2014初中數(shù)學青年教師解題大賽試題參考答案

年安慶市初中數(shù)學青年教師解題大賽試題參考答案（2014年12月4日下午1:30—4:00）一、選擇題（每題6分，共36分）姓名姓已知，則的值為（C）姓名姓A.B.C.D.2.已知滿足，則的值為（D）A.4B.6C.8D.4或83．小青步行從家出發(fā)，勻速向?qū)W校走去，同時她哥哥小強騎摩托車從學校出發(fā)，勻速向家駛?cè)?，二人在途中相遇，小強立即把小青送到學校，再向家里駛?cè)ィ@樣他在途中所用的時（B）.A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍學校學方程的解的個數(shù)是4，則的取值范圍為（B）學校學A.B.C.D.5.平面上動點滿足，，,則一定有（B）．．．．6.函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，對任意的非0實數(shù)a、b、c、m、n、g關(guān)于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+g=0的解集不可能是(D){1,3}B.{2,4}C.{1,2,3,4}D.{1,2,4,8}二、填空題（每題8分，共32分）7.設(shè)集合｛+b︱1≤a≤b≤2｝中的最大元素與最小元素分別為M、m,則M-m的值為5-2√3?？h市化簡：=n2+3n/4(n+1)(n+2)?？h市在中，,則的面積的最大值為16/3.10.袋內(nèi)有8個白球和2個紅球，每次從中隨機取出一個球，然后放進1個白球，則第4次恰好取完所有紅球的概率為434/10000.三、解答題（共82分）11.（本題12分）如圖，點是正方形邊上一點（不與點重合），連接并將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段，交邊于點，連接．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）當?shù)闹档扔诙嗌贂r，？并說明理由．證明:(1)在正方形ABCD中，∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°∵∠DPE=90°∴∠EPB+∠APD=90°∴；(2)作EG⊥AB交AB的延長線于G,∴∠PGE=∠A=90°又∵，DP=PE∴⊿ADP≌⊿PGE∴AD=PG=AB,AP=GE∴AB-PB=PG-PB即AP=BG∴BG=GE∴∠EBG=∠BEG=45°∴∠CBE=45°(3)當?shù)闹档扔?/2時，證明：∵∠A=∠PBF=90°、∴⊿ADP∽⊿BPF∴DP/PF=AP/BF當?shù)闹档扔?/2時，AP=PB∴DP/PF=PB/BF∴DP/PB=PF/BF∵∠DPE=∠PBF=90°∴12.（本題15分）請用一個長方形紙片折出一個30°的角（不借助任何工具）解：（1）由待定系數(shù)法得拋物線表達式為y=1/2x2-1/2x-1直線BC的表達式為y=1/2x-1證明：（2）∵點P的橫坐標為，即x=時yP=-10/9yD=-2/3∵ED=yD-yP=2/3=OE∴∠EOD=∠EDO=45°又∵OA=OC=1∴∠OAC=∠OCA=45°∴∠OAC=∠EOD又∵∠OBD=∠ABC∴△OBD∽△ABC.（3）OE=2PEOE=xPE=-y=-1/2x2+1/2x+1)2(-1/2x2+1/2x+1)=x解得x1=-√2(舍去)x2=√2即OE=√2PE=√2/2，DE=yD=√2/2-1PD=PE-DE=1s△POD=1/2PD×OE=√2/2(4)點P的坐標為：（2√5/5，3/5-√5/5）或（-2√5/5，-3/5+√5/5）.或（4/5，-37/25）或（1，-1）15.（本題15分）證明：不存在整數(shù)使得成立。證明：假設(shè)存在整數(shù)使得成立，則關(guān)于x得一元二次方程x2+3xy-(2y2+122)=0在y是整數(shù)時有整數(shù)解，于是⊿=（3y）2+4(2y2+122)=17y2+488是完全平方數(shù)，設(shè)m2=17y2+488=17(y2+28)+12m2-12=17(y2+28)故m2-12能被17整除，顯然，整數(shù)m不能被17整除，再設(shè)整數(shù)m=17n+p,其中n為任意整數(shù)，|P|=1、2、3、…8m2-12=（17n+p）2-12=17（17n2+2nP）+p2-12其中17（17n2+2nP）能被17整除而當|P|=1、2、3、…8時，p2-12=|p|2-12=-11、-8、-3、4、13、24、37、52都不能被17整除，所以m2-12=（17n+p）2-12=17（17n2+2nP）+p2-12一定不能被17整除，這就與前面所說m2-12能被17整除相矛盾，所以假設(shè)“存在整數(shù)使得成立”是錯誤的；所以不存在整數(shù)使得成立。初中組13題和高中組的一題，有些解題方法很相似附：高中組中平面幾何證明EE方法1:用相似三角形記AB、PC得交點為E設(shè)正三角形邊長為a，易證：⊿PAE∽⊿PCB⊿ACE∽⊿PCA∴PA×PB=PE×PCAC2=CE×PC∴PA×PB+AC2=PE×PC+CE×PC=PC(PE+CE)=PC2∴PC2-PA×PB=AC2=a2=3R2即PC2-PA×PB為定值3R2方法2:用特勒密定理證PC=PA+PB證明：設(shè)正三角形邊長為a，由特勒密定理得：PC×AB=AP×BC+BP×AC即aPC=aAP+aBP所以PC=PA+PB所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2-PA×PB=PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2即PC2-PA×PB為定值3R2方法3：用余弦定理證PC=PA+PB證明：設(shè)正三角形邊長為a,在△APC、△BPC、△APB中，∠APC=∠BPC=60°∠BPA=120°根據(jù)余弦定理得：a2=PA2+PC2-2PA×PC×COS60°=PA2+PC2-PA×PC(1)a2=PB2+PC2-2PB×PC×COS60°=PB2+PC2-PB×PC(2)a2=PA2+PB2-2PA×PB×COS120°=PA2+PB2+PA×PB(3)由（1）-（2）得：（PA2+PC2-PA×PC）-（PB2+PC2-PB×PC）=0整理得：PA×PC-PB×PC=PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)所以