2023版高考數(shù)學一輪復習講義：第十一章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉存，自動更新，一勞永逸第一節(jié)隨機抽樣、用樣本估計總體·最新考綱·1．理解隨機抽樣的必要性和重要性．2．會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法．3．了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點．4．理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差．5．能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并做出合理的解釋．6．會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想．7．會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題．·考向預測·考情分析：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣在高考中極少單獨考查，有時與概率問題相結合出現(xiàn)在題目的已知條件中；頻率分布直方圖、莖葉圖等統(tǒng)計圖表屬于高考的?？純热?，題型多為選擇題，有時也與概率相結合出現(xiàn)在解答題中．學科素養(yǎng)：通過隨機抽樣、統(tǒng)計圖表、數(shù)字特征考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．積累必備知識——基礎落實贏得良好開端一、必記5個知識點1．簡單隨機抽樣(1)抽取方式：逐個不放回地抽?。?2)特點：每個個體被抽到的概率相等．(3)常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法．2．分層抽樣(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)分層抽樣的應用范圍當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．3．作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．4．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．5．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：把a1+a2+…+ann稱為a1，a2(4)標準差與方差：設一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為x，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝1ns2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2二、必明2個常用結論1．必記結論(1)眾數(shù)的估計值是最高矩形底邊中點的橫坐標．(2)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．(3)中位數(shù)的估計值的左邊和右邊小矩形的面積和是相等的．2．常用公式(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是x，則mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是mx＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2，標準差為as.三、必練4類基礎題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣．()(2)在抽簽法中，先抽的人抽中的可能性較大．()(3)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．()(4)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內的頻率越大．()(5)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準確，后者直觀．()(6)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)的估計值．()(二)教材改編2．[選修3·P64習題T5改編]某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了調查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應在這三個年齡段分別抽取人數(shù)為()A．33，34，33B．25，56，19C．20，40，30D．30，50，203．[必修3·P71練習T1改編]如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖．若樣本容量為100，則樣本數(shù)據(jù)在[15，20]內的頻數(shù)是________．(三)易錯易混4．(忽視系統(tǒng)抽樣中可以先剔除部分個體)某學校為了解高一年級1203名學生對某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，若采用系統(tǒng)抽樣，則分段間隔為________．5．(方差的性質不熟致誤)若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)x＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________．(四)走進高考6．[2021·全國甲卷]為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是()A．該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B．該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間提升關鍵能力——考點突破掌握類題通法考點一抽樣方法[基礎性]1．利用簡單隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本．若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為13A．14B．13C．52．[2022·漳州質檢]某公司決定利用隨機數(shù)表對今年新招聘的800名員工進行抽樣調查他們對目前工作的滿意程度，先將這800名員工進行編號，編號分別為001，002，…，799，800，從中抽取80名進行調查，下面提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324377892345若從表中第5行第6列開始向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，則抽到的第5名員工的編號是()A．007B．253C．328D．7363．[2022·蚌埠模擬]某市小學，初中，高中在校學生人數(shù)分別為7.5萬，4.5萬，3萬．為了調查全市中小學生的體質健康狀況，擬隨機抽取1000人進行體質健康檢測，則應抽取的初中生人數(shù)為()A．750B．500C．450D．300反思感悟1．應用隨機數(shù)法的兩個關鍵點(1)確定以表中的哪個數(shù)(哪行哪列)為起點，以哪個方向為讀數(shù)的方向；(2)讀數(shù)時注意結合編號特點進行讀?。艟幪枮閮晌粩?shù)字，則兩位兩位地讀??；若編號為三位數(shù)字，則三位三位地讀取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復號碼的數(shù)字舍去，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本．2．解決分層抽樣的常用公式先確定抽樣比，然后把各層個體數(shù)乘以抽樣比，即得各層要抽取的個體數(shù)．(1)抽樣比＝樣本容量總體容量＝各層樣本容量(2)層1的容量∶層2的容量∶層3的容量＝樣本中層1的容量∶樣本中層2的容量∶樣本中層3的容量．考點二統(tǒng)計圖表及應用[基礎性、應用性、創(chuàng)新性]角度1扇形圖[例1][全國卷Ⅰ]某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅狀圖：則下面結論中不正確的是()A．新農村建設后，種植收入減少B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上C．新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半聽課筆記：角度2折線圖[例2]空氣質量指數(shù)AQI是反映空氣狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如下表：AQI指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～300>300空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染下圖是某市10月1日～20日AQI指數(shù)變化趨勢，則下列敘述不正確的是()A．這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占1C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的好聽課筆記：角度3莖葉圖[例3][2022·廣東廣雅中學、江西南昌二中聯(lián)考]某市重點中學奧數(shù)培訓班共有14人，分為兩個小組，在一次階段考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學生成績的平均數(shù)是88，乙組學生成績的中位數(shù)是89，則m＋n的值是()A.10B．11C．12D．13聽課筆記：角度4頻率分布直方圖[例4][2022·長沙市統(tǒng)一模擬考試]某學校對本校高三500名學生的視力進行了一次調查，隨機抽取了100名學生的體檢表，得到的頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，則估計本校高三這500名學生中視力在4.8以上(含4.8)的人數(shù)為()A．185B．180C．195D．200聽課筆記：反思感悟(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關系．(2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢．(3)由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點是當樣本容量較大時，作圖較煩瑣．(4)準確理解頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點：①頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結果，不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆．②頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關鍵，常利用頻率分布直方圖估計總體分布．【對點訓練】1．已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結構的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結構的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取30%的戶主進行調查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為()A．240，18B．200，20C．240，20D．200，182．[2022·德州模擬]港珠澳大橋于2018年10月2日正式通車，它是中國境內一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調查．畫出頻率分布直方圖(如圖)，根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85，90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A．300，0.25B．300，0.35C．60，0.25D．60，0.353．某院校教師情況如下表所示：類別年度老年中年青年男女男女男女202012060240120100402021210403202002001202022300150400270320280關于2020年、2021年、2022年這3年該院校的教師情況，下面說法不正確的是()A．2021年男教師最多B．該校教師最多的是2022年C．2021年中年男教師比2020年多80人D．2020年到2022年，該校青年年齡段的男教師人數(shù)增長率為220%4．某調查機構對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖，則下列結論中不正確的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之間出生，80前指1979年及以前出生．A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)超過總人數(shù)的20%C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)90后比80后多考點三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征[應用性、創(chuàng)新性][例5][2020·全國卷Ⅰ]某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級．加工業(yè)務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元．該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務．甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件．廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統(tǒng)計了這些產品的等級，整理如下：甲分廠產品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務？聽課筆記：反思感悟利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什睢⒎讲钤酱?，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．【對點訓練】[2021·全國甲卷]某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為x和y，樣本方差分別記為s12和(1)求x，(2)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果y?x≥2微專題38讀取統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程．主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論．[例][2022·武漢調研測試]某學校為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到上學方式主要有：A—結伴步行，B—自行乘車，C—家人接送，D—其他方式，并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中信息，求本次抽查的學生中A類人數(shù)是()A．30B．40C．42D．48解析：由條形統(tǒng)計圖知，B—自行乘車上學的有42人，C—家人接送上學的有30人，D—其他方式上學的有18人，采用B，C，D三種方式上學的共90人，設A—結伴步行上學的有x人，由扇形統(tǒng)計圖知，A—結伴步行上學與B—自行乘車上學的學生占60%，所以x+42x+90＝60100，解得答案：A名師點評本例由條形圖可以讀出頻數(shù)，由扇形圖可讀出頻率，從而問題即可解決．第十一章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第一節(jié)隨機抽樣、用樣本估計總體積累必備知識三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)√2．解析：因為125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人數(shù)分別為25，56，19.答案：B3．解析：因為[15，20]對應的小矩形的面積為1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以樣本落在[15，20]內的頻數(shù)為0.3×100＝30.答案：304．解析：∵1203除以40不是整數(shù)，∴先隨機的去掉3個人，再除以40，得到每一段有30個人，則分段的間隔為30.答案：305．解析：∵x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為5，∴x1∴3x1+3x2+3x3+…+3xnn＋1＝3×5＋1＝16，∵∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.答案：16186．解析：對于A：根據(jù)頻率分布直方圖知該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為(0.02＋0.04)×1＝0.06，正確；對于B：根據(jù)頻率分布直方圖知該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1＝0.10，正確；對于C：根據(jù)頻率分布直方圖知該地農戶家庭年收入的平均值估計為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(萬元)，錯誤；對于D：根據(jù)頻率分布直方圖知該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農戶比率估計為(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1＝0.64，正確．答案：C提升關鍵能力考點一1．解析：根據(jù)題意，9n?1＝13，解得n＝28.故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為1028答案：C2．解析：由題意知，前五名員工的編號依次為253，313，457，736，007.答案：A3．解析：初中生抽取的人數(shù)為10007.5+4.5+3×答案：D考點二例1解析：設新農村建設前，農村的經濟收入為a，則新農村建設后，農村經濟收入為2a.新農村建設前后，各項收入的對比如下表：新農村建設前新農村建設后新農村建設后變化情況結論種植收入60%a37%×2a＝74%a增加A錯其他收入4%a5%×2a＝10%a增加一倍以上B對養(yǎng)殖收入30%a30%×2a＝60%a增加了一倍C對養(yǎng)殖收入＋第三產業(yè)收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2a＝116%a超過經濟收入2a的一半D對答案：A例2解析：A項，由題圖知排序后第10個數(shù)據(jù)、第11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于100，即中位數(shù)略高于100；B項，中度污染及以上的天數(shù)為5天，占14答案：C例3解析：∵甲組學生成績的平均數(shù)是88，∴由莖葉圖可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7，∴m＝3，∵乙組學生成績的中位數(shù)是89，∴n＝9，∴m＋n＝12.答案：C例4解析：由題意得頻率分布直方圖前三組的頻率依次為0.03，0.07，0.27，所以前三組的頻數(shù)依次為3，7，27，則后四組的頻數(shù)和為90，又后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，所以后四組的頻數(shù)依次為27，24，21，18，所以視力在4.8以上(含4.8)的頻率為39%，故本校高三這500名學生中視力在4.8以上(含4.8)的人數(shù)約為500×39%＝195.答案：C對點訓練1．解析：樣本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為150×30%×40%＝18.答案：A2．解析：由頻率分布直方圖得在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85，90)的頻率為0.06×5＝0.3，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85，90)的車輛數(shù)為0.3×1000＝300，行駛速度超過90km/h的頻率為(0.05＋0.02)×5＝0.35.答案：B3．解析：由題意知，2022年的男教師最多，A錯誤；將表中各年度人數(shù)橫向求和可知，2022年共有1720人，為人數(shù)最多的一年，B正確；2021年中年男教師比2020年多320－240＝80(人)，故C正確；2020～2022青年男教師增加了220人，增長率為220÷100×100%＝220%，D正確．答案：A4．解析：由餅狀圖可知互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)人員中90后占56%，一半以上，故A項正確；由條形圖知，90后從事技術崗位的人數(shù)占互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)為39.6%×56%＝22.176%＞20%，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術崗位的人數(shù)占總人數(shù)的百分比大于等于22.176%，B項正確；由條形圖知，90后從事運營崗位的人數(shù)占互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)為17%×56%＝9.52%，大于80前互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)人數(shù)，C項正確；因為技術所占比例80后未知，且90后從事技術崗位的人數(shù)比22.176%＜41%，所以D項不一定正確．答案：D考點三例5解析：(1)由試加工產品等級的頻數(shù)分布表知，甲分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為40100乙分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為28100(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525－5－75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產品的平均利潤為65×由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300－70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產品的平均利潤為70×比較甲、乙兩分廠加工的產品的平均利潤，應選甲分廠承接加工業(yè)務．對點訓練解析：(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得：x＝?0.2+0.3+0+0.2?0.1?0.2+0+0.1+0.2?0.310y＝0.1+0.4+0.1+0+0.1+0.3+0.6+0.5+0.4+0.510＋10.0＝s12＝110×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)s22＝110×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得y?x＝10.3－10.0＝0.3，而2S12+S

第二節(jié)變量間的相關關系、統(tǒng)計案例·最新考綱·1．會作兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系．2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶).3．了解獨立性檢驗的思想、方法，并能初步應用獨立性檢驗的思想方法解決一些簡單的實際問題．4．通過典型案例了解回歸分析的思想方法，并能初步應用回歸分析的思想、方法解決一些簡單的實際問題．·考向預測·考情分析：兩個變量線性相關的判斷及應用，回歸直線方程的求法及應用，利用2×2列聯(lián)表判斷兩個變量的相關關系將是高考考查的熱點，題型將是選擇與填空題或者在解答題中綜合考查．學科素養(yǎng)：通過線性回歸分析及獨立性檢驗的應用考查數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．積累必備知識——基礎落實贏得良好開端一、必記3個知識點1．變量間的相關關系常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數(shù)關系，另一類是相關關系；與函數(shù)關系不同，相關關系是一種非確定性關系．2．兩個變量的線性相關(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫回歸直線．(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內，兩個變量的這種相關關系稱為正相關，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內，兩個變量的相關關系為負相關．(3)回歸方程為y＝bx＋a，其中b＝i=1nxiyi?nxy(4)相關系數(shù)當r>0時，表明兩個變量正相關；當r<0時，表明兩個變量負相關．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系，通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性．3．獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表：假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)K2統(tǒng)計量K2＝n(ad?bc)二、必明3個常用結論1．求解回歸方程的關鍵是確定回歸系數(shù)a，b，應充分利用回歸直線過樣本中心點(x，y).2．根據(jù)K2的值可以判斷兩個分類變量有關的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關的把握越大．3．根據(jù)回歸方程計算的y值，僅是一個預報值，不是真實發(fā)生的值．三、必練4類基礎題(一)判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)散點圖是判斷兩個變量是否相關的一種重要方法和手段．()(2)回歸直線方程y＝bx＋a至少經過點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點．()(3)若事件X，Y關系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越?。?)(4)兩個變量的相關系數(shù)的絕對值越接近于1，它們的相關性越強．()(二)教材改編2．[必修3·P90例題改編]某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，所得數(shù)據(jù)如表：x681012y2356則y對x的線性回歸直線方程為()A．y＝2.3x－0.7B．y＝2.3x＋0.7C．y＝0.7x－2.3D．y＝0.7x＋2.33．[選修2－3·P86例2改編]兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的相關指數(shù)R2為0.98B．模型2的相關指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關指數(shù)R2為0.50D．模型4的相關指數(shù)R2為0.25(三)易錯易混4．(回歸方程的概念不清)設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為y＝0.85x－85.71，則下列結論中不正確的是________．(填序號)①y與x具有正的線性相關關系；②回歸直線過樣本點的中心(x，y)；③若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg；④若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg.5．(忽視回歸直線方程過樣本點中心)在一次考試中，5名學生的數(shù)學和物理成績如下表(已知學生的數(shù)學和物理成績具有線性相關關系)：學生的編號i12345數(shù)學成績x8075706560物理成績y7066686462現(xiàn)已知其線性回歸方程為y＝0.36x＋a，則根據(jù)此線性回歸方程估計數(shù)學得90分的同學的物理成績?yōu)開_______分．(四舍五入取整數(shù))(四)走進高考6．[2020·全國卷Ⅰ]某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bx2C．y＝a＋bexD．y＝a＋blnx提升關鍵能力——考點突破掌握類題通法考點一相關關系的判斷eq\a\vs4\al([基礎性])1．對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖如圖①，對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖如圖②.由這兩個散點圖可以判斷()A.變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關2．某公司在2019年上半年的月收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18根據(jù)統(tǒng)計資料，則()A．月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關關系B.月收入的中位數(shù)是17，x與y有負線性相關關系C．月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關關系D．月收入的中位數(shù)是16，x與y有負線性相關關系3．四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論：①y與x負相關且y＝2.347x－6.423；②y與x負相關且y＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關且y＝5.437x＋8.493；④y與x正相關且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結論的序號是()A．①②B．②③C．③④D．①④反思感悟)判定兩個變量正、負相關性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關．（2）相關系數(shù)：r>0時，正相關；r<0時，負相關．（3）線性回歸方程中：b>0時，正相關；b<0時，負相關.考點二回歸分析eq\a\vs4\al([綜合性、應用性、創(chuàng)新性])角度1線性回歸方程及其應用[例1]某手機廠商在銷售200萬臺某型號手機時開展“手機碎屏險”活動．活動規(guī)則如下：用戶購買該型號手機時可選購“手機碎屏險”，保費為x元．若在購機后一年內發(fā)生碎屏可免費更換一次屏幕．該手機廠商將在這200萬臺該型號手機全部銷售完畢一年后，在購買碎屏險且購機后一年內未發(fā)生碎屏的用戶中隨機抽取1000名，每名用戶贈送1000元的紅包．為了合理確定保費x的值，該手機廠商進行了問卷調查，統(tǒng)計后得到下表(其中y表示保費為x元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例)：x1020304050y0.790.590.380.230.01(1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)求出y關于x的回歸直線方程；(2)通過大數(shù)據(jù)分析，在使用該型號手機的用戶中，購機后一年內發(fā)生碎屏的比例為0.5%.已知更換一次該型號手機屏幕的費用為800元，若該手機廠商要求在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產生的利潤不少于70萬元，能否把保費x定為5元？參考數(shù)據(jù)：表中x的5個值從左到右分別記為x1，x2，x3，x4，x5，相應的y值分別記為y1，y2，y3，y4，y5，經計算有eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝－19.2，其中eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)i，eq\o(y,\s\up6(－))＝15eq\i\su(i＝1,5,)yi聽課筆記：(反思感悟)求線性回歸方程的基本步驟（1）先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出x，y，x12＋x22＋…＋xn2，x1y1＋x2y2＋（2）計算回歸系數(shù)a,b；（3）寫出線性回歸方程y＝bx＋a角度2相關系數(shù)及其應用[例2][2020·全國卷Ⅱ]某沙漠地區(qū)經過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(2)≈1.414.聽課筆記：反思感悟)回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數(shù)判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強.角度3非線性回歸方程[例3]某購物商場分別推出支付寶和微信“掃碼支付”購物活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用“掃碼支付”．現(xiàn)統(tǒng)計了活動剛推出一周內每天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：x1234567y611213466101196(1)根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內，掃碼支付的人次y關于活動推出天數(shù)x的回歸方程適合用y＝c·dx來表示，求出該回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；(2)推廣期結束后，商場對顧客的支付方式進行統(tǒng)計，結果如下表：支付方式現(xiàn)金會員卡掃碼比例20%50%30%商場規(guī)定：使用現(xiàn)金支付的顧客無優(yōu)惠，使用會員卡支付的顧客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的顧客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結果得知，使用掃碼支付的顧客，享受7折優(yōu)惠的概率為16，享受8折優(yōu)惠的概率為13，享受9折優(yōu)惠的概率為參考數(shù)據(jù)：設vi＝lgyi，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,v)i≈1.52，eq\i\su(i＝1,7,x)i·vi≈49.56，100.52≈3.31參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))·u的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(β,\s\up6(^))＝i=1nuivi?nuv)i=1nui2?nu2,反思感悟回歸分析問題的類型及解題方法(1)求回歸方程①根據(jù)散點圖判斷兩變量是否線性相關，如不是，應通過換元構造線性相關．②利用公式，求出回歸系數(shù)b③待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數(shù)a．(2)利用回歸方程進行預測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用回歸直線判斷正、負相關，決定正相關還是負相關的是系數(shù)b．(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數(shù)判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強.【對點訓練】1．已知某種商品的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下表對應數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸方程y＝bx＋a其中b＝11據(jù)此估計，當投入6萬元廣告費時，銷售額約為()x12345y1015304550A.60萬元B．63萬元C．65萬元D．69萬元2．某公司為研究某種圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的關系，收集了一些數(shù)據(jù)并進行了初步處理，得到了下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．表中ui＝eq\f(1,xi)，eq\o(u,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,u)i(1)根據(jù)散點圖判斷：y＝a＋bx與y＝c＋dx(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程(結果精確到0.01)；(3)若該圖書每冊的定價為9.22元，則至少應該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于80000元？(假設能夠全部售出，結果精確到1)附：對于一組數(shù)據(jù)(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回歸直線v＝α＋βω的斜率和截距的最小二乘估計分別為β＝i=1n(ωi?ω考點三獨立性檢驗[應用性、創(chuàng)新性][例4][2021·全國甲卷]甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少？(2)能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異？附：K2＝n（ad－P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828聽課筆記：反思感悟)獨立性檢驗的一般步驟（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）計算K（3）查表比較K2與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷．[2022·湖南長沙模擬]為了解某校學生參加社區(qū)服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調查，已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示．超過1小時的人數(shù)不超過1小時的人數(shù)男208女12m(1)求m，n的值；(2)能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關？附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2＝n（ad－bc）2第二節(jié)變量間的相關關系、統(tǒng)計案例積累必備知識三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：易求x＝9，y＝4，樣本點的中心(9，4)代入驗證，滿足y＝0.7x－2.3.答案：C3．解析：在兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關指數(shù)R2越接近1，擬合效果越好，在四個選項中A的相關指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.答案：A4．解析：由于回歸直線的斜率為正值，故y與x具有正的線性相關關系，選項①中的結論正確；回歸直線過樣本點的中心，選項②中的結論正確；根據(jù)回歸直線斜率的意義易知選項③中的結論正確；由于回歸分析得出的是估計值，故選項④中的結論不正確．答案：④5．解析：x＝60+65+70+75+805＝70，y＝62+64+66+68+705＝66，所以66＝0.36×70＋a，得a＝40.8，即線性回歸方程為y＝0.36x＋40.8.當x＝90時，y＝0.36×90＋40.8＝73.2答案：736．解析：觀察散點圖可知，散點圖用光滑曲線連接起來比較接近對數(shù)型函數(shù)的圖象．答案：D提升關鍵能力考點一1．解析：由散點圖可得兩組數(shù)據(jù)均線性相關，且圖①的線性回歸方程斜率為負，圖②的線性回歸方程斜率為正，則由散點圖可判斷變量x與y負相關，u與v正相關．答案：C2．解析：月收入的中位數(shù)是15+172＝16，收入增加，支出增加，故x與y答案：C3．解析：正相關指的是y隨x的增大而增大，負相關指的是y隨x的增大而減小，故不正確的為①④.答案：D考點二例1解析：(1)由x＝30，y＝0.4，i=15得b＝i=15(xi－xa=y-bx所以y關于x的回歸直線方程為y=-0.0192x+0.976.(2)能把保費x定為5元．理由如下：若保費x定為5元，則估計y=-0.0192×5+0.976=0.88，估計該手機廠商在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產生的利潤為2000000×0.88×5-2000000×0.88×0.5%×800-1000×1000