大象群落的穩(wěn)定發(fā)展

大象群落的穩(wěn)定發(fā)展摘要本文根據(jù)非洲某國的國家公園近兩年內(nèi)從公園運(yùn)出的大象的大致年齡和性別的統(tǒng)計(jì)情況，探討大象的合理的存活率并推測(cè)當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)，針對(duì)不同情況給出如何進(jìn)行避孕注射以達(dá)到控制大象數(shù)量的目的。首先，充分利用給出的近兩年來運(yùn)出的大象的數(shù)量與性別統(tǒng)計(jì)表，分析近兩年來的大象群落的情況，建立一個(gè)線性方程組的數(shù)學(xué)模型，通過求解方程組得到年齡在2歲到60歲之間的大象的總數(shù)，并且求出了存活率為：98.9718%；因?yàn)榧僭O(shè)公園內(nèi)2歲到60歲之間的大象占總大象的比例等于運(yùn)出的2歲到60歲之間的大象占總移出大象的比例，所以通過一些比例之間的關(guān)系得到這個(gè)大象群落的當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)（見表1）。最后，假設(shè)被轉(zhuǎn)移的大象只考慮處于1—60歲之間，這樣可以認(rèn)為轉(zhuǎn)移后的大象看成每年多死了這么多頭大象，即意味著死亡率將增加，存活率將減少；仍然按照解決第二問的模型，只需將此時(shí)不同的各年齡段大象的存活率代入那個(gè)以繁殖率為未知數(shù)的方程（方程VI），求出應(yīng)該保持多大的繁殖率才能使種群保持穩(wěn)定?？紤]到求解的數(shù)據(jù)比較多，采取計(jì)算機(jī)模擬的方法來確定移出大象后所需要進(jìn)行避孕的母象頭數(shù)（見表2），為了檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)模擬的正確性，用理論去驗(yàn)證。模擬的思路方法見計(jì)算機(jī)模擬流程圖—圖2。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵字：線性方程組、差分方程模型、Lelie矩陣、計(jì)算機(jī)模擬問題重述位于非洲某國的國家公園中棲息著近11000頭大象。管理者要求有一個(gè)健康穩(wěn)定的環(huán)境以便維持這個(gè)11000頭大象的穩(wěn)定群落。管理者逐年統(tǒng)計(jì)了大象的數(shù)量，發(fā)現(xiàn)在過去的20年中，整個(gè)大象群經(jīng)過一些偷獵槍殺以及轉(zhuǎn)移到外地還能保持在11000頭的數(shù)量，而其中每年大約有近600頭到800頭是被轉(zhuǎn)移的。由于近年來，偷獵被禁止，而且每年要轉(zhuǎn)移這些大象也比較困難，現(xiàn)決定采取避孕注射法以維持大象數(shù)量的平衡。我們已知此公園近兩年內(nèi)從這個(gè)地區(qū)運(yùn)出的大象的大致年齡和性別的統(tǒng)計(jì)。根據(jù)這些信息我們需要解決以下問題：探討年齡在2歲到60歲之間的象的合理的存活率的模型，推測(cè)這個(gè)大象群落的當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)。估計(jì)每年有多少母象要注射避孕藥，可以使象群固定在11000頭左右。這里不免有些不確定性，是否能估計(jì)這種不確定性的影響。假如每年轉(zhuǎn)移50至300頭象到別處，那么上面的避孕措施將可以有怎樣的改變？問題假設(shè)1、假設(shè)大象的性別比近似認(rèn)為1：1，并且采用措施維持這個(gè)性別比2、假設(shè)母象可以懷孕的年齡為11歲—60歲、最高年齡為70歲，70歲的死亡率為100%，并且61—70歲的大象的頭數(shù)呈線性遞減；3、假設(shè)大象在各年齡段中的分布率不變，即年齡結(jié)構(gòu)不變，并采用各種措施維持這一結(jié)構(gòu)；4、假設(shè)被轉(zhuǎn)移的大象只考慮處于1—60歲之間，轉(zhuǎn)移后的大象看成每年多死了這么多頭大象；5、假設(shè)0歲大象能夠活到1歲的比例為75%；符號(hào)說明某i：表示一年中大象的頭數(shù)（i=0表示0歲大象的頭數(shù)，i=l表示1--60歲大象頭數(shù)，i=2表示61—70歲大象的頭數(shù)）；pi：表示存活率（p0表示0歲大象的存活率，pl表示1—60歲大象的存活率，p2表示61歲—70歲大象的存活率）；某i（k）:表示時(shí)段k第i年齡組的大象數(shù)量；bi：第i年齡組每個(gè)（母象）個(gè)體在1個(gè)時(shí)段內(nèi)平均繁殖的數(shù)量；i：第i年齡組的存活率；L：Lelie矩陣；21：L矩陣的那個(gè)唯一正特征根；n表示移出大象的頭數(shù)；問題分析對(duì)于問題一，利用給出的近兩年來運(yùn)出的大象的數(shù)量與性別統(tǒng)計(jì)表，可以分析近兩年來的大象群落的情況，比如移出的各個(gè)年齡段的大象占移出的總的大象的頭數(shù)的比例是多少，還可以根據(jù)兩年移出大象后大象總數(shù)都是11000來建立方程，用于求解存活率。對(duì)于問題二，因?yàn)榭紤]的是公園在未來很長(zhǎng)一段時(shí)間的大象種群控制問題，所以可以建立一個(gè)按年齡分組的種群增長(zhǎng)的差分方程模型，根據(jù)差分方程的Lelie矩陣的特征根，結(jié)合Lelie矩陣的穩(wěn)定性理論對(duì)當(dāng)前大象種群的情況進(jìn)行分析。為了保持大象種群的穩(wěn)定，必須使得Lelie矩陣的最大特征根為1，而這樣，特征根取為1、把繁殖率當(dāng)成未知數(shù)，將此時(shí)的各年齡段的存活率代入方程特征方程，求解這個(gè)以繁殖率為未知數(shù)的方程可以得到要使種群保持穩(wěn)定繁殖率的取值；根據(jù)需要避孕掉母象所生的幼象的數(shù)目等于注射避孕藥使得母象沒有繁殖幼象的數(shù)目這一條件建立方程來求解應(yīng)該對(duì)多少頭母象進(jìn)行避孕。對(duì)于問題三，由于假設(shè)被轉(zhuǎn)移的大象只考慮處于1—60歲之間，故可以認(rèn)為轉(zhuǎn)移后的大象看成每年多死了這么多頭大象，即意味著死亡率將增加，存活率將減少。按照解決第二問的模型，只需將此時(shí)不同的各年齡段大象的存活率代替原來的存活率，就可以求出此時(shí)應(yīng)該保持多大的繁殖率才能使種群保持穩(wěn)定。為了方便，可用采用計(jì)算機(jī)模擬的方法來確定移出的大象在哪個(gè)年齡段，考慮到計(jì)算機(jī)模擬的不確定性，可以對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。探討大象的存活率和當(dāng)前大象的年齡結(jié)構(gòu)下面將根據(jù)給出的近兩年來運(yùn)出的大象的數(shù)量與性別統(tǒng)計(jì)表，分析近兩年來的大象群落的情況，建立一個(gè)線性方程組數(shù)學(xué)模型，通過求解方程組得到年齡在2歲到60歲之間的大象的存活率，并給出大象各年齡所占的比例，進(jìn)而得到這個(gè)大象群落的當(dāng)前的年齡結(jié)構(gòu)。1、線性方程組模型的建立（1）首先，計(jì)算一年中大象的頭數(shù)。大象群是由0歲，1—60歲，61歲—70歲組成,且穩(wěn)定在11000頭。設(shè)0歲的頭數(shù)為某0，1—60歲大象頭數(shù)為某1，61歲—70歲大象頭數(shù)為某2。所以得到第一個(gè)方程：某0+某1+某2=11000（I）（2）其次，考慮到前一年大象的總數(shù)等于前兩年存活下來的大象加上新生的幼兒再減去運(yùn)出的大象數(shù)。設(shè)0歲大象的存活率為p0,l—60歲大象的存活率為pl,61歲一70歲大象的存活率為p2。則經(jīng)過一年后，新生的大象存活下來的頭數(shù)為某0P0;1到60歲的大象存活3下來的頭數(shù)為某1p1；61歲一一70歲的大象能存活下來的頭數(shù)為某2p2，因此得到第二個(gè)方程：（某0P0+某1p1+某2p2）+某0-622=11000（II）聯(lián)立（I）、（II）得到方程組：某0+某1+某2=11000（某）某p+某p+某p+某-622=1100011220002、模型的求解根據(jù)近兩年來運(yùn)出的大象的數(shù)量與性別統(tǒng)計(jì)表，得到如下分析結(jié)果：(1)計(jì)算0歲的大象頭數(shù)由表中統(tǒng)計(jì)，1歲—10歲的大象占1歲—60歲的大象比例為：(67/622+169/876)/2=15.032%所以得到：11歲—60歲能生小象的母象占1歲—60歲的大象比例為(1-15.032%)0.5=42.48%因?yàn)槟苌∠蟮哪赶竺?.5年生一頭小象，且雙胞胎的機(jī)會(huì)為1.35%相當(dāng)于每年生0.2896頭，所以0歲的大象占1歲—60歲的大象比例為：0.42480.2896=0.12303這樣0歲的大象共有：某0=0.12303某1(111)(2)計(jì)算61歲一70歲的大象頭數(shù)從表中計(jì)算運(yùn)出的59歲的大象占運(yùn)出的總大象比率為：(14/622+22/876)/2=0.0238由于運(yùn)出的大象都是1歲—60歲的，所以0.0238也可看為59歲的大象占1—60歲的大象的頭數(shù)比例，得到60歲的大象占的比例為0.0238p1，由假設(shè)可以知道：61歲—70歲的大象頭數(shù)為：某2=1/2100.0238p1某1(IV)61歲——70歲的大象經(jīng)過一年能存活下來的頭數(shù)為：某2p2=(1/2)90.0238p1某1(V)（3）、將（III）、（V）和（^）兩個(gè)式子代入上面方程組（某）得：0.12303某1+某l+（l/2）100.0238pl某1=110000.12303某1p0+某lpl+（l/2）90.0238pl某1+0.12303某1-622=11000又由假設(shè)知道，0歲大象的存活率為p0=75%代入上述方程組，然后用Mathematica解之得：p10.989719某18864.854再依次將某1、1代入（III）、（V）和（旦）求得：某21044.07某1090.660所以，0歲大象的總頭數(shù)為1091（頭）；1—60歲的大象的存活率為98.9719%，總頭數(shù)為8865（頭）；61歲—70歲的大象頭數(shù)為1091（頭）。把0—70歲的大象分為八個(gè)年齡段，由假設(shè)知道，各個(gè)年齡段占總數(shù)可以用各個(gè)年齡段移出的頭數(shù)除以移出的總頭數(shù)來衡量。下面以1—10年齡段的大象頭數(shù)計(jì)算為例：前一年總共移出622頭，其中1—10歲移出為67頭；前兩年總共移出876頭，其中1—10歲移出169頭。故1—10年齡段的大象頭數(shù)可以這樣計(jì)算：67169）/2]=1333（頭）某11=8865[（622876其他的年齡段用同樣的方法計(jì)算，得到如下表（附餅形圖）：表1（大象年齡結(jié)構(gòu)）年齡頭數(shù)010911-10133311-20177721-30106931-40125541-5018881751-6015441461-7010449比例1012161011（%）圖1（大象年齡結(jié)構(gòu)餅圖）3、結(jié)果分析(1)由結(jié)果可以知道，2—60歲大象的存活率為98.9718%，這與題目給出的大于95%是相一致的，所以可以認(rèn)為結(jié)果是合理的；(2)從圖1可以看出，各個(gè)年齡段的大象所占的比例基本上是一樣的，21—30歲和41—50歲的大象比例相對(duì)比較大，因?yàn)檫@段大象正處于年齡的黃金時(shí)期。由此，可以認(rèn)為求出的大象年齡也是合理的。估計(jì)每年注射避孕藥的母象頭數(shù)為了估計(jì)每年注射避孕藥的母象頭數(shù)，首先建立一個(gè)按年齡分組的種群增長(zhǎng)的差分5方程模型；然后用Lelie矩陣穩(wěn)定的充要條件分析如果不進(jìn)行避孕注射種群的增長(zhǎng)情況；最后仍然利用Lelie矩陣穩(wěn)定的充要條件求出應(yīng)該保持多大的繁殖率才能使種群保持穩(wěn)定，進(jìn)而利用一個(gè)方程求出每年注射避孕藥的母象頭數(shù)。1、按年齡分組的種群增長(zhǎng)的差分方程模型的建立,l,2,nl某(k)[某1(k),某2(k),某n(k)]T由繁殖率bi和存活率i構(gòu)成的矩陣為b0b10001000000L 0000000000...b9...0...0...0...9...0...0...0...0...0...0...0...0b100000100000000b110000011000000.. b60...0...0...0...0...0...0...0...0...60...0...0...0b610000000006100...b69...0...0...0...0...0...0...0...0...0...0...0...69b70000000000000根據(jù)Lelie矩陣的性質(zhì)可以得到如下的定理：定理1：L矩陣有唯一的正特征根1,且它是單重根的，1對(duì)應(yīng)正特征向量6...某某1,1,122,...,12n1n1111L矩陣的其他n-1個(gè)特征根k都是滿足k1,k2,3,...,nT該定理表明L矩陣的特征方程n（b1n1b21n2...bn112...n2bn12...n1）0只有一個(gè)正根，并且易知，L某某1某某2、如果不進(jìn)行避孕注射種群的增長(zhǎng)情況（1）建立Lelie矩陣首先，由第一問的求解知道，0歲的大象的存活率為0.75；1—60歲大象的存活率為0.989718；根據(jù)假設(shè)61—70歲大象頭數(shù)是線性遞減的，而且到70歲所有的大象都死完了，所以很容易求出存活率為（1-0.1）p1=0.90.989718=0.8907；11—60歲大象的繁殖率為0.1448。然后根據(jù)上面的矩陣L建立起如果不進(jìn)行避孕注射種群的增長(zhǎng)的Lelie矩陣如下所示：0...00.14480.1448 0.14480...0000.750...000 00...0000.9897...000 00...0000...000 00...0000...0.989700 ..00...0000...00.98970 00...00 000.9897 00...00這是一L7171= 000 00...00...00...000 00...0000...000. 0.98970...0000...000 00.8907...0000...000 00...0000...000 00...0.89070個(gè)7171的矩陣。(2)討論L7171的特征根，分析種群增長(zhǎng)規(guī)律用Matlab軟件求得特征根為R=1.0481，根據(jù)定理1知道，如果不進(jìn)行避孕注射，該大象種群將無限增長(zhǎng)下去(如果環(huán)境允許)，所以要進(jìn)行避孕注射。3、求出每年注射避孕藥的母象頭數(shù)根據(jù)Lelie矩陣的性質(zhì)知道，要保持種群穩(wěn)定，必須使得特征根r=1即使得下面式子成立：b0b10b201...0bn112...n2bn012...n11(VI)具體到本題來就是使得如下成立：2b010(1++7+4.9..+)=1解這個(gè)方程求出要保持大象種群的穩(wěn)定，繁殖率應(yīng)該為b0=0.0377保持大象種群數(shù)量不變的繁殖率b0與沒采取避孕時(shí)的繁殖率b有一定的差距，所以需要避孕掉具有(b-b0)繁殖率母象所生的幼象。假設(shè)每年要避孕n0頭大象，由于一次注射可以使得一頭成熟的母象在兩年內(nèi)不會(huì)受孕，所以每年實(shí)際上共有2n0頭大象處于避孕期。這樣根據(jù)需要避孕掉具有(b-b0)繁殖率母象所生的幼象的數(shù)目等于注射避孕藥使得母象沒有繁殖幼象的數(shù)目這個(gè)條件得到一個(gè)方程：(1/2)85%某(0.1448-0.0377)=2n0.14484、分析不確定因素的影響（1）最初一兩年避孕母象發(fā)情期增多，與未避孕母象產(chǎn)生競(jìng)爭(zhēng)求偶的公象，使部分能懷孕的母象不能懷孕。而避孕的母象每月發(fā)情一次，會(huì)擾亂了正常求偶的母象，這樣會(huì)造成未避孕母象的繁殖率出現(xiàn)下降，避孕的母象數(shù)量應(yīng)該減少。（2）隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，如果持續(xù)使用避孕藥，會(huì)使象的年齡結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，象的結(jié)構(gòu)呈老齡化，所以隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，要保證象群的穩(wěn)定，避孕藥的使用量必定會(huì)逐年減少直至禁用?？紤]轉(zhuǎn)移大象時(shí)母象的避孕策略被轉(zhuǎn)移的大象只考慮處于1—60歲之間，轉(zhuǎn)移后的大象看成每年多死了這么多頭大象，即意味著死亡率將增加，存活率將減少。下面首先通過計(jì)算機(jī)模擬來確定移出大象后所需要進(jìn)行避孕的母象頭數(shù)；然后用理論去驗(yàn)證計(jì)算機(jī)模擬的正確性。1、通過計(jì)算機(jī)模擬確定需要進(jìn)行避孕的母象頭數(shù)產(chǎn)生了n（可自己指定）個(gè)0~1的隨機(jī)數(shù)。具體算法如下頁圖所示。圖2（計(jì)算機(jī)模擬流程圖）初始化：按照各個(gè)年齡段大象所占比重，給每個(gè)年齡段分配一個(gè)區(qū)間，每個(gè)年齡運(yùn)產(chǎn)生n個(gè)0~1隨機(jī)數(shù)記為向量a（i）No0.148令n=100,進(jìn)行10次計(jì)算機(jī)模擬，得到當(dāng)運(yùn)出大象頭數(shù)為100頭時(shí)，要使大象頭數(shù)穩(wěn)定在11000頭需避孕的大象頭數(shù)如下：第一次模擬：1164（頭）第二次模擬：1195（頭）第三次模擬：1192（頭）第四次模擬：1167（頭）第五次模擬：1206（頭）第六次模擬：1163（頭）第七次模擬：1207（頭）第八次模擬：1190（頭）第九次模擬：1173（頭）第十次模擬：1178（頭）次模擬得到需避孕的大象頭數(shù)的平均數(shù)為1184頭。因此可以認(rèn)為當(dāng)運(yùn)出大象頭數(shù)為100頭時(shí)，要使大象頭數(shù)穩(wěn)定在11000頭需避孕的大象頭數(shù)為1184頭。同理，可以得到題目中要求的當(dāng)運(yùn)出大象50—300頭要使大象頭數(shù)穩(wěn)定在11000頭需避孕的大象頭數(shù)分別為：表2（移出大象與對(duì)應(yīng)得避孕母象頭數(shù)）移出頭數(shù)避孕頭數(shù)移出頭數(shù)避孕頭數(shù)18019020021022023024025026027028029030012971277125312311212118411641150111210961036103010105060708090100110120130140150160170970932917860838822764738714.654653591570圖3（運(yùn)出大象數(shù)目與應(yīng)該避孕母象數(shù)目的關(guān)系）10圖4（原始數(shù)據(jù)關(guān)系與擬合關(guān)系對(duì)比圖）2、用理論去驗(yàn)證計(jì)算機(jī)模擬的正確性11假設(shè)所轉(zhuǎn)移的大象是有目的的挑選的，即挑選大象時(shí)是按照第i（i=l,2,3,4,5,6）年齡組所占比例進(jìn)行的，這也是符合情理。設(shè)每年被轉(zhuǎn)移的大象共有M頭，1――60歲的大