高考數學專題歸納推理與類比推理

您身邊的高考專家第99煉歸納推理與類比推理一、基礎知識：（一）歸納推理：1、歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納），簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理2、處理歸納推理的常見思路：（1）利用已知條件，多列出（或計算出）幾個例子，以便于尋找規(guī)律（2）在尋找規(guī)律的過程中，要注意觀察哪些地方是不變的（形成通式的結構），哪些地方是變化的（找到變量），如何變化（變量變化的規(guī)律）（3）由具體例子可將猜想的規(guī)律推廣到一般情形，看是否符合題意3、常見的歸納推理類型：（1）函數的迭代：設f是DD的函數，對任意xD，記nfxx,fxfx,fxffx,fn1xffx，則稱函數012nnfx為fx的n次迭代；對于一些特殊的函數解析式，其fx通常具備某些特征（特征與n）有關。在處理此類問題時，要注意觀察解析式中項的次數，式子結構以及系數的特點，以便于從具體例子中尋找到規(guī)律，得到fx的通式n（2）周期性某項或分組（按周期（3）數列的通項公式（求和公式）：從數列所給從而可以考慮利用條件先求出幾項，然后找到規(guī)律，猜出數列的通項公式（求和公式）（4）數陣：由實數排成一定形狀的陣型（如三角形，矩形等），來確定數陣的規(guī)律及求某項。對于數陣首先要明確“列”的概念。橫向為“行”，縱向為“列”，在項的表示上通常用二維角標a進行表示，其中i代表行，j代表列。例如：a表示第3行第4列。在題目：若尋找的規(guī)律呈現周期性，則可利用函數周期性（或數列周期性）的特點求出分組）進行求和。的條件中，很難利用所學知識進行變形推導，“行”與ij34中經常會出現關于某個數的位置問題，解決的方法通常為先抓住選取數的特點，確定所求數的序號，再根據每行元素個數的特點（數列的通項），求出前n行共含有的項的個數，從而確定該數位于第幾行，然后再根據數之間的規(guī)律確定是該行的第幾個，即列。（二）類比推理：-1-您身邊的高考專家1、類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理（簡稱類比）2、常見的類比類型及處理方法：（1）運算的類比：通常是運算級數相對應：①加法乘法，乘法）指數②數乘（系數與項的冪③減法除法（2）運算律的類比：在數學中的其它領域，如果滿足加法，乘法的交換律，以及乘法的分配律，則代數表達式部分運算公式可推廣到該領域中。例如①在向量數量積的運算中，滿足交換律與分配律，則：代數中的平方差公式：a2b2abab，和差完全平方公式：a22abb2均可推廣到向量數量積中：ababab，22ab2aba2abb222②在復數的運算中，滿足交換律與分配律，則實數中的運算公式可推廣到復數中（甚至是二項式定理）（3）等差數列與等比數列的類比：等差數列的性質通常伴隨著一，二級運算（加減，數乘），等比數列的性質通常伴隨著二，三級運算（乘除，乘方）。所以在某些性質中體現出運算上的類比。例如：設a為等差數列，公差為d；b為等比數列，公比為q，則nnadbn1qb①遞推公式：an1nnaan1dbbq②通項公式：n1n1n1mnpqaaaamnpqbbbb③雙項性質：mnpqmnpq④等間隔取項，在數列a，b中等間的隔取項：nn則a,a,a,成等差數列b,b,b,成等比數平面幾何（二維）的結論與立體幾何（三維）的結論進行類比，當維度升高時，涉及的要素也將維度升高，列k1kkkkk2m12m（4）維度的類比：例如：線的關系空間中的面的關系，線所成的角線面角或二面角，①位置關系：平面中的-2-您身邊的高考專家②度量：線段長度圖形的面積，圖形面積幾何體體積，點到線的距離點到平面距離③衍生圖形：內切圓內切球，外接圓外接球，面對角線體對角線空間直角坐標系坐標（5）平面坐標與空間坐標的類比：平面直角坐標系坐標x,yx,y,z，在有些坐標運算的問題中，只需加上豎坐標的運算即可完成推廣，例如：①線段中點坐標公式：xxyy設Ax,y,Bx,y，則AB中點M2平面：,121221122xxyyzz設Ax,y,z,Bx,y,z，則AB中點M空間：,,121212222111222②兩點間距離公式：2yy2設Ax,y,Bx,y，則ABxx平面：112212122設Ax,y,z,Bx,y,z，則ABxxyyzz22空間：1112221212123、同一個命題，不同的角度類比得到的結論可能不同，通常類比只是提供一個思路與方向，猜想出一個命題后通過證明才能保證其正確。在有關類比的題目中通常選擇正確的命題作為類比的結論二、典型例題：'，經例1：已知fxx，定義fxfx,fxfx,,fxfx''ex123xex1n1n1xexx2ex計算fx,,照此規(guī)律，,fx2,fx3f1（）則2015120142014A.2015B.2015D.C.een1思路：由定義可知：fx即為fx的導函數，通過所給例子的結果可以推斷出nxnex2015x2014x1fx1n，從而f，所以f2015nexe2015答案：C例2：蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似的看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖，其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，第六幅圖的蜂巢總數為（）A.61B.90C.91D.127-3-您身邊的高考專家思路：從所給圖中可發(fā)現第n個圖可以視為在前一個圖的基礎上，外面圍上一個正六邊形，且這個正六邊形的每條邊有n個小正方形，設第n個圖的蜂巢總數為fn，則可知fn比fn1多的蜂巢數即為外圍的蜂巢數。即n個，其中頂點被計算了兩次，fnfn16n1，聯想到數列中用到的累加法，從而由6n6（每條邊所以要減6），所以有f11則fnf16n1n213n23n，且fn3n23n1。代入n6可得f636361912答案：C例3：將正整數排成數陣（如圖所示），則數表中的數字2014出現在（）A.第44行第78列B.第45行第78列C.第44行第77列D.第45行第77列思路：從數陣中可發(fā)現每一行的末尾均為一個完全平方數，即第k行最后一個數為k，所以考慮離2014較近的完全平方數：4421936,4522025，所以22014位于第45行，因為1936是第44行的最后一個數，所以2014為第45行中第2014193678個數，即位于第45行第78列答案：Babc例4：已知結論：“在ABC中，為：“在三棱錐ABCD中，側棱有（）各邊和它所對角的正弦比相等，即sinAsinBsinC”，若把該結論推廣到空間，則結論AB與平面ACD，平面BCD所成的角為,，則BCADADBCsinsinsinA.C.B.D.sinSBCDsinSSSACDBCDsinACDsinsin思路：本題為維度推廣題，平面中的線段所成的夾角推廣為線面角，所以可將正弦定理的邊長（一維度量）類比推廣為面積（二維度量），正弦定理中為角所對的邊長，則在三棱錐中推積，即所對的廣為線面角所對的側面面對的側面為平面BCD，所側面為平面ACD，所-4-您身邊的高考專家S以猜測SACDsin，再考慮證明其正確性。證明過程如下：BCDsin證明：分別過B,A作平面ACD，平面BCD的垂線，垂足分別為E,F,ABF由線面角的定義可知：BAE1SBE1SABsin33VBACDACDACD同理：VABCD1S3AE1S3ABsinBCDBCD1SABsin1SABsinSsinSsin33ACDBCDACDBCDSSACDsin得證BCDsin答案：C12例5：三角積S形的面abcr，其中a,b,c為其邊長，r為內切圓半徑，利用類比法可以得出四面體的體積為（）A.V12SSSSr（其中SSSS分別為四個面的面1234積，為內切球的r1234半徑）B.V1Sh（為底面面積，為四面體的高）Sh3C.V13SSSSr（其中SSSS分別為四個面的面1234積，為內切球的r1234半徑）D.V13abbcach（a,b,ch為底面邊長，為四面體的高）思路：本題為維度題，在三角形中，面積依靠內切圓半徑與邊長求解。則在四面體中，內切四面體的體積與內切球半徑與各面面積相關，即在A，在三角形中，可通過連接內心與各頂點，將三角形分割為三個小三角形，底邊圓類比成內切球，邊長類比為面積。所以C中挑選?？紤]為各邊邊長，高均為半徑r，所以面積S1abcr，其中系數來源于三角形面積122公式。進而類比到四面體中，可通過連接內切球的球心與各頂點，將四面體分割為4個小四131SSSSr。系數來源于棱面體，以各面為底面，內切球半徑為高。從而V31234錐體積公式答案：C-5-您身邊的高考專家也是等比數列a0，則數列aaanN例6：若數列a是等比數列，且b.nnnn12n若數列a是等差數列，可類比得到關于等差數列的一個性質為（）naaa12nbaaan是等差數列12nA.bn是等差數列B.nnaaaC.bnaaa是等差數列D.bn是等差數列12nnn12nn思路：考慮在等比數列中，很多性質為應用二三級運算（乘除法，乘方開方），到了等差數列中，很多性質可類比為一二級運算（加減，數乘）。在本題中所給等比數列用到了乘法與開方，所以可聯想到類比等差數列，乘法運算對應類比為加法，開方運算對應類比為除法。所以該aaa性質為：若數列a是等差數列，則b是等差數列。這個命題是正確的，12nnnn證明如下：設等差數列a的公差為d，則n證明：aaaaaaabn1bn1n12n12n1nnnaaaan1aaa12nn112nnn1naaaaaaaaaan112nn11n1n1nnn1nn1a為等差數列aan1id,i1,2,,nnn1inn1dndn1ddd12n2dbbnn1nn1nn12n1nbd為公差是的等差數列2n答案：Bm的三次冪可用奇數進行一下方式的2=35，例7：對于大于1的自然數“分裂”：3337911，4313151719，…，m的值是（）仿此，若m的“分裂數”中有一個是61，則3A.6B.7C.8D.9-6-您身邊的高考專家思路：觀察這幾個等式不難發(fā)現以下特征：（1）n3可分解為n個連續(xù)奇數的和，（2）從32開始這些奇數是按3,5,7,9,順次排列的。所以在第n個數時，所用的奇數的總數為n2n161323n61是第130個奇數。當，n7個。從3開始算起，22可知所用的奇數總數為27個，當n8，可知所用的奇數總數為個。所以m835答案：C例8：從1開始的自然數按如圖所示的規(guī)則排列，現有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數在此三角形內，則這九個數的和可以為（）A.2097B.2112C.2012D.2090aN思路：當三角形在移動時，觀察其規(guī)律，內部的數如果設第一行的數為，則第二行的3a8，第三行的數為a14,a15,a16,a17,a18，a7,a8,a9，其和為數為5a16，所以這九個數的和為Sa3a85a169a104，代入到各其和為a即可。通過計算可得：9a1042012時，符合題意a212個選項中看能否算出答案：C1的正方體ABCDABCD的頂點A出“電子狗”從棱長為1111例9：某種游戲中，黑，白兩個沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為AAAD，白“電子狗”爬行的路線是ABBB，它們都遵循如下規(guī)則：發(fā)，“爬完一段”，黑“電子狗”爬行的路線是1111第i2段與第段所在iiN），設黑“電子狗”爬完2012所爬行的直線必須是異面直線（其中段，白“電子狗”爬完2011段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑、白“電子狗”間的距離是_____________DDC1C111ABAB1111DDCCABAB思路：首先根據題目中所給規(guī)則，觀察“電子狗”所走路徑的規(guī)律。會發(fā)現黑“電子狗”所-7-您身邊的高考專