2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專題練習(xí)-二次函數(shù)的最值附答案

2023年中考專題訓(xùn)練一二次函數(shù)的最值

1.如圖1,拋物線忤-點(diǎn)/一苧x+6與*軸交于A8兩點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸

交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)8作直線加〃直線AC,交拋物線P于另一點(diǎn)，，點(diǎn)。為直線AC上方拋物線上

一動(dòng)點(diǎn).

⑴求線段A3的長(zhǎng).

⑵過(guò)點(diǎn)。作尸尸〃V軸交AC于點(diǎn)Q,交直線BD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)。作PEJLAC于點(diǎn)E,求26PE+3PF

的最大值及此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo).

⑶如圖2,將拋物線＞=-乎/一苧x+G向右平移3個(gè)單位得到新拋物線y',點(diǎn)"為新拋物

線上一點(diǎn)，點(diǎn)〃為原拋物線對(duì)稱軸一點(diǎn)，直接寫(xiě)出所有使得4B、M、〃為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形時(shí)點(diǎn)〃的坐標(biāo)，并寫(xiě)出其中一個(gè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)的求解過(guò)程.

2.已知：拋物線y=x2-2mx+m2—2與直線x=-2交于點(diǎn)P.

⑴若拋物線經(jīng)過(guò)（T-2）時(shí)，求拋物線解析式；

⑵設(shè)尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為力，當(dāng)力取最小值時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)（占兇），（%，%）,且與＜W4-2,

比較X與%的大小；

⑶若線段AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（0,2）,8（2,2）,當(dāng)拋物線與線段A8有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出“

的取值范圍.

3.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線＞=-*/-五+華交x軸于4,8兩點(diǎn)，交v

軸于點(diǎn)C,拋物線上一點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為-5.

⑴求直線劭的解析式；

⑵點(diǎn)三是線段8D上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)尸，當(dāng)折線歷鴕最大時(shí)，在

對(duì)稱軸上找一點(diǎn)。，在y軸上找一點(diǎn)。，連接宏、OP、P0,求。斗戶小宅的最小值；

⑶如圖2,連接8a把△08C沿x軸翻折，翻折后的△08。記為△08C,現(xiàn)將△08C沿著x

軸平移，平移后△08C記為△0'B'C,連接。O'、CB,記/8與x軸形成較小的夾角

度數(shù)為a,當(dāng)NODB=a時(shí)，求出此時(shí)/的坐標(biāo).

4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線尸a（x加）Qx~n）（a<0,m<n）與x軸交于48（點(diǎn)

4在點(diǎn)8的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C.直線片力與拋物線相交于。（%,%）、0（xz,及）兩點(diǎn)

（P、。不重合），與直線861交于點(diǎn)〃（X?,力）.

⑴若,77/=1,rf=3,

①求線段48的長(zhǎng)；

②當(dāng)力V1時(shí)，證明：x,+x?的值不會(huì)隨著力的變化而變化；

⑵若點(diǎn)4在直線861的上方，

①求加的取值范圍；

②令后冰，一定存在一個(gè)a的值，對(duì)于任何符合。>/（方>0）的辦〃均可以使得x,+xz-x?恒

m

為定值，求a的值以及t的取值范圍.

5.已知拋物線了=奴2+法+。3b,c是常數(shù)，—0）的對(duì)稱軸為X=-2.

（1）填空：b=；（用含a的代數(shù)式表示）

⑵若拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求c-〃的值；

⑶若拋物線過(guò)點(diǎn)（-2,-2）,當(dāng)A-2W&+4時(shí)，二次函數(shù)片加+版+c的最值是-2,求A的

取值范圍；

（4）當(dāng)a=1時(shí)，若關(guān)于x的方程式加+以+（?=0在-3cx<1的范圍內(nèi)有解，求c的取值范圍.

試卷第2頁(yè)，共7頁(yè)

6.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸：y=2（x-“）2+2〃？（加為常數(shù)）的頂點(diǎn)為4

⑴若點(diǎn)4在第一象限，且3=6,求此拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫(xiě)出函數(shù)

值V隨x的增大而減小時(shí)x的取值范圍；

⑵當(dāng)時(shí)，若函數(shù)+2加的最小值為3,求力的值；

⑶分別過(guò)點(diǎn)打4,2）、Q（4,2-2”）作y軸的垂線，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)限N.當(dāng)拋物線尸與

四邊形打明的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，將這兩個(gè)交點(diǎn)分別記為點(diǎn)8、點(diǎn)Q且點(diǎn)8的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)C

的縱坐標(biāo).

①若tanNCQN=g時(shí)，求加值；

②點(diǎn)4為拋物線頂點(diǎn)，且不與點(diǎn)C重合，若％?N=SAMC@,求加的值.

7.直線y=-gx+l與X,y軸分別交于點(diǎn)4,B,拋物線的解析式為y=2x2-4ax+2a2+a.

⑴求出點(diǎn)48的坐標(biāo)，用a表示拋物線的對(duì)稱軸；

（2）若函數(shù)），=2X2-4奴+2/+。在34xW4時(shí)有最大值為4+2,求a的值；

⑶取a=T,將線段48平移得到線段A0,若拋物線產(chǎn)2/-4狽+2a'a與線段A*有兩個(gè)交

點(diǎn)，求直線40與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

8.如圖，拋物線產(chǎn)江+法+3與*軸相交于點(diǎn)A（l,0）,8（3,0）,與y軸相交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的解析式.

⑵點(diǎn)“a,x）,N（W,必）是拋物線上不同的兩點(diǎn).

①若y產(chǎn)必，求&&之間的數(shù)量關(guān)系.

②若“+W=2（%-七），求-必的最小值.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2mx+2tn2-in.

⑴若拋物線經(jīng)過(guò)A（TO）,8（01）兩點(diǎn)時(shí)，求拋物線的解析式;

⑵若點(diǎn)C（2,先），。（5,%）在拋物線上，且%>%,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果勿的取值范圍；

⑶當(dāng)14x43時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6,直接寫(xiě)出m的值.

10.已知關(guān)于x的一元二次方程ar?+笈+c=o（a、b、c為常數(shù)，且awO）,我們規(guī)定：若該方

程的兩根滿足?=-2,則稱該方程為“靈粹二次方程”，其中，稱為該“靈粹二次方程”

的一對(duì)“奮勇向前根”.

⑴判斷：下列方程中，為“靈粹二次方程”的是_______（僅填序號(hào)）

①3/_5X+3=0②V+2X-8=0③X+2=」

X

⑵已知關(guān)于牙的一元二次方程Y-（2，+l）x+產(chǎn)+”。為"靈粹二次方程”，求：當(dāng)-14x42時(shí),

函數(shù)y='+3枕+9/+1的最大值.

⑶直線>=x+3與直線y=-x+1相交于點(diǎn)并分別與x軸相交于8、C兩點(diǎn)，若勿、〃是某“靈

粹二次方程”的一對(duì)“奮勇向前根”，設(shè)，點(diǎn)坐標(biāo)為（m,"）,當(dāng)點(diǎn)，位于以4B、C三點(diǎn)所

構(gòu)成的三角形內(nèi)部時(shí).

①試求出R的取值范圍.

②若力為整數(shù)，且“靈粹二次方程”的二次項(xiàng)系數(shù)為1,是否存在滿足此情況的“靈粹二次方

程”？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出該“靈粹二次方程”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.拋物線c,：y=x?+6x+c對(duì)稱軸為X=1,且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一3

⑴求加c的值；

⑵拋物線&：丫=-丁+如+〃經(jīng)過(guò)拋物線G的頂點(diǎn)P.

①求證：拋物線&的頂點(diǎn)。也在拋物線G上；

②若，〃=8,點(diǎn)三是在點(diǎn)。和點(diǎn)。之間拋物線C,上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)石作*軸的垂線交拋物線G于

點(diǎn)尸，求）長(zhǎng)度的最大值.

12.已知拋物線），=以2+法+3（a,。為常數(shù)，且axO）

⑴已知點(diǎn)A（L4）,B（-l,0）,C（0,2）,若該拋物線只經(jīng)過(guò)其中的兩點(diǎn).求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)為（1）中拋物線上一點(diǎn)，且0<%<4,求〃的取值范圍；

閉若拋物線與直線.丫=6+3。都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,%），設(shè)”/+助，求證dT.

13.已知拋物線y=ax2-mx+2m-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,-4）.

⑴求a的值；

⑵若拋物線與V軸的公共點(diǎn)為（0，-1）,拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)，若有，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

試卷第4頁(yè)，共7頁(yè)

若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶當(dāng)24xW4時(shí)，設(shè)二次函數(shù)y="一爾+2加-3的最大值為例最小值為小若彳=（，求力的

值.

14.在平面直角坐標(biāo)系尤5-中，已知拋物線y=/-2rx+產(chǎn)一.

⑴求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含力的代數(shù)式表示）；

⑵點(diǎn)在拋物線上，其中14工］Wf+2,x,=1—Z,

①若X的最小值是-2,求其的最大值；

②若對(duì)于中三，都有,<%,直接寫(xiě)出力的取值范圍.

15.如圖，已知二次函數(shù)/c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（4,5）與點(diǎn)8（0,-3）,且與x軸交

于點(diǎn)C、D.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式，以及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

⑵若點(diǎn)0（勿，Q在該二次函數(shù)圖象上，

①求n的最小值；

②若點(diǎn)。到x軸的距離小于3,請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象直接寫(xiě)出加的取值范

圍.

16.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，拋物線,v=f-2儂+1-4（加>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（a,￡>）.

⑴用含，〃的代數(shù)式表示拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)3（0,5）,且滿足-2<”4,求匕的取值范圍;

⑶若34a44時(shí)，b<5,結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出，〃的取值范圍.

17.如圖，拋物線y=ox2+gx+c與x軸交于點(diǎn)4、B,與y軸交于點(diǎn)C,連接8a已知拋物線

頂點(diǎn)坐標(biāo)為卜1，-

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖1,連接4Q過(guò)點(diǎn)8作3?！ˋC,交拋物線于點(diǎn)。，點(diǎn)。是拋物線上位于直線4C下方

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作PN〃y軸，交劭于點(diǎn)花點(diǎn)"是直線劭上異于點(diǎn)〃的一點(diǎn)，且昨

PM,連接戶以NQ,求△PMW的周長(zhǎng)最大值以及此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶將拋物線沿射線笫平移收個(gè)單位，得到新拋物線八點(diǎn)F是新拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸

是直線劭上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出使得以點(diǎn)4E、C、尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的點(diǎn)尸

的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，并把其中一個(gè)求點(diǎn)尸的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái).

18.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明興趣小組對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)

丁=蘇+桁+4”*0)圖象上的點(diǎn)A(x,y)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)锳點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就

會(huì)得到的一個(gè)新的點(diǎn)A(%x+y),他們把這個(gè)點(diǎn)4定義為點(diǎn)A的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn).他們發(fā)現(xiàn)：二次

函數(shù)y="2+6x+c(aH0)所有簡(jiǎn)樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為

y=/+bx+c("O)的“簡(jiǎn)樸曲線”.例如，二次函數(shù)y=/+x+l的“簡(jiǎn)樸曲線”就是

y=x2+x+\+x=x2+2x+],請(qǐng)按照定義完成：

(1)點(diǎn)尸。，2)的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)是;

⑵如果拋物線y=^-7x+3(aw0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)求該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲線”；

⑶已知拋物線y=x2+bx+c圖象上的點(diǎn)B(x,y)的“簡(jiǎn)樸點(diǎn)”是用(-1,1),若該拋物線的“簡(jiǎn)樸曲

線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(加，〃)，當(dāng)。4cW3時(shí)，求〃的取值范圍.

19.如圖，拋物線y=ax2+b>&c與x軸交于/(-2,0)、8(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.直

線/與拋物線交于AD兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)￡點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).

試卷第6頁(yè)，共7頁(yè)

⑴求拋物線的解析式與直線/的解析式；

⑵若點(diǎn)戶是拋物線上的點(diǎn)且在直線/上方，連接PA、PD,求△外，面積最大值;

⑶由（2）并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

13.

20.在平面直角坐標(biāo)系屹y中，拋物線丫=5/-5爾-2，"2（相＞0）與、軸從左至右依次交于人，B

兩點(diǎn)，交）'軸于點(diǎn)C,連接AC,BC.

⑴求A,B兩點(diǎn)以及拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

13

⑵當(dāng)m=2時(shí)，直線y=H+分平行于BC且與拋物線尸^/一萬(wàn)如一2加（心0）只有一個(gè)交點(diǎn)O,

求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

17

⑶當(dāng)1W2時(shí)，二次函數(shù)了=5*2-5皿-2〃/有最小值-2,求m的值.

參考答案：

1.(1)4

⑵當(dāng)r=-1時(shí)，2gPE+3P尸有最大值為小后，此時(shí)尸菖半

22I23

⑶M-f,1竿和卜,一竽)

【分析】⑴令-光-哈+星。,求解即可;

(2)求直線AC,8。的解析式，設(shè)點(diǎn)P/,一￥/一號(hào)，+6，則。t，￥t+6,

I33)I3

(77J7A

Fr-^-，利用NQFC=30。，將所求轉(zhuǎn)化為2A/5PE+3P/=3PQ+3PF,再求解即可;

(h4cX用

(3)推出平移后的解析式，設(shè)M嘰一*/+\-,〃+周-,N(-2,〃)，分三種情況討論;

再利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)求解即可.

【解析】(1)令-攣X+G=O,

33

解得x=l或x=-3,

???A(—3,0),6(1,0),

.\AB=4；

⑵■:尸與苦x+也，

.?.c(o詞,

設(shè)直線AC的解析式為y=h+),

Ji

-3k+b=0k=

，解得，3,

b=△

b=G

.??直線AC的解析式為y=?+6,

?.?AC〃比),8(1,0),

??.直線80的解析式為了=迫*_3，

33

答案第8頁(yè)，共39頁(yè)

設(shè)點(diǎn)2“，一4/一半.+百],貝IJQ*，4「+0],F,4-#

\7\J\7

???點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

:.PQ=-野-坐今-+=-與二8，

吁一爭(zhēng)咚J字與43哼

,.*OA=3,OC=C,

.?.ZC4O=30°,

-PE_LAC,PFLOA,

,-.ZeFC=30°,

???當(dāng)"-"I時(shí)，26PE+3PF有最大值為17',此時(shí)P--,-yj；

⑶...y=_冬2一苧x+3=-*+l）2+塔

...拋物線對(duì)稱軸為直線X=-l,

???拋物線y=-3/_2叵X+6向右平移3個(gè)單位得到新拋物線），',

二新拋物線y'的解析式為y=-3（》-2『+竽，

，加時(shí)立速小巡］N（T,〃）,

333

①當(dāng)A3為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，—3+1="?-1,0=〃一且機(jī)？+生叵加+述，

333

m=-1,n=S,

；?N（-l，-6）,M1,-73j；

②當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，-3+〃?=1-1,〃=-立機(jī)2+逑m+延，

333

"=3,"兇

3

答案第9頁(yè)，共39頁(yè)

：.NT苧，M3,竽)；

③當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，-3-1=,*+1,-@〃/+生叵機(jī)+驅(qū)=〃,

333

綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)分別為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了為此函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練

掌握知識(shí)并能夠運(yùn)用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

2.(l)y=x2+2x-l

(2)y>%

(3)-2<W<0^2</M<4

【分析】(1)將(-1，-2)代入解析式求解.

(2)將x=-2代入解析式求出點(diǎn)P縱坐標(biāo)，通過(guò)配方可得必取最小值時(shí)m的值，再將二

次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解.

(3)分別將點(diǎn)48坐標(biāo)代入解析式求解.

【解析】(1)解：將(一1,一2)代入y=x?-2/wx+機(jī)'-2得一2=1+2〃Z+M?2-2,

解得《?=-1,

y=》2+2x-l.

(2)解：將x=—2代入,=》2_2皿-+，"2_2得y；,=優(yōu)2+4機(jī)+2=(m+2/_2,

.?.加=一2時(shí)，%,取最小值，

y=x2+4x+2=(x+2)2-2,

:.x<-2時(shí)，V隨x增大而減小，

?/x,<x2<-2,

>必?

(3)解：vy=x2-2mx+m2-2=(x-m)2-2,

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(八-2),

拋物線隨機(jī)值的變化而左右平移，

將(0,2)代入y=x2-2iwc+m2-2=2,

答案第10頁(yè)，共39頁(yè)

解得〃?=2或m=-2,

將(2,2)代入丫=，-2皿+/-2得2=4-4加+用-2,

解得"z=0或相=4,

二-2V〃?V0時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在點(diǎn)A左側(cè)，拋物線與線段AB有交點(diǎn)，

時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在點(diǎn)A右側(cè)，拋物線與線段A8有交點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌

握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.

3.(1)直線8。的解析式為)，=#》-日

(2)OP+PQ+QE的最小值為g技

⑶C"坐標(biāo)為‘

【分析】(1)先求出8、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法計(jì)算，即可得出結(jié)論;

(2)如圖3中，設(shè)3D交>軸于K,則設(shè)Egm-%,則

Fm,一走-病-6m+

，設(shè)EF與x軸的交點(diǎn)為M,則E(〃?,0),根據(jù)題意，利用三角

3

函數(shù)，得出/42。=30。，構(gòu)建二次函數(shù)確定機(jī)的值，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，如圖4中，作點(diǎn)E關(guān)

于V軸的對(duì)稱點(diǎn)N,于連接MN,交對(duì)稱軸于尸，交丫軸于。，當(dāng)加、N、P、Q

共線時(shí)，OP+PQ+QE最小，最小值為MN,再根據(jù)勾股定理，計(jì)算即可得出結(jié)果；

1萬(wàn)

(3)如圖5中，作于M,設(shè)。8=a,則BM=—a,

22

DM=BD-BM=4y[3-—a,由△OMDSAC'OB,得出￡旦=黑，列出方程，計(jì)算即

2OCBO

可得出結(jié)果.

(1)

解：令y=o,則一且遞=o,

33

解得：為=-4或x?=l,

二A(T,0),5(1,0),

令x=0,則y=

答案第11頁(yè)，共39頁(yè)

當(dāng)x=-5時(shí)，y=-型1+56+迪=-26,

33

???點(diǎn)D坐標(biāo)

設(shè)直線30解析式為丫="+&,

k

-5k^b=-2y/3

則有，,解得，

k+b=0

b=

；?直線BD的解析式為y=迫>

(2)

（

解：如圖3中，設(shè)8。交y軸于K,則K0,-日,設(shè)Em吊,則

3

/rm,6------，設(shè)EF與x軸的交點(diǎn)為M,則E（〃?,0）,

3

EM=白，”當(dāng),8M=”也

—tn-----

33G，

3

???ZABD=30°,

3），哈

?,.EF^rEB=---

3-3~

4^3、

帆=-3時(shí)，所+￡8的值最大，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)-3,---

7

如圖4中，作點(diǎn)E關(guān)于>軸的對(duì)稱點(diǎn)N,于連接MN,交對(duì)稱軸于P,交）

軸于。,

M、。關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

0P=PM,

E、N關(guān)于y軸對(duì)稱,

QE=QN,

OP+PQ+QE=PM+PQ+QN,

當(dāng)M、N、P、Q共線時(shí)，OP+PQ+QE最小，最小值為MN,

答案第12頁(yè)，共39頁(yè)

在RtAMNE中，

MN=\lEM2+EN2=+62=-A/93.

V33

???。尸+尸。+。后的最小值為|例；

圖3圖4

(3)

i77

解：如圖5中，作。例，5。于設(shè)07?=。，則0M=7。，BM=—

22

DM=BD-BM=4y/3-—a,

2

,//ODM=/C'BQ，4。MD=Z.BOC"=90°,

??.△OMDs^cOB,

0

。

16

2a-2

=

4Ga

八

??+4a—32=0,

答案第13頁(yè)，共39頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、勾股定理、軸對(duì)稱與折

疊、二次函數(shù)中的線段最值、定值問(wèn)題、相似三角形的性質(zhì)與判定，解本題的關(guān)鍵在充分利

用數(shù)形結(jié)合思想解答問(wèn)題.

4.(1)?2；②見(jiàn)解析

(2)①加>0；②”=-1；f>3

【分析】(1)①令，=0,求出A,B點(diǎn)坐標(biāo)即可求解，

②先證直線與拋物線肯定有兩個(gè)交點(diǎn)尸(x/,勿)與。⑺,”)，再由兩點(diǎn)關(guān)于拋物線

對(duì)稱軸x=2對(duì)稱即可證明；

(2)先求出A(m,0),8(〃,0),C(0,a〃M，再求出直線BC的解析式y(tǒng)=優(yōu)+的7〃，由

點(diǎn)A在直線BC的上方得當(dāng)x=m時(shí)，y=-am2+amn<0,即可求出膽>0；

②先求出入+々與*3，由玉+芻-工3=加(1+5)為定值求出。=一1，再由直線丫="，與拋物線

相交于不重合的兩點(diǎn)得出裙,將a=-l代入，對(duì)不等式進(jìn)行變形即可求出r

4

的取值范圍.

(1)

解：①m=\,n=3,

???拋物線的解析式為y=-(工一1)(%-3),

令y=o得3)=0,

解得x=l或x=3,

?.,點(diǎn)A在點(diǎn)5的左邊，

???A(l,0),8(3,0),

，線段AB的長(zhǎng)為：3-1=2.

②證明：：拋物線的解析式為y=-(x-l)(x-3)=-(x-2y+l,

???x=2時(shí)，)取最大值，最大值為1,

???當(dāng)人<1時(shí)，直線y=/i與拋物線肯定有兩個(gè)交點(diǎn)P(x/fy/)>Q(工2，丫2).

?/直線y=h與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸工=2對(duì)稱，

??P(X/,>7)與。(必”)關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，

X-2=2-X2

x}+x2=4,

?..X/+X2的值不會(huì)隨著h的變化而變化；

(2)

答案第14頁(yè)，共39頁(yè)

解：①拋物線的解析式為y=

令），=0得4（工_加）（1_〃）=0,

解得X="2或％=〃，

???點(diǎn)4在點(diǎn)5的左邊，m<n,

令％=0得y=〃（一?。ㄒ弧ǎ?amn,

C[O,a/nn）.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b9

將B（%0）,C（OM”）代入得,

[O=nk+h

amn=b

?,?直線BC的解析式為》=-anvc^ramn,

???點(diǎn)A(〃?,0)在直線BC的上方，

???當(dāng)％=機(jī)時(shí)，y=-am2+amn<0,

BPtz/n(n-m)<0,

*/m<n,

n-/n>0,

am<0,

???a<0,

/.fn>0；

②,??拋物線的解析式為

m+n〃(〃一〃?)

y=—〃z)(x—〃)="2-a^tn+n)x+amn=a

24

m+n

J拋物線的對(duì)稱軸為X=手,最大值為v=―叫.

2max?

:直線y="『與拋物線相交于不重合的p（xi,y/）、Q5,”）兩點(diǎn),

方程兩邊同時(shí)除以病得

答案第15頁(yè)，共39頁(yè)

整理得K-l>

m

*.*0<m<n,

VP（X/,“）、Q（X2,”）兩點(diǎn)關(guān)于％=D：對(duì)稱,

.m+nm+n

,222

玉+/="2+〃，

???直線y=W與直線BC交于點(diǎn)N（。，”），

??%=".

由①得直線BC的解析式為y=-劭吠+劭加，

將為=代入得nr——ainx+amn.

解得x=〃,

a

.m

..x=n---,

3a

m（1A

H=W4--=7771t14-—I,

令1+'=0得〃=-1,

a

此時(shí)％+工2-七=。為定值，

將。=—1代入—->1+J-—，

mV-a

得K>1+4=3,

m

”n

當(dāng)，上3時(shí)，一>t>3,滿足一>3,

mm

a=~1,t>3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與一元二次方程的關(guān)系，求一次函數(shù)解析式，解不等式等,

第2問(wèn)難度較大，根據(jù)直線丫=病與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)列出不等式，再由王+芍-覆為定值

求出。的值是解題的關(guān)鍵.

5.（1）4〃

（2）0

（3）-60七0

（4）-4<C<5

答案第16頁(yè)，共39頁(yè)

【分析】(1)根據(jù)題意可得x=-2=-2,即可求解；

(2)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，可得拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，從而得到16a2-4〃C=(),

進(jìn)而得到c=4a,即可求解；

(3)根據(jù)題意可得拋物線的頂點(diǎn)是(-2,-2),再由當(dāng)k-2<x<k+4時(shí)，二次函數(shù)產(chǎn)oN+fec+c

f%—24—2

的最值是-2,可得/?即可求解；

(4)根據(jù)題意可得關(guān)于x的方程-/-4x+c=0在-3<xVl的范圍內(nèi)有解，根據(jù)題意畫(huà)出圖象，

即可求解.

(I)

解：由題意得：拋物線的工=-二=-2,解得b=4a,

2a

故答案為：4〃；

(2)

解：???拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，

???拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

???A=b2-4ac=0,

2

\6a-4ac=0f

??,存0,

???4a-c=0,即c=4m

?,.c-b=4a-4a=0；

(3)

解：:拋物線過(guò)點(diǎn)(-2,-2),且對(duì)稱軸為直線龍=-2,

???拋物線的頂點(diǎn)是(-2,-2),

當(dāng)攵一2夕女+4時(shí)，二次函數(shù)y=aj^+bx+c的最值是一2,

[k-2<-2,

*,?),^9解得：-6<AS0；

[k+A4>-2

(4)

解：當(dāng)〃二-1時(shí)，匕二一4,

答案第17頁(yè)，共39頁(yè)

，拋物線y=---4x+c,

?關(guān)于x的方程式加+/?+。=0在的范圍內(nèi)有解，即關(guān)于x的方程-/-4x+c=0在

-3<JC<1的范圍內(nèi)有解，

c=『+4x,

可以看作是拋物線y=f+4x=(x+2)2-4與直線)=。在-3<乂<1的范圍內(nèi)有交點(diǎn)，

當(dāng)x=-2時(shí)，y=4-8=-4,x=l時(shí)，>>=1+4=5,

如圖所示，由圖象得：c的取值范圍：-4<c<5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握二

次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵.

6.(l)y=2(x-l)2+2,x<\

⑵|或呼

(3)①］或-25士庖;②且二1.或11一舊或士#_3

918218

【分析】(1)頂點(diǎn)A(九2%)，由點(diǎn)A在第一象限，且。4=石即可求出”?的值，進(jìn)而求出解

析式，再由開(kāi)口向上可知在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小由此即可求解；

(2)分"侖0和機(jī)V0時(shí)討論：當(dāng)機(jī)NO且xM2加時(shí)，函數(shù)的最小值為工=機(jī)時(shí)取得；當(dāng)機(jī)<0,

且x42m時(shí)，x-2m時(shí)，，函數(shù)的最小值為x=2m時(shí)取得；

(3)先算出尸、Q、M、N四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再分情況討論二次函數(shù)與矩形PQMN的兩

邊交點(diǎn)，求出B、C坐標(biāo)；①根據(jù)正切等于對(duì)邊比臨邊的值，可求出加②根據(jù)三角形面積

相等列出等式求解.

(1)

頂點(diǎn)坐標(biāo)A(m,2>h),

OA2=m2+(2w)2=5m2,

又已知O/V=5,

???5>=5,且A點(diǎn)在第一象限，

Am=l,此時(shí)拋物線的解析式為：y=2(x-l)2+2,

拋物線的對(duì)稱軸為x=l,

由開(kāi)口向上可知在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，

???y隨x的增大而減小時(shí)x的取值范圍為：%<1；

(2)

函數(shù)的對(duì)稱軸為x=機(jī)，且開(kāi)口向上，

當(dāng)機(jī)20,且x42，"時(shí)，*=機(jī)時(shí)，函數(shù)有最小值為》=2，〃，

答案第18頁(yè)，共39頁(yè)

由已知：函數(shù)的最小值為3,

3

2m=3,解得"z=5，

當(dāng)〃zvO,且x42機(jī)時(shí)，x=2"?時(shí)，函數(shù)有最小值為y=2〃/+2加，

由已知：函數(shù)的最小值為3,

2

?**2m+2m=3,解得mx=1或加2=、+即(正值舍去)，

故m的值為1或」——;

22

(3)

由題意可知，尸(4,2)、Q(4,2—2m)、"(九2)、N(m,2-2m)f

①如圖所示，當(dāng)加＞0時(shí)，當(dāng)拋物線》=2。-團(tuán))2+2團(tuán)與四邊形尸?？捎玫倪呌袃蓚€(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)

3在PM邊上、點(diǎn)C在MN邊上且與頂點(diǎn)重合，連接CQ,

此時(shí)點(diǎn)。(利2M,

??,為直角三角形,

CN4ni-2

：.tanZCQN=—

NQ4-m2

Q

解得加=§;

如圖所示，當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，若點(diǎn)8在N。邊上，點(diǎn)C在PM邊上，連接CQ,過(guò)點(diǎn)C作NQ的垂

線，垂足為。，

此時(shí)C(m+Jl-MI,2),

...在以2^⑺。中，

答案第19頁(yè)，共39頁(yè)

CDMN-2m

tmZCQN2

~DQ~~CP4-m-y/l-m2

-25±y/85

解得加=

18

所以當(dāng)tanNCQN='[ft，m='或"=-25土:

2918

②如圖所示，若點(diǎn)B在PM邊上、點(diǎn)C在N0邊上,

???點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)C到x軸的距離相等,

2—2m=2(x-m)2+2m,

解得“不

?..點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)C的縱坐標(biāo),

...%=必叵不符合題意，舍去,

18

.11-V13

??/7?=---------------

18

如圖所示，若點(diǎn)8在PQ邊上、點(diǎn)C在N。邊上,

???點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)C到x軸的距離相等,

，4=2-2m,

解得：不符合題意，舍去,

如圖所示，當(dāng)〃?<0時(shí)，若點(diǎn)8在NQ邊上，點(diǎn)C在PM邊上,

答案第20頁(yè)，共39頁(yè)

??,點(diǎn)8到)，軸的距離與點(diǎn)C到x軸的距離相等，

2-2m=2(x-m)2+2/n,

解得：x=m±\J\-2m,

|/n+5/1-2/n|=2或1力-Jl_2T=2,

解得：m=±>/6-3,

綜上，加的值為叵［或"-而或±#-3.

218

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，涉及分類討論思想,

情況不定時(shí)需要分類討論，難度較大，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

7.(1)4(2,0),B(0,1),直線后a

(2)4或3

49

⑶大于一二小于等于0

【分析】(1)對(duì)于直線y=-；x+l,分別令x=0,產(chǎn)0,可得點(diǎn)A(2,0),B(0,1)；再把

拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，可得拋物線的對(duì)稱軸；

(2)根據(jù)題意可得在34x44范圍內(nèi)，當(dāng)43或44時(shí);有最大值a+2,然后分兩種情況：

當(dāng)x=3時(shí)，取最大值a+2時(shí)；當(dāng)A4時(shí)，取最大值a+2時(shí)，即可求解；

(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C,點(diǎn)8關(guān)于拋物線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)力，先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，

和點(diǎn)。，然后分兩種情況討論：若點(diǎn)8'與點(diǎn)。重合時(shí)，當(dāng)線段H朋過(guò)點(diǎn)C時(shí)，即可求解.

(1)

解：對(duì)于直線y=-5X+1,

令40,則y=l,

令y=0,則x=2,

...點(diǎn)4(2,0),B(0,1)；

y=2x?-4ax+2a2+a=2(x-a)~+a,

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=a.

答案第21頁(yè)，共39頁(yè)

(2)

解：:)，=2%2-44犬+2。2+。開(kāi)口向上，

，在34xK4范圍內(nèi)，當(dāng)％=3或x=4時(shí)，有最大值。+2,

當(dāng)x=3時(shí),y=2a2—1ltz+18,

當(dāng)x=4時(shí)，y=2a2-15t/+32,

當(dāng)x=3,函數(shù)取最大值Q+2時(shí)，有〃+2=2/-11〃+18且2/一11〃+1822a2一15白+32,

7

解得，。=2或4,且。2—，

2

4=4；

當(dāng)戶4,函數(shù)取最大值。+2口寸，有Q+2=2/—15〃+32且2々2一11〃+1842〃2一15〃+32,

7

解得，。二3或5,且

a=3；

綜上所述，a的值為4或3.

(3)

解：如圖，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C,點(diǎn)8關(guān)于拋物線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，

當(dāng)a=-l時(shí)，拋物線解析式為y=2x2+4x+l=2(x+l)2-1,

...點(diǎn)C(-1,-1),對(duì)稱軸為直線4-1,

當(dāng)x=0時(shí)，產(chǎn)1,

.,.拋物線與y軸交于點(diǎn)(0,1),

?.,點(diǎn)8(0,1),

點(diǎn)。(-2,1),

設(shè)直線A'B'的解析式為y=~x+b,

若點(diǎn)"與點(diǎn)。重合時(shí)，線段AB向左平移2個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)A'(O,O),此時(shí)拋物線

y=2x2-4ax+2a2+a與線段A0有兩個(gè)交點(diǎn)，

把點(diǎn)(-2,1)代入y=+得：-gx(-2)+8=l,

解得：2=0；

當(dāng)直線AE與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

y=2x2+4x+l

聯(lián)立得：-1,,

y=——x+b

[2

整理得：4x2+9x+2-2b=0,

：.A=81-4x4(2-2ft)=0,

答案第22頁(yè)，共39頁(yè)

解得：b=~<

拋物線y=2x2-4ax+2a2+。與線段A所有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線AE與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的

取值范圍為大于-三小于等于0.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的平移，

熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的

關(guān)鍵.

8.(i)y=r-4x+3

⑵①玉+々=4；②最小值為—2

【分析】(1)將4,8兩點(diǎn)代入解析式解得即可；(2)①若,=必，則兇-必=°，化簡(jiǎn)即

可得到的關(guān)系；②y-%代入化簡(jiǎn)成頂點(diǎn)式即可得到最小值.

(1)

拋物線y=a￥+法+3與x軸相交于點(diǎn)A(l,0),8(3,0)

〃+b+3=0襄,[a=1

9a+3b+3=0解得%=T

/.y=x2-4x4-3；

(2)

①點(diǎn)加(%①),%(9,%)是拋物線上不同的兩點(diǎn).

=x

/.y}=工；-4玉+3,必2~4X2+3

若弘=必，則乂一％=。.

X-必=(x；—4A■(+3)—(尤-4x>+3)=(X]—X,)(N+X)—4)—0

x2X]+w=4；

X

②K—必=X|~2—4(X]—/)=(*1+%)(西一工2)-4(%一w)=2(X[—9)—4(Xj—x2)

答案第23頁(yè)，共39頁(yè)

2

=2^(xt—x,)~2(x,—+—2=2(x,—x,-1)'—2,

當(dāng)%-々=1時(shí)，X-%的最小值為-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合,考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)和最值問(wèn)題，

熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

9.⑴拋物線的解析式為y=V+2x+l

7

(2)當(dāng)”■>如，，*的取值范圍為機(jī)<-萬(wàn)

(3)相的值為m=-2或機(jī)=回二!

2

【分析】⑴當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)A(TO)時(shí)，1一2如+2*一〃?=0,解得：叫=1，網(wǎng)=；，當(dāng)拋

物線經(jīng)過(guò)8(0,1)時(shí)，2加-〃2=1,解得叫=1,嗎=-g,取其公共解即可

(2)-：a=\>0,拋物線開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)。(2,無(wú))，

。(5，%)都在對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上，列不等式；22+2mx2+2m2—rh>52+2mx5+2m2—m,

當(dāng)點(diǎn)。在對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)C離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，點(diǎn)。離對(duì)稱軸近，列不等

式5+機(jī)<-加-2,解不等式即可：

(3)當(dāng)14x43時(shí)，函數(shù))，的最小值等于6,分三種情況，拋物線對(duì)稱軸1?加？3,拋物

線y=(x+”?)-+??-〃?，得出》?-機(jī)=6；當(dāng)對(duì)稱軸-“<1即機(jī)>-1,在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x

的增大而增大，x=l是取最小值，即1+2加+2相2-機(jī)=6;當(dāng)對(duì)稱軸-機(jī)>3即加V-3,在對(duì)稱

軸左側(cè)y隨x的增大而減小，戶3時(shí)，取最小值，即9+6m+2m2-機(jī)=6,解方程即可.

(1)

解:當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)A(TO)時(shí)，1-2也+2病-加=0,

解得：町=1,g=g，

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)8(0,1)時(shí)，2/-優(yōu)=1,

解得町=1,，%=-；,

???拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0),8(0,1)兩點(diǎn)，

拋物線的解析式為y=/+2x+l；

(2)

解：.."=1>0,拋物線開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，

答案第24頁(yè)，共39頁(yè)

當(dāng)點(diǎn)C(2,yJ，。(5,%)都在對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上，

22+2/nx2+2m2-m＞52+2mx5+2m2-m,

7

解得加〈——，

2

當(dāng)點(diǎn)。在對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)C離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，點(diǎn)。離對(duì)稱軸近，拋物線

得對(duì)稱軸為x^-m;

7

解得

2

7

...當(dāng)先＞W(wǎng)，機(jī)的取值范圍為，〃〈-萬(wàn)；

(3)

解：當(dāng)1WX43時(shí)，函數(shù)y的最小值等于6,

拋物線對(duì)稱軸1?加？3,y=(x+m)2+m2-m,

irT—m=6,

解得席=3(舍去)或加=2

當(dāng)對(duì)稱軸-加＜1即機(jī)＞-1,在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，

**?^=1是取最小值，即1+2加+2〃/一加=6,

.?.解得〃?=-1131(舍去)或〃7=：士”

22

當(dāng)對(duì)稱軸加＞3即/n＜-3,在對(duì)稱軸左側(cè)y隨工的增大而減小，

，x=3時(shí),取最小值,即9+6加+27n2—m=6,

3

解得m=一］＞一3,m=-l＞-3,都舍去，

綜合得m的值為m=-2或%=回二1.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的性質(zhì)，增減性，最值，掌握待定系

數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的性質(zhì)，增減性，最值是解題關(guān)鍵.

10.⑴②

12

(2)當(dāng)f=-§時(shí)，ymax=4；當(dāng)/=時(shí)，ymax=8

(3)①-2＜m＜0或-1＜加＜0；②

【分析】(1)分別求出三個(gè)方程的根，根據(jù)“靈粹二次方程''的定義進(jìn)行判斷即可；

(2)先將t當(dāng)作已知數(shù)，解一元二次方程，得出再=r+l,x2=t,根據(jù)此方程是“靈粹二次

答案第25頁(yè)，共39頁(yè)

方程”，得出上L-2或々=-2,解得七二或七一，然后分別求出一元二次方程的最

tr+133

大值即可；

(3)①先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后分'=-2或4=-2兩種情況，列出關(guān)于根的不等

nm

式組，然后解不等式組即可；

②根據(jù)相為整數(shù)，先求出〃，的值，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出從C的值，

即可得出一元二次方程.

(1)

解：①3X2-5X+3=0,

VA=(-5)2-4X3X3=-11<0,

.??此方程無(wú)解，不是“靈粹二次方程”；

②爐+2》-8=0,

解方程得：歷=-4,X2=l,

??2=於=-2

,x,2，

,此方程是“靈粹二次方程”；

③久+2=—,

X

解方程得：士=七=-1,

??^-=—=1^-2

-x2-1，

此方程不是“靈粹二次方程”；

綜上分析可知，是“靈粹二次方程''的為②.

故答案為：②.

(2)

解一元二次方程爐-(2，+1口+產(chǎn)+/=0得：％=f+l,x2=t,

?/x2-(2f+l)x+*+1=0是“靈粹二次方程”，

A—=-2W(-=-2,

tt+\

12

解得：，=一§或，=一屋

當(dāng)/=」時(shí)，