數(shù)學(xué)建模之傳染病問題

牟雷劉珈誠徐立夫：傳染病問題的研究數(shù)學(xué)建模PAGE11數(shù)學(xué)建模之傳染病問題摘要醫(yī)學(xué)科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命。社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素都會(huì)影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。本論文通過建立傳染病模型，分析被傳人數(shù)多少與哪些因素有關(guān)，如何預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來等等。

傳染病問題的研究一﹑模型假設(shè)1.在疾病傳播期內(nèi)所考察的地區(qū)范圍不考慮人口的出生、死亡、流動(dòng)等種群動(dòng)力因素?？?cè)丝跀?shù)N(t)不變，人口始終保持一個(gè)常數(shù)N。人群分為以下三類：易感染者(Susceptibles)，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時(shí)刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；感染病者(Infectives)，其數(shù)量比例記為i(t)，表示t時(shí)刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；恢復(fù)者(Recovered)，其數(shù)量比例記為r(t)，表示t時(shí)刻已從染病者中移出的人數(shù)（這部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會(huì)再次被感染，他們已退出該傳染系統(tǒng)。）占總?cè)藬?shù)的比例。2.病人的日接觸率（每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)）為常數(shù)λ，日治愈率（每天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例）為常數(shù)μ，顯然平均傳染期為1／μ，傳染期接觸數(shù)為σ=λ／μ。該模型的缺陷是結(jié)果常與實(shí)際有一定程度差距，這是因?yàn)槟Ｐ椭屑僭O(shè)有效接觸率傳染力是不變的。二﹑模型構(gòu)成在以上三個(gè)基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：ssiλsirμi在假設(shè)1中顯然有：s(t)+i(t)+r(t)=1對(duì)于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為不妨設(shè)初始時(shí)刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別為（＞0），（＞0），=0.SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下：s(t)，i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計(jì)算來預(yù)估計(jì)s(t)，i(t)的一般變化規(guī)律。三﹑數(shù)值計(jì)算在方程（3）中設(shè)λ=1，μ=0.3，i（0）=0.02，s（0）=0.98，用MATLAB軟件編程：functiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];ts=0:50;x0=[0.20,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2))pauseplot(x(:,2),x(:,1))輸出的簡明計(jì)算結(jié)果列入表1。i(t),s(t)的圖形以下兩個(gè)圖形，i~s圖形稱為相軌線,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相當(dāng)于圖2中的P0點(diǎn),隨著t的增,(s,i)沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng).由表1、圖1、圖2可以看出,i(t)由初值增長至約t=7時(shí)達(dá)到最大值,然后減少,t→∞,i→0,s(t)則單調(diào)減少,t→∞,s→0.0398.并分析i(t),s(t)的一般變化規(guī)律.t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398表1i(t),s(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果四﹑相軌線分析我們?cè)跀?shù)值計(jì)算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質(zhì)。D=｛（s，i）|s≥0，i≥0，s+i≤1｝在方程（3）中消去并注意到σ的定義，可得（5）所以：（6）利用積分特性容易求出方程(5)的解為：（7）在定義域D內(nèi),(6)式表示的曲線即為相軌線,如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向下面根據(jù)(3),(17)式和圖9分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t→∞時(shí)它們的極限值分別記作,和).不論初始條件s0,i0如何,病人消失將消失,即：2.最終未被感染的健康者的比例是,在(7)式中令i=0得到,是方程在(0,1/σ)內(nèi)的根.在圖形上是相軌線與s軸在(0,1/σ)內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3.若>1/σ,則開始有，i(t)先增加,令=0，可得當(dāng)s=1/σ時(shí),i(t)達(dá)到最大值：然后s<1/σ時(shí)，有，所以i(t)減小且趨于零,s(t)則單調(diào)減小至,如圖3中由P1(，)出發(fā)的軌線4.若1/σ,則恒有，i(t)單調(diào)減小至零,s(t)單調(diào)減小至,如圖3中由P2(s0,i0)出發(fā)的軌線可以看出,如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長的時(shí)期才認(rèn)為傳染病在蔓延,那么1/σ是一個(gè)閾值,當(dāng)>1/σ(即σ>1/s0)時(shí)傳染病就會(huì)蔓延.而減小傳染期接觸數(shù)σ,即提高閾值1/σ使得≤1/σ(即σ≤1/),傳染病就不會(huì)蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通常可認(rèn)為接近1)。并且,即使>1/σ,從(19),(20)式可以看出,σ減小時(shí),增加(通過作圖分析),降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在σ=λμ中,人們的衛(wèi)生水平越高,日接觸率λ越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.從另一方面看,是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù),稱為交換數(shù),其含義是一病人被個(gè)健康者交換.所以當(dāng)即時(shí)必有.既然交換數(shù)不超過1,病人比例i(t)絕不會(huì)增加,傳染病不會(huì)蔓延。五﹑群體免疫和預(yù)防根據(jù)對(duì)SIR模型的分析,當(dāng)時(shí)傳染病不會(huì)蔓延.所以為制止蔓延,除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平,使閾值1/σ變大以外,另一個(gè)途徑是降低,這可以通過比如預(yù)防接種使群體免疫的辦法做到.忽略病人比例的初始值有,于是傳染病不會(huì)蔓延的條件可以表為這就是說，只要通過群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例（即免疫比例）滿足（11）式，就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時(shí)印度等國天花傳染病的接觸數(shù)σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，即使花費(fèi)大量資金提高，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的σ更高，根除就更加困難。六﹑模型驗(yàn)證上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了的實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對(duì)SIR模型作了驗(yàn)證。首先，由方程（2），（3）可以得到，兩邊積分得所以：(12)再(13)當(dāng)時(shí)，取（13）式右端Taylor展開式的前3項(xiàng)得：在初始值=0下解高階常微分方程得:其中，從而容易由（14）式得出：然后取定參數(shù)s0,σ等，畫出（15）式的圖形，如圖4中的曲線，實(shí)際數(shù)據(jù)在圖中用圓點(diǎn)表示，可以看出，理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。七﹑被傳染比例的估計(jì)在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值與之差，記作x,即(16)當(dāng)i0很小，s0接近于1時(shí)，由（9）式可得(17)取對(duì)數(shù)函數(shù)Taylor展開的前兩項(xiàng)有(18)記,可視為該地區(qū)人口比例超過閾值的部分。當(dāng)時(shí)（18）式給出（19）這個(gè)結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為的2倍。對(duì)一種傳染病，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不