金融數(shù)學(xué)期望效用理論

金融數(shù)學(xué)期望效用理論第1頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四第1章期望效用函數(shù)理論1.效用函數(shù)理論2.投資者的風(fēng)險偏好和風(fēng)險度量本章內(nèi)容概覽3.隨機(jī)占優(yōu)2第2頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四引言理性個人的決策行為幾乎是所有微觀經(jīng)濟(jì)分析的起點(diǎn)。經(jīng)濟(jì)學(xué)的傳統(tǒng)是把個人、家庭的存在，以及他們所具有的偏好形式和資源稟賦，視為獨(dú)立于經(jīng)濟(jì)體系的外生因素；而經(jīng)濟(jì)組織的行為和作用則在經(jīng)濟(jì)體系中內(nèi)生決定，因而一開始往往會去考察個人的選擇行為進(jìn)而演繹出經(jīng)濟(jì)組織的功能和市場的均衡，微觀金融學(xué)也不例外。要解構(gòu)整個金融體系，要理解金融產(chǎn)品、資本市場、金融中介在跨期資源配置中的所具有的功能作用及其實(shí)現(xiàn)形式，投資者行為就是一個自然的起點(diǎn)。3第3頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四個人生存過程中，必須反復(fù)面對以下3個選擇問題：（1）選擇消費(fèi)品種類和數(shù)量，在現(xiàn)有消費(fèi)基金預(yù)算約束下，當(dāng)期效用（utility）最大化；（2）選擇積累的財(cái)富在消費(fèi)基金和投資基金之間進(jìn)行分割的比例；（3）選擇投資品種類和數(shù)量，在現(xiàn)有投資基金預(yù)算約束下，未來（期望）效用最大化。不斷進(jìn)行選擇的總過程的目的就在于：個人終生效用極大化?？紤]第一個選擇問題時，我們稱個人為消費(fèi)者（consumer）；考慮第三個問題時為投資者（investor），一起考慮時為面臨抉擇的個人（individual）或者決策者（decisionmaker）。4第4頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四我們對投資者行為的研究就從第三個選擇問題開始，金融學(xué)的重點(diǎn)就是考察在理性個人特定要求和現(xiàn)有投資基金預(yù)算約束下，如何通過選擇投資品種類和數(shù)量（資產(chǎn)組合），來最大限度的優(yōu)化個人未來的消費(fèi)或者財(cái)富。同時我們也研究這種個體的投資行為的匯總是否會產(chǎn)生市場均衡和相應(yīng)的均衡價格體系。5第5頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四第1節(jié)確定性條件下的偏好與效用

日常生活中，我們時常要比較不同商品或者服務(wù)給我們生理、心理上帶來的感受或者說效用（utility）。例如，看一場電影還是吃一塊雞腿，是需要經(jīng)過激烈思想斗爭的，尤其是當(dāng)荷包里所剩無幾的時候。這便涉及到效用大小比較的問題。6第6頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四在18世紀(jì)的古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家眼中，效用和黃油、大炮一樣是看得見、摸得著的，他們把效用視為快樂的代名詞，看做是一個人的整個福利的指數(shù)。但是，古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家實(shí)際上從來沒有闡述過如何去度量效用；以及除了人們要實(shí)現(xiàn)效用最大化外，效用的概念是否還有別的獨(dú)立意義。正如我們即將看到的那樣，現(xiàn)代效用理論來源于偏好，并僅僅認(rèn)為是描述偏好的方法之一。7第7頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四效用是一種純主觀的心理感受，因人因地因時而異。偏好是建立在消費(fèi)者可以觀察的選擇行為之上的。偏好關(guān)系（preferencerelation)是指消費(fèi)者對不同商品或商品組合偏好的順序。它可以用一種兩維（或二元）關(guān)系（binaryrelation）表述出來。1.1偏好關(guān)系8第8頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四偏好雜談（1）偏好是指消費(fèi)者按照自己的意愿對可供選擇的商品組合進(jìn)行的排列。偏好是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)價值理論中的一個基礎(chǔ)概念。偏好是主觀的，也是相對的概念。偏好實(shí)際是潛藏在人們內(nèi)心的一種情感和傾向，它是非直觀的，引起偏好的感性因素多于理性因素。偏好有明顯的個體差異，也呈現(xiàn)出群體特征。

9第9頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四偏好雜談（2）終日奔波只為饑，方才一飽便思衣。衣食兩般皆俱足，又想嬌容美貌妻。取得美妻生下子，恨無天地少根基。買到田園多廣闊，出入無船少馬騎。槽頭扣了騾和馬，嘆無官職被人欺?？h丞主簿還嫌小，又要朝中掛紫衣。作了皇帝求仙術(shù)，更想登天跨鶴飛。若要世人心里足，除是南柯一夢西。10第10頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四令Ｂ為商品（或者消費(fèi)）集合，B中有n種可供選擇的商品。它是n維實(shí)數(shù)空間中的一個非負(fù)子集，它總是被假定為閉集和凸集。x、y、z……是它的子集，或者稱之為商品束（commoditybundle）或者消費(fèi)束（consumeboundle）。我們可以在消費(fèi)束的集合Ｂ上建立下面的偏好關(guān)系（preferencerelation）或者偏好順序（preferenceordering）：

1.偏好關(guān)系的表述11第11頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四12第12頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四

自返性保證了消費(fèi)者對同一商品的偏好具有明顯的一貫性；

可比較性假定保證了消費(fèi)者具備選別判斷的能力；傳遞性保證了消費(fèi)者在不同商品之間選擇的首尾一貫性。13第13頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四通常認(rèn)為這三條并沒有給消費(fèi)者施加過分嚴(yán)格的限制條件，只要是消費(fèi)者是理性的都可以做到這一點(diǎn)。但是僅在前面三個理性偏好的假定下，這樣的效用函數(shù)是不一定存在的，例如字典序偏好就是一個反例。14第14頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四字典序定義例如：設(shè)選擇集15第15頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四2.偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì)性質(zhì)1（序保持性）16第16頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四性質(zhì)2（中值性）17第17頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四性質(zhì)3（有界性）18第18頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四1.2確定性環(huán)境下的效用函數(shù)

1.效用函數(shù)定義如果對于有和成立，則函數(shù)關(guān)系是一個代表了偏好關(guān)系的效用函數(shù)。

19第19頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四解釋效用函數(shù)是表示個體偏好關(guān)系的一種可行的方法。效用函數(shù)是一個連續(xù)的實(shí)函數(shù)。效用函數(shù)可以說是唯一的，除了對它作嚴(yán)格正的仿射變換。一般的效用函數(shù)依賴于兩個因素：未來狀態(tài)的概率分布以及在各狀態(tài)下對消費(fèi)的偏好。但講解到目前為止，我們并沒有給出效用函數(shù)的具體形式。20第20頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四

2.基數(shù)效用與序數(shù)效用基數(shù)效用：19世紀(jì)的一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家如英國的杰文斯、奧地利的門格爾等認(rèn)為，人的福利或滿意可以用他從享用或消費(fèi)過程中所獲得的效用來度量。對滿意程度的這種度量叫做基數(shù)效用.21第21頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四序數(shù)效用：20世紀(jì)意大利的經(jīng)濟(jì)學(xué)家帕累托等發(fā)現(xiàn)，效用的基數(shù)性是多余的，消費(fèi)理論完全可以建立在序數(shù)效用的基礎(chǔ)上。所謂序數(shù)效用是以效用值的大小次序來建立滿意程度的高低，而效用值的大小本身并沒有任何意義.22第22頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四3序數(shù)效用函數(shù)存在定理定理1.123第23頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四序數(shù)效用函數(shù)存在定理證明由性質(zhì)3，此時定理顯然成立。因?yàn)锽存在偏好關(guān)系，只有3種情況：24第24頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四序數(shù)效用函數(shù)定理證明25第25頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四必要性26第26頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四27第27頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四由性質(zhì)1（序保持性），28第28頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四充分性由保序性，29第29頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四充分性此時由U的定義，由性質(zhì)130第30頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四必要性若不然，由結(jié)論1，31第31頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四充分性32第32頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四說明

一個效用函數(shù)可以通過正單調(diào)變換而獲得另一個效用函數(shù)與原來的效用函數(shù)具有同樣的偏好關(guān)系：且

是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，則有：

33第33頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四說明注1序數(shù)效用函數(shù)不是唯一的，但是都具有如下性質(zhì)：34第34頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四注2在字典序上不存在與字典序相一致的效用函數(shù)。注335第35頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四第2節(jié)不確定條件下的偏好關(guān)系與效用不確定性環(huán)境下的行為選擇不確定性下理性決策的兩種原則期望效用函數(shù)期望效用準(zhǔn)則矛盾36第36頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四引言在第1節(jié)中，我們討論了當(dāng)選擇對象是確定的，且滿足偏好關(guān)系的三條性質(zhì)（序保持性、中值性和有界性）的條件下，序數(shù)效用函數(shù)的存在性定理。本節(jié)將把效用概念推廣到選擇對象包含不確定（風(fēng)險）的情形。37第37頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四2.1不確定性環(huán)境下的行為選擇經(jīng)濟(jì)分析中的不確定性是與風(fēng)險相聯(lián)系的。兩個概念的密切關(guān)系導(dǎo)致大家對其認(rèn)識的不一致。很多文獻(xiàn)認(rèn)為，不確定性是指經(jīng)濟(jì)行為結(jié)果雖然是不確定的，但是各種結(jié)果出現(xiàn)的概率是確定的。也有一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為各種可能出現(xiàn)的結(jié)果存在一個確定概率的經(jīng)濟(jì)行為是具有風(fēng)險性的；可能出現(xiàn)結(jié)果的概率是未知的才能稱為具有不確定性，例如奈特(F·Knight）。目前大多數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)沒有嚴(yán)格區(qū)分不確定性與風(fēng)險性。

38第38頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四注意在金融數(shù)學(xué)中，我們所說的不確定性就是指風(fēng)險。在不確定性經(jīng)濟(jì)中，偏好關(guān)系式建立在不同的概率分布之間。39第39頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四2.2不確定性下理性決策的兩種原則數(shù)學(xué)期望最大化原則期望效用最大原則40第40頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四1.數(shù)學(xué)期望最大化原則

數(shù)學(xué)期望收益最大化準(zhǔn)則是指使用不確定性下各種可能行為結(jié)果的預(yù)期值比較各種行動方案優(yōu)劣。這一準(zhǔn)則有其合理性，它可以對各種行為方案進(jìn)行準(zhǔn)確的優(yōu)劣比較，同時這一準(zhǔn)則還是收益最大準(zhǔn)則在不確定情形下的推廣。

問題：是否數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則是一最優(yōu)的不確定性下的行為決策準(zhǔn)則？

41第41頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四圣彼德堡悖論

DanielBernoulli（1700-1782）是出生于瑞士名門著名數(shù)學(xué)家。其在1738年發(fā)表《對機(jī)遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險度量新理論”。指出：人們在投資決策時不是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來行動的。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財(cái)富有關(guān)。窮人與富人對于財(cái)富增加的邊際效用是不一樣的。DanielBernoulli（1700-1782)42第42頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四

典型案例：圣彼德堡悖論（SaintPetersburyParadox）考慮一個投幣游戲，如果第一次出現(xiàn)正面的結(jié)果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得2元，前兩次反面，第三次正面得4元，……如果前n-1次都是反面，第n次出現(xiàn)正面得元。問：游戲的參加應(yīng)先付多少錢，才能使這場賭博是“公平”的？43第43頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四

該游戲的數(shù)學(xué)期望值：但實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明一般理性的投資者參加該游戲愿意支付的成本（門票）僅為2-3元。

圣彼德堡悖論：面對無窮的數(shù)學(xué)期望收益的賭博，為何人們只愿意支付有限的價格？

44第44頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四2.期望效用原則

DanielBernoulli（1700-1782）是出生于瑞士名門著名數(shù)學(xué)家，1725-1733年期間一直在圣彼德堡科學(xué)院研究投幣游戲。其在1738年發(fā)表《對機(jī)遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險度量新理論”。指出人們在投資決策時不是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來行動的。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財(cái)富有關(guān)。窮人與富人對于財(cái)富增加的邊際效用是不一樣的。45第45頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四即人們關(guān)心的是最終財(cái)富的效用，而不是財(cái)富的價值量，而且，財(cái)富增加所帶來的邊際效用（貨幣的邊際效用）是遞減的。

伯努利選擇的道德期望函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，即對投幣游戲的期望值的計(jì)算應(yīng)為對其對數(shù)函數(shù)期望值的計(jì)算：

其中，為一個確定值。

46第46頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四另外，Crammer（1728）采用冪函數(shù)的形式的效用函數(shù)對這一問題進(jìn)行了分析。假定：

則

47第47頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四

因此，期望收益最大化準(zhǔn)則在不確定情形下可能導(dǎo)致不可接受的結(jié)果。而貝努利提出的用期望效用取代期望收益的方案，可能為我們的不確定情形下的投資選擇問題提供最終的解決方案。根據(jù)期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一樣好；20%的損失也不一定與2倍的10%損失一樣糟。48第48頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四2.3期望效用函數(shù)期望效用函數(shù)理論是20世紀(jì)50年代，馮·諾一曼和摩根斯坦(VonNeumannandMorgenstern)在公理化假設(shè)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用邏輯和數(shù)學(xué)工具，建立了不確定條件下對理性人(rationalactor)選擇進(jìn)行分析的框架。不過，該理論是將個體和群體合而為一的。后來，阿羅和德布魯（ArrowandDebreu）將其吸收進(jìn)瓦爾拉斯均衡的框架中，成為處理不確定性決策問題的分析范式，進(jìn)而構(gòu)筑起現(xiàn)代微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)并由此展開的包括宏觀、金融、計(jì)量等在內(nèi)的宏偉而又優(yōu)美的理論大廈。

49第49頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四（上）JohnvonNeumann(1903-1957)（下）OskarMorgenstern(1902-1977)1944年在巨著《對策論與經(jīng)濟(jì)行為》中用數(shù)學(xué)公理化方法提出期望效用函數(shù)。這是經(jīng)濟(jì)學(xué)中首次嚴(yán)格定義風(fēng)險50第50頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四所謂期望效用函數(shù)是定義在一個隨機(jī)變量集合上的函數(shù)，它在一個隨機(jī)變量上的取值等于它作為數(shù)值函數(shù)在該隨機(jī)變量上取值的數(shù)學(xué)期望。用它來判斷有風(fēng)險的利益就是比較“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”（“而不是錢的數(shù)學(xué)期望”）。51第51頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四1彩票以及彩票集合上的偏好關(guān)系不確定性下的選擇問題是其效用最大化的決定不僅對自己行動的選擇，也取決于自然狀態(tài)本身的選擇或隨機(jī)變化。第一步的任務(wù)是要明確：什么是在不確定情況下，我們要討論的“商品”和“商品空間。不確定下的選擇對象被人們稱為彩票（Lottery）或未定商品（contingentcommodity）。52第52頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四彩票概念：隨機(jī)變量的概率分布可用向量表示為設(shè)想消費(fèi)者參加一次抽獎（lottery），所有可能產(chǎn)生如，A為中獎，中獎的概率為P，C為不中獎，L=(P,A,C)描述了一種彩票情況53第53頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四若彩票選擇的結(jié)果又構(gòu)成一個彩票時，稱為復(fù)合彩票。比如，有兩個彩票,則簡單彩票與復(fù)合彩票的關(guān)系為：

就構(gòu)成一個復(fù)合彩票復(fù)合彩票概念：54第54頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四一般情況的復(fù)合（復(fù)雜）彩票（compoundlottery），其抽獎結(jié)果是眾多的簡單彩票。復(fù)合彩票記為：其中，是一個簡單彩票。對于每一個復(fù)合彩票，我們可以計(jì)算出它與簡單彩票的關(guān)系：55第55頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四所有類似的彩票商，就構(gòu)成了不確定情況下的商品空間，我們記彩票空間為不同的彩票之間也應(yīng)當(dāng)存在著與普通商品之間類似的偏好順序和關(guān)系。56第56頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四公理1二元關(guān)系是一個定義在上的偏好關(guān)系，滿足：自返性傳遞性完備性57第57頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四公理2（獨(dú)立性公理或替代公理，IndependentorSubstituteAxiom）含義:引入一個額外的不確定性的消費(fèi)計(jì)劃不會改變原有的偏好。58第58頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四獨(dú)立性公理假設(shè)是不確定環(huán)境下決策理論的核心，它提供了把不確定性嵌入決策模型的基本結(jié)構(gòu)。通過獨(dú)立性假設(shè)，消費(fèi)者希望把復(fù)雜的概率決策行為分為相同和不同的兩個獨(dú)立部分，整個決策行為僅由其中不同的部分來決定。59第59頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四公理3（阿基米德公理，ArchimedeanAxion）含義:沒有哪一個消費(fèi)計(jì)劃L1好到使得對任意滿足L2>L3的消費(fèi)計(jì)劃L2,L3，無論概率β多么小，復(fù)合彩票βＬ1+(1-β)L3不會比L2差。同樣，沒有哪一個消費(fèi)計(jì)劃L3，差到使得對任意滿足L1>L2的消費(fèi)計(jì)劃L1,L2,，無論概率α多么大，復(fù)合彩票αL1+(1-α)L3不會比L2好。即不存在無限好或無限差的消費(fèi)計(jì)劃。(數(shù)學(xué)上有類似的阿基米德公理)60第60頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四公理3（阿基米德公理，ArchimedeanAxion）含義:沒有哪一個消費(fèi)計(jì)劃L1好到使得對任意滿足L2>L3的消費(fèi)計(jì)劃L2,L3，無論概率b多么小，復(fù)合彩票bp+(1-b)r不會比q差。同樣，沒有哪一個消費(fèi)計(jì)劃r，差到使得對任意滿足p>q的消費(fèi)計(jì)劃p,q，無論概率a多么大，復(fù)合彩票ap+(1-a)r不會比q好。即不存在無限好或無限差的消費(fèi)計(jì)劃。(數(shù)學(xué)上有類似的阿基米德公理)61第61頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)中的阿基米德法則不管一個數(shù)字a多么的小，另外一個數(shù)字b多么的大，總存在一個整數(shù)k，使得ka>b62第62頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四期望效用表述（expectedutilityrepresenting)對一件彩票的期望效用表示為對抽獎結(jié)果的效用函數(shù)的數(shù)學(xué)期望:

其中，是VNM效用函數(shù)。

更一般地，我們可以表述為：63第63頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四

其中，是一個隨機(jī)變量。其含義為：不確定狀態(tài)下的消費(fèi)得到的效用是每一可能狀態(tài)下消費(fèi)路徑得到的效用的加權(quán)平均值，權(quán)重是相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。64第64頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四如果抽獎結(jié)果是無限的，附加一些不太重要的技術(shù)性條件，我們就有期望效用函數(shù)的連續(xù)形式：其中，為分布函數(shù)。65第65頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四期望效用函數(shù)的公理化陳述定理定義在上的偏好關(guān)系，若它滿足公理１，２，３，則該偏好關(guān)系可以用vonNeumannandMorgensern期望效用函數(shù)表示，并且期望效用函數(shù)是唯一的。66第66頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四一個定義在上的二元關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足上面的三個公理時才存在著期望效用表示：67第67頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四在一些附加簡化假設(shè)下，如狀態(tài)獨(dú)立和時間可加性假設(shè)，期望效用函數(shù)的形式可以進(jìn)一步簡化：68第68頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四四、期望效用準(zhǔn)則矛盾

反對期望效用準(zhǔn)則的最有趣和最相關(guān)的論證，通常包括幾個這樣的特例：受試者經(jīng)過深思熟慮之后，反而會選擇不符合該準(zhǔn)則的行動方案。這種情況簡單合理，人們的選擇相當(dāng)明確，因而選擇與準(zhǔn)則之間的矛盾似乎不可避免。我們的結(jié)論只能是，或者期望效用準(zhǔn)則不是理性行為，或者人們有一種非理性的天生偏好，即使是在他思考最多的時候。

69第69頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四“

Allais悖論”

(1953)期望效用函數(shù)似乎是相當(dāng)人為、相當(dāng)主觀的概念。一開始就受到許多批評。其中最著名的是“Allais悖論”(1953)。由此引起許多非期望效用函數(shù)的研究，涉及許多古怪的數(shù)學(xué)。但都不很成功。（法）MauriceAllais(1911-)1986年諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎獲得者。70第70頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四兩個非常有趣的例子

投資者可能偏好一個不符合期望效用準(zhǔn)則的方案。在每個例子中，“錯誤”方案都有一個似是而非的外表，并被許多受試者選中。

71第71頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四例1.投資者可以選擇以下3種彩票：彩票A贏得1000美元的機(jī)會是1/1000；彩票B贏得100美元的機(jī)會是1/100；彩票C贏得1000的機(jī)會是1/2000，贏得100美元的機(jī)會是1/200。

你會選擇哪一種彩票？A,B,orC?72第72頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四要求受試者在方案A,B,C之間進(jìn)行選擇，他們經(jīng)常會表示出對C的明確偏好。對那些顯示偏好C的受試者，我們可以繼續(xù)提問，問他們在A和B之間是否更偏好A或者相反。爭論仍然存在。

73第73頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四為具體起見，我們假定A偏好B。我們再來詢問他是否愿意要確定性的A或者要得到A或B的機(jī)會各半的方案。換言之，我們是直接選中A還是通過拋硬幣來決定選A或B?實(shí)驗(yàn)證明，那些表示A偏好B的投資者一致認(rèn)為，他們愿意選擇A，而不是A或B的機(jī)會各半。

74第74頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四不難發(fā)現(xiàn)，拋硬幣選擇A或B的結(jié)果的概率分布于彩票C的分布完全相同。因此我們可以將投資者的偏好概括如下：C偏好A；A偏好A或B各50%；但是A和B各50%又恰好與C一樣好。因此C明確偏好A,A明確偏好C—矛盾。

75第75頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四例

2阿萊悖論方案A：確定得到100萬美元；

方案B:得到500萬美元的概率是0.1

得到100萬美元的概率是0.89

得到0美元的概率是0.0176第76頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四他發(fā)現(xiàn)，在A和B中，他的受試者偏好于A。于是，他進(jìn)一步要求受試者考慮一下情形：方案C：以0.11的概率得到100萬美元以0.89的概率得到0美元方案D:以0.10的概率得到500萬美元以0.90的概率得到0美元實(shí)驗(yàn)結(jié)果：絕大多數(shù)人選擇D而非C

當(dāng)A和B作為備選方案時選A，當(dāng)C和D作為備選方案時選Ｄ，就違背了期望效用原則。

77第77頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四賭局A的期望值（100萬元）雖然小于賭局B的期望值（139萬元），但是A的效用值大于B的效用值，即1.00U(1m)>0.89U(1m)+0.01U(0)+0.1U(5m)【1】賭局C的期望值（11萬元）小于賭局D的期望值（50萬元），而且C的效用值也小于D的效用值，即0.89U(0)+0.11U(1m)<0.9U(0)+0.1U(5m)【2】而由【2】式得0.11U(1m)<0.01U(0)+0.1U(5m)1.00U(1m)-0.89U(1m)<0.01U(0)+0.1U(5m)1.00U(1m)<0.89U(1m)+0.01U(0)+0.1U(5m)【３】【３】與【1】式矛盾，即阿萊悖論。78第78頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四阿萊悖論的另一種表述是：按照期望效用理論，風(fēng)險厭惡者應(yīng)該選擇A和C；而風(fēng)險喜好者應(yīng)該選擇B和D。然而實(shí)驗(yàn)中的大多數(shù)人選擇A和D。79第79頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四顯然，期望效用理論受到了“阿萊悖論”的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)?！鞍⑷R悖論”實(shí)質(zhì)上是要解釋，許多建立在獨(dú)立性假設(shè)上的期望效用，尤其是建立在追求期望效用最大化基石上的模型，都忽略的人的心理因素對概率分布的影響。因此，在“阿萊悖論”提出后，許多學(xué)者包括經(jīng)濟(jì)學(xué)家和心理學(xué)家均嘗試著對不確定性下的選擇行為進(jìn)行進(jìn)一步探索，力圖揭示其中的心理因素與心理機(jī)制。80第80頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié)本節(jié)為在不確定條件下進(jìn)行選擇提出了基礎(chǔ)性的理論框架。本節(jié)還討論了期望效用準(zhǔn)則，偏好關(guān)系的效用函數(shù)表示，以及期望效用函數(shù)存在的條件，并給出了幾個期望效用準(zhǔn)則的反例。81第81頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四第3節(jié)投資者的風(fēng)險類型及風(fēng)險度量投資者的風(fēng)險類型馬科維茨風(fēng)險溢價及常用的風(fēng)險厭惡函數(shù)阿羅-伯瑞特（Arrow-Pratt）絕對風(fēng)險厭惡函數(shù)82第82頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四3.1.投資者的風(fēng)險類型83第83頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四1.風(fēng)險厭惡型84第84頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四2.風(fēng)險愛好型85第85頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四3.風(fēng)險中性型86第86頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四3.2馬科維茨風(fēng)險溢價假定所有投資者都是風(fēng)險厭惡者，但是不同投資者的風(fēng)險厭惡程度不同，為度量投資者的風(fēng)險厭惡程度，引入風(fēng)險溢價的概念。87第87頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四88第88頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四89第89頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四90第90頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四91第91頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四92第92頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四3.3.Arrow-Pratt絕對風(fēng)險厭惡函數(shù)93第93頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四馬科維茨風(fēng)險溢價和效用函數(shù)之間的關(guān)系94第94頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四絕對風(fēng)險厭惡95第95頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四如果絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)A(x)<0,表示風(fēng)險愛好的風(fēng)險態(tài)度，因?yàn)樾в煤瘮?shù)為凸函數(shù)，即二階導(dǎo)函數(shù)為正；如果絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)A(x)〉0,表示風(fēng)險厭惡的風(fēng)險態(tài)度，因?yàn)樾в煤瘮?shù)為凹函數(shù)，即二階導(dǎo)函數(shù)為負(fù)；如果絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)A(x)=0,表示風(fēng)險中性的風(fēng)險態(tài)度，因?yàn)樾в煤瘮?shù)為線性函數(shù)，即二階導(dǎo)函數(shù)為零。

96第96頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四相對風(fēng)險厭惡97第97頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四絕對風(fēng)險厭惡和相對風(fēng)險厭惡的區(qū)別兩者主要區(qū)別在于，絕對風(fēng)險厭惡不考慮研究對象目前的財(cái)富程度。相對風(fēng)險厭惡加入了財(cái)富w，也就是說，后者認(rèn)為比爾蓋茨和街邊要飯的對于風(fēng)險厭惡程度的看法是不同的。比如對于搶錢包這個有風(fēng)險的回報(bào)，用絕對風(fēng)險厭惡，兩者只要效益函數(shù)也就是偏好相同，那得出結(jié)論就相同。如果用相對風(fēng)險厭惡看，即使兩者效用函數(shù)相同，但是如果一個人比較富裕，那他應(yīng)該有更強(qiáng)烈的風(fēng)險厭惡。98第98頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四3.4雙曲絕對風(fēng)險厭惡函數(shù)（HARA）99第99頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四100第100頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四常用的效用函數(shù)（1）線性效用函數(shù)

當(dāng)r=1時，則是風(fēng)險中性者的效用函數(shù)。(2)二次效用函數(shù)101第101頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四它具有常相對風(fēng)險厭惡和遞減絕對風(fēng)險厭惡。(3)指數(shù)效用函數(shù)。102第102頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四(5)對數(shù)效用函數(shù)103第103頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四3.5均值方差效用函數(shù)104第104頁，共122頁，2023年，2月20日，星期四第一章基礎(chǔ)知識

第4節(jié)隨機(jī)占優(yōu)Rothschild-Stiglitz(1970,1971)提出了更一般的比較不同資產(chǎn)風(fēng)險的分析框架—在效用理論的架構(gòu)下，采用隨機(jī)占優(yōu)（StochasticDominance）方法來判斷兩個投資機(jī)會的優(yōu)劣。期望效用最大化投資決策的前提是先確定效用函數(shù)，然而效用函數(shù)“只可意會，不可言傳”，很難對效用進(jìn)行精確的量化。

由于投資機(jī)會的收益率R是一個隨機(jī)變量，因此可以采用數(shù)學(xué)上專門研究各種條件下隨機(jī)變量優(yōu)劣比較的方法—隨機(jī)序來討論投資決策問題，并根