(壓軸題)高中數(shù)學(xué)必修五第三章《不等式》檢測(有答案解析)

一、選擇題1．若正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．82．設(shè)正數(shù)m，n，，，則的最大值是（）A． B． C． D．13．已知，則的最小值為（）A． B． C． D．4．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最小值是（）A．2 B．-2 C．1 D．-15．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是（）A． B．2 C．3 D．46．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（）A． B． C． D．7．不等式的解集為，則函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．8．已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知點(diǎn)（x，y）在直線x+2y=4上移動，則的最小值是（）A． B． C．6 D．810．設(shè)，滿足約束條件，且的最小值為，則（）A． B． C．或 D．或11．已知，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A．0 B．4 C．8 D．12二、填空題13．若實(shí)數(shù)和滿足，則的取值范圍為______．14．若，，滿足約束條件，則的最小值為__________．15．若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為________16．已知不等式對任意的恒成立,則實(shí)數(shù)的范圍為_______．17．已知，若恒成立，則的取值范圍是_____．18．已知點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，設(shè)z為在上的投影，則z的取值范圍是__________.19．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為______．20．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為__________．三、解答題21．（1）已知、都是正數(shù)，若，求的最小值；（2）當(dāng)取何值時(shí)，不等式對一切實(shí)數(shù)都成立？22．已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對任意實(shí)數(shù),都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.23．某校食堂需定期購買大米已知該食堂每天需用大米噸，每噸大米的價(jià)格為6000元，大米的保管費(fèi)用單位：元與購買天數(shù)單位：天的關(guān)系為，每次購買大米需支付其他固定費(fèi)用900元．該食堂多少天購買一次大米，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？若提供糧食的公司規(guī)定：當(dāng)一次性購買大米不少于21噸時(shí)，其價(jià)格可享受8折優(yōu)惠即原價(jià)的，該食堂是否應(yīng)考慮接受此優(yōu)惠條件？請說明理由．24．已知函數(shù).（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.25．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）.（1）若關(guān)于x的不等式f（x）≥b的解集為{x|1≤x≤2}，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0.26．已知圓．（1）求軸被圓所截得的線段的長；（2）過圓圓心的直線與兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)圍成的三角形面積為，求的最小值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除一、選擇題1．D解析：D【分析】由，對乘以，構(gòu)造均值不等式求最值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，∴.故選：D【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”(1)“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方．如果等號成立的條件滿足不了，說明函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間單調(diào)，可以利用單調(diào)性求最值或值域．2．B解析：B【分析】化簡，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，正數(shù)m，n，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立,所以的最大值是為.故選：B.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其滿足的三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.3．D解析：D【分析】利用，展開后應(yīng)用基本不等式可得最小值．【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．故選：D．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方．4．C解析：C【分析】先作出約束條件對應(yīng)的可行域，然后分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】作出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖所示：移動直線，可知當(dāng)其過點(diǎn)時(shí)取得最小值，解方程組，求得，即，代入求得，所以的最小值是，故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，解題方法如下：（1）根據(jù)題中所給的約束條件畫出可行域；（2）根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的意義找到最優(yōu)解；（3）解方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)；（4）代入求得最小值，得到結(jié)果.5．D解析：D【分析】畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】畫出約束條件或所表示的平面區(qū)域，如圖所示，.目標(biāo)函數(shù)，可化為，由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于中等題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.6．A解析：A【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形為，通過平移直線法可求出的最大值，從而可得的最小值．【詳解】作出已知不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示：將目標(biāo)函數(shù)變形為，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距最大，所以，的最小值為．故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是正確地作出可行域，準(zhǔn)確地理解的幾何意義，求最優(yōu)解時(shí)采用“平移直線法”．利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.7．C解析：C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程的解求出的關(guān)系，然后再判斷二次函數(shù)的圖象．【詳解】∵不等式的解集為，∴，∴，，圖象開口向下，兩個(gè)零點(diǎn)為．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式的解集，二次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是掌握一元二次不等式的解集與一元二次方程的解、二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系．8．D解析：D【分析】由題意得分離參數(shù)將不等式等價(jià)于不等式在區(qū)間上有解，設(shè)，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得：關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，等價(jià)于不等式在區(qū)間上有解，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于不等式有解的問題，常常有以下情況：有解?，有解?.9．D解析：D【分析】運(yùn)用基本不等式即可得到答案．【詳解】因?yàn)椋?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．故答案為D.【點(diǎn)睛】利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號取得的條件．10．B解析：B【分析】畫出可行域，討論當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況，分別求出目標(biāo)函數(shù)的最值，即可篩選出符合題意的的值.【詳解】根據(jù)題中約束條件可畫出可行域如圖所示，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為：，當(dāng)時(shí)，無最小值；當(dāng)時(shí)，在處取最大值，無最小值．當(dāng)時(shí)，在處有最小值：，則，解得，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查可行域、含參數(shù)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解和均值不等式求最值，屬于難題.含參變量的線性規(guī)劃問題是近年來高考命題的熱點(diǎn)，由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧、增加了解題的難度，此類問題的存在增加了探索問題的動態(tài)性和開放性，此類問題一般從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對目標(biāo)函數(shù)變化過程進(jìn)行詳細(xì)分析，對變化過程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位，是求最優(yōu)解的關(guān)鍵.11．A解析：A【分析】先將變形為，再代入不等式，，解這兩個(gè)不等式，即可得與的比值關(guān)系，聯(lián)立可求的取值范圍【詳解】解：因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，即，解得，將代入中，得，即，得，所以，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查一元一次不等式的應(yīng)用，考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題12．C解析：C【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將轉(zhuǎn)化為斜截式，即，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件表示的可行域，如圖所示，將轉(zhuǎn)化為斜截式，即，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，由，可得，所以的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值，求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題13．【分析】設(shè)方程化簡為得到再結(jié)合基本不等式得到根據(jù)一元二次不等式不等式的解法即可求解【詳解】設(shè)因?yàn)榭傻盟越獾没蛴钟僧?dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)等號成立整理得解得所以即則的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)利解析：.【分析】設(shè)，方程化簡為，得到，再結(jié)合基本不等式，得到，根據(jù)一元二次不等式不等式的解法，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，可得，所以，解得或，又由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，整理得，解得，所以，即則的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)，利用換元法把方程化簡為，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，得出不等式和是解答的關(guān)鍵.14．【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域結(jié)合的幾何意義以及點(diǎn)到直線的距離求出的最小值即可【詳解】畫出滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示：而的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離顯然到直線的距離是最小值由得最小值是解析：【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，結(jié)合的幾何意義以及點(diǎn)到直線的距離求出的最小值即可．【詳解】畫出，，滿足約束條件，的平面區(qū)域，如圖所示：而的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，顯然到直線的距離是最小值，由，得最小值是，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．15．【分析】根據(jù)題意令分析可以將不等式在x∈12上恒成立轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組解可得m的取值范圍即可得答案【詳解】根據(jù)題意令若不等式在x∈12上恒成立則有△＝m2﹣4m≤0或或解可得實(shí)數(shù)m的最解析：【分析】根據(jù)題意，令，分析可以將不等式在x∈[1，2]上恒成立轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，解可得m的取值范圍，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，令，若不等式在x∈[1，2]上恒成立，則有△＝m2﹣4m≤0或或，解可得，實(shí)數(shù)m的最小值為：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是將x2+mx+m≥0在x∈[1，2]上恒成立轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y＝x2+mx+m在x∈[1，2]上的最值問題．16．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得實(shí)數(shù)的范圍【詳解】因?yàn)閯t當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即等號成立即在的最大值為又由不等式對任意的恒成立所以即實(shí)數(shù)的范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的恒成立問題其中解解析：.【分析】利用基本不等式求得在的最大值，即可求得實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號成立，即在的最大值為，又由不等式對任意的恒成立，所以即實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的恒成立問題，其中解答中熟練應(yīng)用基本不等式求得的最大值是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.17．【分析】先將問題轉(zhuǎn)化為恒成立再結(jié)合基本不等式求解即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意若恒成立等價(jià)于恒成立由于當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式解決恒成立問題是基礎(chǔ)題解析：【分析】先將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再結(jié)合基本不等式求解即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，，若恒成立等價(jià)于恒成立，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式解決恒成立問題，是基礎(chǔ)題.18．【分析】作出可行域根據(jù)投影的定義得數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍即求z的取值范圍【詳解】作出可行域如圖所示∴當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃和向量的投影屬于中檔題解析：【分析】作出可行域.根據(jù)投影的定義得，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍，即求z的取值范圍.【詳解】作出可行域，如圖所示.，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃和向量的投影，屬于中檔題.19．【詳解】正實(shí)數(shù)滿足故得到等號成立的條件為點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)要特別注意拆拼湊等技巧使其滿足基本不等式中正(即條件要求中字母為正數(shù))定(不等式的另一邊必須為定值)等(等號取得的條件)的條件才解析：.【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，故得到等號成立的條件為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤.20．1【分析】由約束條件作出可行域化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】畫出不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示由可得數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過A時(shí)直線在y解析：1【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】畫出不等式組對應(yīng)的可行域，如圖所示，由可得，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值，聯(lián)立，解得A（1，2），此時(shí)z有最小值為3×1﹣2＝1．故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題21．（1）；（2）.【分析】（1）將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值；（2）分和兩種情況討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）已知、都是正數(shù)且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為；（2）由于不等式對一切實(shí)數(shù)都成立.①當(dāng)時(shí)，可得，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，可得，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立，可以利用以下結(jié)論來求解：設(shè)①在上恒成立，則；②在上恒成立，則；③在上恒成立，則；④在上恒成立，則.22．（1）;(2).【解析】試題分析：（1）零點(diǎn)分段法去絕對值，將表示成分段函數(shù)，由此解得解集為；（2）原不等式等價(jià)于恒成立.左邊，故.（1）1.當(dāng)時(shí)，解得2.當(dāng)時(shí)，解得無解3.當(dāng)時(shí)，解得綜上可知不等式解集（2）恒成立，即恒成立,故有.23．（1）10天購買一次大米；（2）見解析.【分析】根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用求最值即可；求出優(yōu)惠之后的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)每天所支付的總費(fèi)用為元，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，則該食堂10天購買一次大米，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少．若該食堂接受此優(yōu)惠條件，則至少每35天購買一次大米，設(shè)該食堂接受此優(yōu)惠條件后，每x，天購買一次大米，平均每天支付的總費(fèi)用為，則，設(shè)，，則在時(shí)，為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有最小值，約為，此時(shí)，