…，m3,kv\2

?因為ap,a可以取p1或者？1,“可以取p2或者p+2i23。

如果a或者a取了？3或者p3,將使a不滿足性質(zhì)？3八

所以，4的前五項有以下組合：

*①。p,ap1,ap1,ap2,ap2,“處

②ap,ap1,ap1,ap2,ap2,也

③ap,ap+l,ap\ap2,ap2,

123,45

?ap,ap+1,ap\fap2,ap2t12345

對于①，bp1,bb2,bbl,與b滿足性質(zhì)p矛盾，舍去。設⑶八

對于②，bpI,bb2,bh3,bb2與b滿足性質(zhì)p矛⑵3⑷八盾，

舍去。對于③，bp+1,bb2,bb3,bbl與b滿足性質(zhì)p矛

12BI4lnM,舍去。

對于④，bp+1,bb2,bb1,與b滿足性質(zhì)p矛盾，舍去。⑵3M

所以？3,4,"?，33,m2均不能同時使a,b都具有性質(zhì)??

當p=l時，有數(shù)列。：1,2,3,…，M滿足題意。

.當p=nn時，時有數(shù)列a:1,…,3,21,滿足題意。

“當p=2時，有數(shù)列。：2,1,3,…,出滿足題意。

.當時，有數(shù)列a:ml,m,m2,m3,…,3,21,滿足題意。

「故滿足題意的數(shù)列只有上面四種。

高考數(shù)學考試的五大高分技巧

一、構(gòu)建知識脈絡

要學會構(gòu)建知識脈絡，數(shù)學概念是構(gòu)建知識網(wǎng)絡的出發(fā)點，也是數(shù)學中考考查的重點。因

此，我們要掌握好代數(shù)中的數(shù)、式、不等式、方程、函數(shù)、三角比、統(tǒng)計和幾何中的平行

線、三角形、四邊形、圓的概念、分類，定義、性質(zhì)和判定，并會應用這些概念去解決一

些問題。

二、夯實數(shù)學基礎

在復習過程中夯實數(shù)學基礎，要注意知識的不斷深化，注意知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和關(guān)系，

將新知識及時納入已有知識體系，逐步形成和擴充知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這樣在解題時，就能由

題目所提供的信息，從記憶系統(tǒng)中檢索出有關(guān)信息，選出最佳組合信息，尋找解題途徑、

優(yōu)化解題過程。

三、建立病例檔案

準備一本數(shù)學學習“病例卡”，把平時犯的錯誤記下來，找出“病因”開出“處方”，并

且經(jīng)常地拿出來看看、想想錯在哪里，為什么會錯，怎么改正，這樣到中考時你的數(shù)學就

沒有什么“病例”了。我們要在教師的指導下做一定數(shù)量的數(shù)學習題，積累解題經(jīng)驗、總

結(jié)解題思路、形成解題思想、催生解題靈感、掌握學習方法。

四、常用公式技巧

準確對經(jīng)常使用的數(shù)學公式要理解來龍去脈，要進一步了解

第1頁/共4頁其推理過程，并對推導過程中產(chǎn)生的一些可能變化自行探究。對今后繼續(xù)

學習所必須的知識和技能，對生活實際經(jīng)常用到的常識，也要進行必要的訓練。例如：1-

20的平方數(shù)；簡單的勾股數(shù)；正三角形的面積公式以及高和邊長的關(guān)系；30°、45°直

角三角形三邊的關(guān)系……這樣做，一定能更好地掌握公式并勝過做大量習題，而且往往會

有意想不到的效果。

五、強化題組訓練

除了做基礎訓練題、平面幾何每日一題外，還可以做一些綜合題，并且養(yǎng)成解題后反思的

習慣。反思自己的思維過程，反思知識點和解題技巧，反思多種解法的優(yōu)劣，反思各種方

法的縱橫聯(lián)系。