2023屆四川省綿陽市鹽亭中學高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題

2023屆四川省綿陽市鹽亭中學高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D2．若?是?的必要不充分條件，則實數(shù)?的取值范圍（

）A． B．? C．? D．【答案】B【分析】根據(jù)前者是后者得必要不充分條件，得到，再利用數(shù)軸得到不等式，得到的范圍.【詳解】是的必要不充分條件，，，解得.故選：B.3．已知為冪函數(shù)且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)原函數(shù)為冪函數(shù)，利用待定系數(shù)法，設(shè)出其形式為，再將點代入求出其解析式，再代入，得出其值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為常數(shù),因為,所以,解得,所以,所以.故選：D.4．已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，以及由排除不正確的選項，從而得出答案..【詳解】詳解：為奇函數(shù)，排除A,，故排除D.，當時，，所以在單調(diào)遞增，所以排除C；故選：B.7．在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．8．若是函數(shù)的極值點，則的極小值為．A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可得，因為，所以，，故，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，故選A．【名師點睛】（1）可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．9．設(shè)函數(shù),A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【詳解】.故選C.10．的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：利用面積公式和余弦定理進行計算可得．詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理．11．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域為因為在上單調(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時一定要先求函數(shù)的定義域.12．若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.二、填空題13．已知向量，若，則_________．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.14．曲線在點處的切線方程是．【答案】【分析】求得，得到且，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，即曲線在點處的切線斜率為，且切點坐標為，所以切線方程為，即.故答案為：.15．函數(shù)的部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①的最小正周期為2②的一條對稱軸為③在，上單調(diào)遞減④的最大值為則正確的結(jié)論為________．【答案】①③【分析】根據(jù)圖象判斷函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：由圖易知函數(shù)的最小正周期為，①正確；由圖知，左側(cè)第一個零點為：，所以對稱軸為：，所以不是對稱軸，②不正確；由圖可知，即時函數(shù)是減函數(shù)，所以③正確；因為正負不定，所以④不正確．所以只有①③正確．故答案為：①③．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象，利用圖象判斷三角函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16．已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足.若，則_______【答案】2【分析】由奇偶性和對稱性可得函數(shù)周期為4，同時可求得，結(jié)合周期性即可求解.【詳解】[方法一]：因為f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x)．所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．因此f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.[方法二]：特值法取一個符合題意的函數(shù)f(x)＝，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N)是以4為周期的周期數(shù)列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故答案為：2.[方法三]：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以，因此，因為，所以，，從而故答案為：2【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與對稱性，周期性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題三、解答題17．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當且僅當，即時，等號成立．此時周長的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當時，，所以周長的最大值為．【整體點評】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理角化邊的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用、三角形周長最大值的求解問題；方法一：求解周長最大值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理構(gòu)造的等式中，結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍進行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.方法三巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)求最值問題.18．研究人員發(fā)現(xiàn)，某種特別物質(zhì)的溫度(單位:攝氏度)隨時間(單位:分鐘)的變化規(guī)律是:y=m·2x+21－x(x≥0，m>0).（1）如果，求經(jīng)過多少時間，該物質(zhì)的溫度為攝氏度;（2）若該物質(zhì)的溫度總不低于攝氏度，求的取值范圍.【答案】（1）1分鐘；（2）．【分析】（1）代入由解方程可得；（2）由恒成立可得范圍．【詳解】（1）時，由，，或，因為，所以．（2），，令，則，，時，，所以．即．19．已知函數(shù).在下列條件①?條件②?條件③這三個條件中，選擇可以確定和m值的兩個條件作為已知.條件①：最小正周期為；條件②：最大值與最小值之和為0；條件③：.(1)求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的最大值.【答案】(1)選擇②③無解；選①②：；選①③：；(2)【分析】（1）先化簡得到，選擇②③時無解，舍去，選擇①②或①③，確定，的值，進而求出；（2）【詳解】(1)函數(shù)，選條件①②：由于最小正周期為，所以，所以；由最大值與最小值之和為0，，，故，解得：.所以.故.選條件①③：由于最小正周期為，所以，所以；，解得：，故，∴；選②③：由于，所以，，故，解得：.又，解得：，矛盾，此時無法確定和m值，舍去(2)當時，，由于函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，故a的最大值為.20．已知函數(shù)，，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求的最小值；(2)設(shè)函數(shù)（為的導函數(shù)），如果函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)0；(2).【分析】（1）利用導數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，直接求出極小值（也是最小值）即可；（2）函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點則在上不單調(diào)可得，據(jù)此求出，轉(zhuǎn)化為，且即可求解.【詳解】(1)因為，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，，即的最小值為0.(2)，.因為，所以，即，若或時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以在上至多有一個零點，不符合題意，所以.當，∵，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，如果在上存在兩個零點，則，且.由，得，又，且，，所以.下面證明時，，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，又因為，所以，所以，即恒成立.因此，當時，在上有兩個零點，綜上所述，滿足題意.【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)在上存在兩個零點轉(zhuǎn)化為，且是第一個關(guān)鍵點，先由得出，然后轉(zhuǎn)化為在時證明是第二個關(guān)鍵點，也是本題重要的解題策略，第三個關(guān)鍵點構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求最大值，再證明最大值小于0，本題思路上、運算上難度較大.21．已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導，然后確定導函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當時，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當時，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當時，恒成立．只需證當時，恒成立．當時，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當時，單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當時，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當時，恒成立，記，，①.當即時，，則當時，，單調(diào)遞增，又，所以當時，，不合題意；②.若即時，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當時，成立；③當即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，所以時，滿足題意.綜上，.【整體點評】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，本題主要考查利用導數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風險性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進行分類討論，具有一定的技巧性！22．已知在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過定點，傾斜角為.(1)寫出直線的參數(shù)方程和曲線的標準方程；(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點，求的值.【答案】(1)（為參數(shù)），；(2).【分析】(1)由直線的參數(shù)方程的標準形式和同角的平方關(guān)系，即可得到所求方程；(2)將直線的參數(shù)方程代入橢圓的標準方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理及參數(shù)的幾何意義，即可得到的值.【詳解】(1)解：因為直線經(jīng)過定點，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方（為參數(shù)